ТЕМА 2

1. ТЕМА 2 Множественный регрессионный анализ

2. Понятие множественной регрессии Множественной регрессией называют уравнение связи с несколькими независимыми переменными: y* = f (x1,x2,...,xp), Переменная у называется зависимой, объясняемой или результативнымпризнаком. х1, х2, …, хp – независимые, объясняющие переменные или факторные признаки (факторы). Соответствующая регрессионная модель имеет вид y = f (x1,x2,...,xp) + ε, где ε -ошибка модели, являющаяся случайной величиной.

3. Постановка задачи множественной регрессии по имеющимся данным n наблюдений за совместным изменением p+1 параметраy и xjи ((yi,xj,i); j=1, 2, ...,p; i=1, 2, ...,n) необходимо определить аналитическую зависимость y* = f(x1,x2,...,xp), наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

4. Результаты наблюдений

5. Например, данные по РФ

6. Отбор факторов при построении множественной регрессии К факторам, включаемым в модель, предъявляются следующие требования: 1. Факторы не должны быть взаимно коррелированы . 2. Включение фактора в модель должно приводить к существенному увеличению доли объясненной части в общей вариации зависимой переменной.

8. Линейная зависимость между объясняющими переменными xiиxjсчитается установленной, если rxixj≥ 0,8. Сами факторы называются явно коллинеарными (эмпирическое правило).

9. Матрица коэффициентов корреляции

10. Для оценки мультиколлинеарности факторов можно использовать величину определителя Det |R| Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность между факторами и тем ненадежнее результаты множественной регрессии. Det |R|=0,000038

11. Способы преодоления линейной зависимости между факторами. • исключение одного из коррелирующих факторов; • переход с помощью линейного преобразования к новым некоррелирующим независимым переменным. • переход к смещенным оценкам, имеющим меньшую дисперсию.

12. Выбор формы уравнения регрессии Линейная множественная регрессия имеет вид y*= a +b1∙x1+b2∙x2+ ...+bp∙xp . Например, Qd= 2,5-0,12P + 0,23 I.

13. Степенная множественная регрессия имеет вид Например, Y=0,89K 0.23 L0.81

14. Оценка параметров уравнения линейноймножественной регрессии y*= a +b1∙x1+b2∙x2+ ...+bp∙xp S =(y*i-yi)2 → min

17. Решение можно найти:

18. «Стандартизованные» переменные Уравнения множественной регрессии в стандартизованных переменных принимает вид: Величины βi называются стандартизованными коэффициентами.

19. Стандартизируем наши переменные

20. Стандартизируем наши переменные

21. Находим коэффициенты корреляции ryx

22. Система нормальных уравнений МНК в стандартизованных переменных принимает вид:

23. Составим систему уравнений:

24. Тогда нормализованное уравнение будет иметь вид: Находим коэффициенты уравнения регрессии.

25. Свободное слагаемое равно: Таким образом уравнение регрессии примет вид:

26. Проверка качества уравнения регрессии. F-критерий Фишера

28. Значение F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05

29. Скорректированный, улучшенный коэффициент множественной детерминации

30. Точность коэффициентов регрессии. Доверительные интервалы [( X'X)-1 ]ii-диагональный элемент матрицы (X'X )-1.

31. Величину [( X'X)-1 ]ii можно вычислить как: где Aii-алгебраическое дополнение к элементу ii матрицы (X'X ) .

32. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии применяется t-критерий Стьюдента. Согласно t-критерию Стьюдента, выдвигается «нулевая» гипотеза H0 о статистической незначимости коэффициента уравнения регрессии. Эта гипотеза отвергается при выполнении условия t > tтаб, гдеtтабопределяется по таблицамt-критерия Стьюдента по числу степеней свободы k = n-p-1 и заданному уровню значимости α.

33. Доверительные интервалы для параметров biуравнения линейной регрессииопределяются соотношениями: Величина tα,n-2 представляет собой табличное значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости α при степени свободы n–p-1.

34. Проверим значимость каждого параметра

35. Значениеt-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,10; 0,05; 0,01

36. Проверим значимость каждого параметра Проверим значимость каждого параметра гипотеза принимается

37. Рассчитаем доверительные интервалы для каждого параметра

38. Частные уравнения регрессии.Частная корреляция y*= a +b1∙x1+b2∙x2+ ...+bp∙xp Уравнение парной регрессии или

39. где

40. или

41. где На основе частных уравнений регрессии определяют частные коэффициенты эластичности где bi – коэффициенты регрессии для фактора хi в уравнении множественной регрессии; y*xip–значение результативного фактора, полученное из частногоуравнения регрессии при данном значении фактора хi.

42. Средние частные коэффициенты эластичности

43. имеет t-распределение Стьюдента с n–p–1 степенями свободы. Если t>t1–α;n–p–1,то коэффициент считается значимым. В случае только двух факторов х1 и х2 формула принимает вид

44. Проверка остатков регрессии Наблюдаемые отклонения ei=yi- f(x1i,x2i,…,xpi) Тест ранговой корреляции Спирменапроверяет наличие монотоннойзависимости между дисперсией ошибки и величиной фактора. Наблюдения(значения фактора xi и остатки ei) упорядочиваются по величине фактора x ивычисляется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. где di – разность между рангами значений xi и ei в i-наблюдении.

45. Расчет коэффициента Спирмена

46. Расчет коэффициента Спирмена

47. Коэффициент ранговой корреляции ρx,e считается значимым на уровнезначимости α при n > 10, если выполняется условие где tα, n-2 – табличное значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости αи при числе степеней свободы (n–2).

48. Значениеt-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,10; 0,05; 0,01

50. Критерий Дарбина-Уотсона Т.о. если в остатках re1 = 1, то d = 0, re1 = -1, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то re1 = 0 и d =2. Величина d изменяется в диапазоне 0 ≤ d ≤ 4.