質点⇒質点系⇒連続体（弾性体〔＝固体〕 ⇒ 流体〔＝液体・気体〕）

流体質点⇒質点系⇒連続体（弾性体〔＝固体〕⇒流体〔＝液体・気体〕）弾性体と流体の中間の性質をもつ粘弾性体というのもある（＝短い時間でみると弾性体、長い時間でみると流体） ex.ゴム、アスファルト、硬質油流体の分類方法I：非圧縮性流体（液体）と圧縮性流体（気体）流体の分類方法II：非粘性流体（理想流体）と粘性流体（実在流体）非圧縮とは圧縮応力によって生じる体積変化が無視できること（ちなみに流体では引張応力は発生しない）非粘性とは隣合う領域間に発生する摩擦が無視できること非粘性流体＝オイラー流体、粘性流体（の一部）＝ニュートン流体粘性流体には粘弾性流体など非ニュートン流体も含まれている

静止流体 流体の静止条件 • どの点をとっても剪断応力は面の方向によらず0 • ある点における圧縮応力は面の方向によらず同じ • （パスカルの原理、静水圧）アルキメデスの原理（浮力）注：密度　は一定 ⇒非圧縮性流体ここで更に高さの影響が無視できればパスカルの原理

流線と流跡線 流跡線＝ある粒子の軌跡＝ある粒子の速度ベクトルを時系列に沿って結んだもの流線＝ある時刻における速度場＝ある時刻における各粒子の速度ベクトルをスムーズに結んだもの定常流（時間変化しない流れ）の場合、両者は同じ非定常流の場合、両者は異なる

運動の記述 流跡線⇒ラグランジュ法＝粒子を固定して現象をみている独立な座標位置 ←時刻　における粒子の位置時刻流線⇒オイラー法＝時刻を固定して場全体の現象をみている独立な座標位置 ←時刻　における粒子の位置時刻質点の運動はラグランジェ法で考えていたが、流体の運動はオイラー法で考えたほうが考えやすい粒子一つ一つを見分けるのが困難な流体においては、特定の粒子に注目しての観測は場全体の観測よりも難しい場（流れ場）の考え方⇒20世紀の物理学の特徴の一つ

物理量の変分 運動方程式をたてるときは特定の粒子に注目する必要がある ⇒流跡線に沿って速度を微分して加速度を得なければならないラグランジュ法オイラー法・・・ラグランジュ微分

全微分 ラグランジュ法オイラー法

ラグランジェ微分 ではなくを用いることも多い・・・ナブラ

grad, div, rot 勾配／grad ナブラ・スカラー量＝ベクトル量発散／div ナブラ・ベクトル量＝スカラー量回転／rot, curl ナブラ×ベクトル量＝ベクトル量

grad, div, rotの性質 ナブラ・スカラー量＝ベクトル量勾配／grad 発散／div ナブラ・ベクトル量＝スカラー量回転／rot, curl ナブラ×ベクトル量＝ベクトル量ラプラシアン

ガウスの定理ストークスの定理 ベクトル関数ガウスの定理閉曲面　は体積　の表面ストークスの定理閉曲線　は面積　の周囲スカラー関数の不定積分の公式に対応している

ガウスの定理の証明 微小な直方体に分割して考え、それらを足し合わせる。　軸に垂直な面について向かい合う面は法線ベクトルの向きが逆なので、面積分を足し合わせると相殺される。結局面積分は表面だけが残る。

ストークスの定理の証明 微小な曲面に分割して考え、それらを足し合わせる。　平面に射影した閉曲面について

位置⇒速度⇒加速度 ・・・加速度（運動方程式に使う）

質量保存側 （微分と積分の順序交換）質量増加率（ガウスの定理）質量流入量率両者は等しいはず！・・・質量保存側

体積膨張率 体積膨張率であるから質量保存側より非圧縮性流体（液体）の場合密度　は一定

積分関数のラグランジェ微分 ガウスの定理

運動量 質量保存側運動量変化率＝力：運動方程式（cf.(2.4)式教科書p.32）

構成方程式 フックの弾性体ニュートン流体：体積粘性係数（普通は0としてよい）：（ずれ）粘性係数

運動方程式 ガウスの法則・・・運動方程式

非圧縮性流体 非圧縮の場合微分順序の交換

非圧縮性流体の運動方程式 ・・・非圧縮性流体の運動方程式

非圧縮・非粘性流体の定常流 非粘性定常流重力（ポテンシャル力）

ベルヌーイの定理の導出 渦なし（層流）・・・ベルヌーイの定理渦あり（乱流）流線に沿って積分・・・ベルヌーイの定理

ベルヌーイの定理 ・・・ベルヌーイの定理左辺各項を、速度ヘッド、重力ヘッド、圧力ヘッドという定理の意味「速度が速くなればなるほど圧力は低くなる」「位置が多角ならばなるほど圧力は低くなる」

質点⇒質点系⇒連続体（ 弾性体〔＝固体〕 ⇒ 流体〔＝液体・気体〕 ）