第1章向量与矩阵

第1章向量与矩阵 矩阵理论是线性代数中最重要的一个部分，向量与矩阵是数学中重要且应用广泛的工具。本章介绍向量及相关知识、介绍矩阵及其相关的概念。研究矩阵的运算，着重讨论方阵的运算，方阵的逆矩阵。

第1章目录 • 第 1.1 节向量基本知识 • 第 1.2 节矩阵及其运算 • 第 1.3 节 n阶方阵 • 第 1.4 节可逆矩阵

第 1.1 节向量基本知识 1.二维向量和三维向量 • 二维向量（平面向量） • 三维向量（空间向量） 2. n维向量 • n维向量的概念 • n维向量的线性运算 • n维向量空间 • 内积返回

与向量大小相等，方向相反的向量称为 的负向量，即-=- . 1.二维向量和三维向量二维向量定义1在平面直角坐标系中，取一个固定点O为始点（一般称为原点），取另一点A为终点作一线段OA，该线段既有大小又有方向，这样的线段称为平面向量，记作或. • 若向量的终点A与始点O重合，则该向量称为零向量，记作θ，其大小为零，方向任意.

A B N A M 二维向量与三维向量示意平面向量 a a 空间向量 

规定：当两个同起点向量的终点重合时，称这两个向量相等.规定：当两个同起点向量的终点重合时，称这两个向量相等. 定义2 平面向量的加法和数乘运算统称线性运算 . 二维(平面)向量的线性运算 • 定义3 • (1)向量加法 • 设，为两个平面向量，称+为这两个向量的和， -为两个向量的差. (2)数乘向量称k为数k与向量的数乘. k是大小为的k倍的向量，当k>0时方向与相同；当k<0时方向与相反;当k=0时为零向量,其方向任意.

a ka (k>0) -ka(k>0) 二维(平面)向量线性运算示意向量的加减法向量与数的乘法

二维（平面）向量及线性运算的坐标表示 平面解析几何中，引进了坐标（或分量）的概念.即在平面直角坐标系中，一个平面向量唯一对应着一个二维有序数组（a1，a2），称a1，a2为该向量的坐标。线性运算可以归结为坐标之间的运算

二维向量空间

z o y x 三维（空间）向量三维向量定义4在空间直角坐标系中，取一个固定点O为始点（一般称为原点），取另一点A为终点作一线段OA，该线段既有大小又有方向，这样的线段称为空间向量，记作或  . 图示

三维（空间）向量及线性运算

z o y x 三维向量（空间向量）的模和单位向量向量模的坐标表示

例题例1 例2

定义5 例3 三维（空间）向量的数量积

定义6 例4 三维（空间）向量的正交

三维向量空间

定义6n个数a1,a2,…,an组成的一个有序数组(a1, a2, …, an) 称为n维向量. 注意: (1)本书中n维向量一般指实数域R上n维向量. (2)当需要区分时，称为列向量，称T为行向量. 2.n维向量其中第i个数ai称为向量的第i个分量.向量一般用α,β,γ等表示.

n 维向量及其运算 定义7 零向量: 0=(0, 0, …, 0) 负向量: -α=(-a1, -a2, …, -an) 向量相等: 设α=(a1, a2, …, an), β=(b1, b2, …, bn), 称α=β, 若ai=bi (i=1,2,…,n) 定义8 (线性运算)设α=(a1, a2, …, an), β=(b1, b2, …, bn), 向量加法α+β=(a1+b1, a2 +b2, …, an+bn) ; 向量减法α-β=(a1-b1, a2 -b2, …, an-bn) ; 向量数乘kα= (ka1, ka2, …, kan).

线性运算性质 设α,β,γ,0为n维向量, k,l为数域F中的数,则 1.α+β= β+ α(加法交换律) 2.α+(β+γ)=(α+β)+γ(加法结合律) 3.α+0=α 4.α+(-α)=0 5. k (α+β)= kα+kβ(数乘分配律) 6. (k+l) α=kα+lα(数乘分配律) 7. (kl)α=k(lα)(数乘结合律) 8. 1α=α

n维向量空间定义

负号表示调出货物.设 A B C D 第一次调进 100 250 500 200 第二次调进 200 100 0 250 现存货物量例1.1.3 某仓库储存4种货物，A、B、C、D.存储情况见下表. 300 150 500 450 则现存货物量

解称向量组1, 2, …，n为基本单位向量组，称向量为基本单位向量组1, 2,…，n的线性组合 . 例1.1.5 已知n维向量一般地，我们称由线性运算组合成的式子为s个向量α1,α2 ,…,αs的线性组合，i为n维向量，ki (i=1，2，…, s)为实数.

