第二篇数学物理方程

第二篇数学物理方程 数学物理方程指：数学物理所涉及的偏微分方程，有时包括相关的积分方程、微分积分方程。本篇介绍数学物理中常见的三类偏微分方程及有关的定解问题和这些问题的常见解法。

第二篇数学物理方程 第7章数学物理定解问题第8章分离变数法第9章二阶常微分方程级数解法第10章球函数第11章贝塞尔函数

就是初始条件： v 0 第7章数学物理定解问题根据物理知识导出S，U，I以t 质点力学中，质点位移：S＝S(t) 为自变量的常微分方程，再由初始电学中，电压,电流： U(t),I(t) 条件求出它们随t变化的规律如：简谐振动： A,w,j 为弹簧振子的特征量 LC振荡电路：以上方程是属于常微分方程，不是数学物理方程

研究静电场的电场强度或电势在空间中的分布 研究电磁波的电场强度和磁感应强度在空间和时间中的变化情况研究声场中的声压在空间和时间中的变化情况自变数不仅仅是时间还有空间坐标研究半导体扩散工艺中杂质浓度在硅片中如何分布并如何随时间变化这些物理问题的物理规律常常需要用偏微分方程表示，即数学物理方程

 合称定解条件  数学物理方程：从物理规律总结出来的反映客观物理量在各个地点，各个时刻之间相互制约关系的偏微分方程。物理规律是偏微分方程表达出来的，叫～或：每一类物理现象用同一个数学物理方程来描述。仅由数学物理方程不能完全确定具体的物理过程，具体的物理状态与初始的物理状态及边界上所受的作用有关。称初始条件称边界条件

 定解问题。在给定的定解条件下求解数学物理方程，叫做数学物理定解问题或简称用数学物理方程研究物理问题的步骤： (1)提出定解问题（泛定方程＋定解条件） (2)求解： 1.行波法（达朗贝尔法）2.分离变量法 3.积分变换法 4.格林函数法 5.保角变换法 6.复变函数法 7.变分法 (3)分析解答：解的存在性，唯一性，稳定性

7.1 数学物理方程的导出 均匀弦的微小横振动均匀杆的纵振动扩散，热传导静电场稳定场小结

7.1 数学物理方程的导出 教学重点：重点研究均匀弦的微小横振动方程、杆的纵振动方程、扩散方程、热传导方程、稳定分布方程、静电场方程等物理方程的导出。导出步骤如下：首先确定研究哪个物理量，然后从系统中取小部分研究，根据物理规律分析邻近部分和这个小部分的相互作用，以及该相互作用在短时间内如何影响物理量u，将之用数学式子表示，并简化整理就是数学物理方程。演奏二胡，提琴时，弓在弦上来回拉动时，弓只与弦的一小段接触，而整根弦都振动起来，这是因为绷紧的弦各段之间有弦中张力，沿切线方向，所以一小段的振动会传播到整根弦。这种振动的传播现象叫作波。

（一）均匀弦的微小横振动 设有一根拉紧的，均匀轻质、柔软有弹性的弦，研究弦的振动方程。 u 取弦长方向为x轴，弦上各点横向位移为u。 C u+du B u=u(x) 同一时刻弦上各点位移不同， A u x x 同一质点不同时刻位移也不同， u=u(t) x+d x 弦的位移是x与t的函数： u=u(x,t) 将弦细分成许多极小的小段（可抽象为质点，满足牛二定律） F=ma 研究弦上任一小段： B(x , x+dx) B受邻近A段，C段拉力T1，T2的作用而振动

u C 是小量， a a a a u+du B Q 是小振动： 2 2 1 1 A u 忽略以上的高阶小量 2 2 、 x x x+d x :弦的线密度 r 因为研究的是微小横振动，认为弦上每一段都没有纵向（x）运动，只作横向运动。纵向：横向： T2 2 1 T1 （B段横向运动的加速度）

r :[密度]kg/m 第一式指出，弦中张力不随x而变，又振动中，即ds不随t而变，即张力T不随t变，故张力与x，t无关，为常数：代表振动在弦上传播的速度 T越大，传播速度越快，频率越高， T:[张力]N，＝[速度] 弦振动方程（自由振动）

受迫振动：弦在振动过程中受到外加横向力的作用受迫振动：弦在振动过程中受到外加横向力的作用设每单位长度受到横向力为 F(x,t) 则：～受迫振动方程 f(x,t): 力密度，t时刻作用于x处单位质量上的横向外力。弦的振动，管道中空气小扰动的传播，力学弹性杆的纵振动，电报方程都可归结为上述偏微分方程：

x x+d x x A B C A C B （二）均匀杆的纵振动杆上任一小段的纵振动必将传播到整根杆，这种振动的传播就是波。研究纵振动杆的振动方程。纵向位移:u(x,t)，取一段B（x,x+dx）研究 u u+du t时刻B两端的位移分别为： B段的伸长相对伸长为：随地点而异 B1端的相对伸长为： B2端的相对伸长为：

x x+d x x A B C u u+du A C B 设杆的杨氏模量为： F>0张应力，F<0 压应力；F的方向在S的外法线方向上 B两端的张应力为： B1端（向左）： B2端（向右）： B1端受力： B2端受力： FAB FCB B 由牛二定律：若为均匀杆：杆的纵振动方程表示纵振动在杆中传播速度

Si Si Si P Si Si B Si Si Si （三）扩散方程（1）扩散：由于浓度（单位体积中的分子数或质量）的不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，这种现象叫～如制作半导体器件常用扩散法，将所需杂质涂在硅片表面，这叫掺杂。掺杂可使半导体的导电性能大大增加。 N型半导体、p型半导体结构简图在扩散问题中研究的是浓度在空间中的分布和随时间的变化。则u＝u（x，y，z，t）

(2)扩散运动强弱用 扩散流强度表示 (3)扩散运动的起源是浓度的不均匀，浓度的均匀程度用表示。浓度梯度：表示单位时间内通过单位横截面积的粒子数 (4)扩散定律：

下面用扩散定律和粒子数守恒定律（质量守恒定律）导出扩散方程。下面用扩散定律和粒子数守恒定律（质量守恒定律）导出扩散方程。

z (x+dx,y+dy,z+dz) y dz dy (x,y,z) dx x

穿过闭合曲面 向外的电通量等于闭合面所围空间T中电量的倍。（四）静电场静电场是有源无旋场，电力线不闭合，始于正电荷，终于负电荷反映静电场基本性质的是高斯定理和电场强度E的无旋性。高斯定理：静电场基本微分方程又静电场是无旋场：又存在电势函数V（x,y,z）使：静电场中电势函数满足的静电场方程（泊松方程）

（高斯散度定理）

若电场中某一区域无电荷，即 则拉普拉斯方程（六）稳定温度（浓度）分布若无源，则：（拉普拉斯方程）

小结总结本节课推导的几类数学物理方程：（杆、弦、电报） 1.振动方程：（膜振动）（声波振动，电磁波方程） 2.输运方程：（扩散方程，热传导方程） 3.稳定场方程：（稳定浓度/温度分布）（静电场方程）它们各自反映一类物理现象的共同规律。

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