奈良女子大集中講義バイオインフォマティクス (7) 進化系統樹

奈良女子大集中講義バイオインフォマティクス (7)進化系統樹阿久津　達也京都大学　化学研究所バイオインフォマティクスセンター

講義予定 • 9月5日 • 分子生物学概観 • 分子生物学データベース • 配列アラインメント • 実習１（データベース検索と配列アラインメント） • 9月6日 • モチーフ発見 • 隠れマルコフモデル • カーネル法 • 進化系統樹推定 • 9月7日 • タンパク質立体構造予測 • 相互作用推定 • スケールフリーネットワーク • 実習２（構造予測）

進化系統樹推定 • 系統樹の個数 • 距離行列法 • UPGMA法 • 近隣結合法 • 最節約法 • 進化の確率モデル • 最尤法

進化系統樹 • 種間（もしくは遺伝子間）の進化の関係を表す木 • 以前は形態的特徴をもとに構成 • 現在は配列情報をもとに構成（イメージ図：　実際の進化とは直接、関係無い）

有根系統樹と無根系統樹 • 節点（頂点）：　木の葉、もしくは、枝分かれ部分 • 枝（辺）：　種の親子関係を表す • 枝長：　進化に要した時間に対応 • 葉：　現在の種に相当する節点 • 根：　進化の起点にあたる節点 • 有根系統樹（根つき木）：　根のある系統樹（下図の左） • 無根系統樹（根なし木）：　根のない系統樹（下図の右）

系統樹の同型性 • 同型な系統樹：本質的に同じつながり方（グラフとして同型）をした系統樹 • (a)と(b)：同型 (a)と(c)：非同型 • (d)と(e)：同型 (d)と(f)：非同型

系統樹の個数 • 葉の個数と節点の個数の関係（葉の個数＝ n） • 有根系統樹：　2n-1 個の節点、　2n-2 本の枝 • 無根系統樹：　2n-2 個の節点、　2n-3 本の枝 • 無根系統樹と有根系統樹の関係 • 値は無根系統樹の任意の枝に設定可能　　⇒　有根系統樹の個数＝(2n-3)×無根系統樹の個数 • 枝が 2n-3本の無根系統樹に1本の枝を追加　　⇒　2n-3種類の異なる無根系統樹

系統樹の個数（例） • 値は無根系統樹の任意の枝に設定可能　　　⇒　有根系統樹の個数＝(2n-3)×無根系統樹の個数 • 枝が 2n-3本の無根系統樹に1本の枝を追加　　　⇒　2n-3種類の異なる無根系統樹

距離行列法 • 最初に、種（葉）の間の距離をすべて計算 • その距離をもとに系統樹を推定 • クラスタリング手法の一種 • UPGMA法 • 距離最短のクラスタをみつけては結合 • 近隣結合法 • 近隣となる葉をみつけては結合

UPGMA法(Unweighted pair group method using arithmetic averages) • アルゴリズム • 各配列のみからなるクラスタを作成 • クラスタが２個になるまで以下を繰り返す • クラスタ間距離が最小のクラスタどうしを併合 • 新しくできたクラスタと他のクラスタ間の距離を計算 • クラスタ間距離 • 距離の性質

UPGMA法（例1）

分子時計 • 分子時計＝進化速度一定性の仮定 • 枝長＝分子時計により刻まれた時間 • 分子時計仮説が成立　　　「任意の葉までの枝長の和が等しい」が任意節点について成立　⇒UPGMA法は系統樹を正しく再構成　　　　　以下の例で、(a) は仮説を満たさないが、(b)は満たす

近隣結合法（１） • UPGMA法では以下の例(a)で、2と3が最初に選ばれたため、正しい系統樹を再構成できなかった • 最初に、3と4、もしくは、1と2が選ばれれば良い • つまり、兄弟関係（近隣関係）にある葉が選ばれれば良い • 近隣結合法では（距離が加法性を満たすという仮定のもとで）常に近隣関係にある葉を選ぶ

近隣結合法（2） • 近隣結合法 • 距離が加法性を満たせば系統樹を正しく再構成 • ただし、計算されるのは無根系統樹 • 加法性：　節点間の距離　＝　節点間を結ぶパスの枝長の和

アウトグループ • 近隣結合法：　無根系統樹しか計算されない • 無根系統樹における根の決定法 • 最も長い葉の間の中点を根とする • 対象とする種と離れていることが明らかな種（アウトグループ）を追加して系統樹を作成し、アウトグループに接続する接点を根とする

最節約法（１） • 最小置換で各配列を生成する系統樹を計算 • ２種類の探索が必要 • 系統樹の形状（トポロジー)　　⇒　難しい • 内部節点への配列の割り当て　⇒　動的計画法で計算可能

最節約法（２） • Sk(a) :節点 kに塩基 aを割り当てた時のコスト • S(a,b) : aを bに置換するためのコスト • 動的計画法により葉から根という順で Sk(a) を計算 • 配列割り当ては各位置ごとに独立に計算可能 kが内部節点の場合（i,j はkの子節点） kが葉の場合

最節約法（３）

進化の確率モデル • P(b|a,t) :長さ tの枝をたどることにより塩基 aが塩基 b に置換される確率 • P(y|x,t) : 長さ tの枝をたどることにより配列 x が配列 yに置換される確率置換行列　（置換確率行列）乗法性

Jukes-Cantor行列（１） • 置換速度行列を Rとし、　　　　　　　　　　　　を仮定 • S(t) の乗法性より • よって • A,C,G,T が対等であるとして • 対称性より • よって

Jukes-Cantor行列（２） を　　　　　　　　　　　　に代入して、これを解いてこの S(t)が　Jukes-Cantor行列は十分時間が経つと A,C,G,T の割合いが等しくなることを意味する

Jukes-Cantor行列の応用例 • TATAT(=x)が t 時間後にTTAAA(=y)に置換する確率はより

最尤法による系統樹推定 • 系統樹の尤度（確率） • 配列 s1,…,snに対し、尤度最大の系統樹のトポロジー Tと、枝長tiを計算 • ただし、p(i)は iの親節点 • この計算は難しく、様々な手法が提案されている

尤度計算の例（１） • 1塩基あたりの尤度 • 配列全体の尤度

尤度計算の例（2） • CGのみからなる配列 • n1個は同じでn2個は変化　（この例では、n1=8, n2=3）よって、系統樹全体の尤度は、尤度は、t1+t2が一定なら変わらないことに注意　　 ⇒ 　根の位置の任意性

まとめ • 系統樹の個数 • 距離行列法 • UPGMA法：　最小距離のクラスタを結合 • 近隣結合法：　近隣の節点を結合 • 最節約法 • 置換コストが最小の系統樹を計算 • 進化の確率モデル • Jukes-Cantor行列を用いて配列間の置換確率を計算 • 最尤法：　確率が最大となる系統樹を推定 • 参考文献 • 阿久津：バイオインフォマティクスの数理とアルゴリズム、共立出版、2007

奈良女子大集中講義バイオインフォマティクス (7) 進化系統樹