解注这里行向量和列向量没有严格区分。例1.1.6已知向量

练习

为向量α与β内积. n维向量的内积、长度 1.n维向量的内积定义

内积的性质 2.长度（范数） (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ) 当且仅当α= 0时，[α,α]=0. 定义称之为向量α的长度(范数). 注：长度为1的向量,即为单位向量.

3.正交 定义若[α，β]=0，称向量α与β正交. 1.判断下列向量组是否正交？ (1) (2, 0),(1, 1); (2) (2, 0, 0), (0, 1, -1)；不正交正交正交

第1.2节矩阵及其运算 • 1.矩阵概念 • 2.线性运算 • 3.矩阵乘法 • 4.矩阵转置 • 5.矩阵的初等变换返回

1.矩阵概念 注矩阵一般用大写字母A、B，… , 表示.

解例1 由定义知，确定一个矩阵的两个要素是维数m×n及元素.

腰围（英寸）数量（条） 例2牛仔裤具有不同的品牌和型号，某专卖店现库存W牌牛仔裤23条： 28 3 30 11 32 6 34 3 库存的其它牌号可按照牛仔裤的型号从小到大排列如下： W L CF BO BA 牌子数量（条） 28 30 32 34 L 5， 5，3，4 CF 1， 7，0，0 BO 6， 2，2，2 BA 3 ，0，0，3 试通过矩阵将上面的信息表示出来.

例3（通路矩阵） 4 ○ ○ ○ ○ 1 3 3 ○ ○ 2 ○ 每条线上的数字表示连接该两城市的不同通路总数.该图提供的通路信息,试用矩阵形式表示(称之为通路矩阵). 2 ○

例4 试写出游戏“石头、剪子、布”的二人零和对策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分，平手各得零分. 甲方乙方

一个公司有5家零售店，第一家有10台电视t，15个立体电唱机s，9个磁带架d，12个录音机r；第二家有20t，14s，8d，5r；第三家有16t，8s，15d，6r；第四家有25t，15s，7d，16r；第五家有5t，12s，20d，18r.试用矩阵表示各家零售店的存货. 例5 用行表示商品,用列表示零售店,那么下面矩阵表示各家零售店的存货. 这是一个5×4矩阵

2. 矩阵的线性运算 • 矩阵相等 • 矩阵加法 • 矩阵减法 • 数乘矩阵

定义设有两个m×n矩阵 • 矩阵的相等则称矩阵A和B相等. 记作A=B 矩阵相等必须满足:行列对应相等且元素对应相等.

定义设有两个m×n矩阵 • 矩阵的加法称为矩阵A与B的和. 记作注：只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.

已知公司的5家零售店关于商品电视t，立体电唱机s，磁带架d，录音机r存货用矩阵表示如下: 接例5 若公司又给它的各个零售店发货，数量为D，新的存货量分别是多少？

则现存货量用矩阵表示为 如果该日各个零售店各个商品销售数量为M, 则各个零售店当天各种商品剩余数量如何求出?(思考)

矩阵的加法满足下列运算规律 解 (i) A+B=B+A (ii) (A+B)+C=A+(B+C) (iii) A+O=O+A=A (iv) A-A=A+(-A)=O 其中A、B、C和零矩阵O是同型矩阵. 例1

定义数k与矩阵A的乘积记作kA或 A k，简称数乘，规定为 • 数与矩阵的乘法数乘矩阵运算规律： (i) k(A+B)=kA+kB (ii) (k+h)A=kA+h A (iii) k(h A)=(k h)A (iv) 1A=A 其中A、B为m╳n 矩阵；k、h为数.

(续)若公司要求各个零售店年底对现存四种商品打折10%处理，设打折前的存货价值矩阵是V,打折后各个零售店四种商品的存货价值是多少呢？利用数乘矩阵可得

例2 解

例3 解

矩阵的乘法 由已知得 W L CF BO BA 28 30 32 34 • 某服装商店一天的销售量如下表：且知 • 每条W牌牛仔裤的利润是15元； • 每条L 牌牛仔裤的利润是17.5元； • CF牌是20元、 BO牌是12.5元、 BA牌是20元. 引例

W L CF BO BA 28 30 32 34 设为A 问题 1. 在这一周之内.，最小号牛仔裤的销售利润总和是多少？问题 2. 30号牛仔裤的利润总和是多少？问题 3. 所有牛仔裤的销售利润总和是多少？

问题 2. 30号牛仔裤的利润总和是多少？ 问题 3. 所有牛仔裤的销售利润总和是多少？总利润 862.5元

其中记作C =AB. 矩阵乘法定义注只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘. 矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵

注按此定义，一个1 × s矩阵与一个s × 1矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数.如前例中求得携手销售各个型号牛仔裤利润总和. 这表明乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij 是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和.

第1章 向量与矩阵