§3. X 射线衍射的几何原理

1. §3. X射线衍射的几何原理 §3.1 布拉格定律§3.2 倒易点阵§3.3 衍射矢量方程和厄瓦尔德几何图解

2. §3.1 布拉格定律 • 一、布拉格方程的导出 • 2dsinθ=nλ

3. 二、 布拉格方程的讨论 1 选择反射 X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射线的反射，所以才借用镜面反射规律来描述X射线的衍射几何。这样从形式上的理解并不歪曲衍射方向的确定，同时却给应用上带来很大的方便。但是X射线的原子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，而原子面对X射线的反射并不是任意的，只有当λ、θ和d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射。所以把X射线的这种反射称为选择反射。在以后的学习中，我们经常要用“反射”这个术语来描述一些衍射问题。有时也把“衍射”和“反射”作为同义语混合使用。但其本质都是说明衍射问题。

4. 2 产生衍射的极限条件 • 在晶体中产生衍射的波长是有限度的。在电磁波的宽阔波长范围里，只有在X射线波长范围内的电磁波才适合探测晶体结构。这个结论可以从布拉格方程中得出。 • 由于sinθ不能大于1，因此， nλ/2d=sinθ＜1 ,即nλ﹤2d,对衍射而言，n的最小值为1（n=0相当于透射方向上的衍射线束，无法观测）。所以在任何可观测的衍射角下，产生衍射的条件为λ﹤2d。 • 当X射线波长一定时，晶体中可能参加反射的晶面族也是有限的，它们必须满足d﹥λ/2,即只有那些晶面间距大于入射X射线波长一半的晶面才能发生衍射。我们利用这个关系来判断一定条件下所能出现的衍射数目的多少。

5. 3 干涉面和干涉指数 • 为了应用上的方便，经常把布拉格方程中的n隐含在d中得到简化的布拉格方程。为此，需要引入干涉面和干涉指数的概念。布拉格方程可以改写为2dhklsinθ/n =λ,令dHKL＝dhkl/n • 则 2 dHKLsinθ=λ • 这样，就把n隐函在dHKL之中，布拉格方程变成为永远是一级反射的形式。这也就是说，我们把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间距为dHKL＝dhkl/n的晶面的一级反射。

6. 面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的反射面，我们把这样的反射面称之为干涉面。把干涉面的面指数称为干涉指数，通常用HKL来表示。根据晶面指数的定义可以得出干涉指数与晶面指数之间的关系为：H=nh；K=nk；L=nl。干涉指数与晶面指数之间的明显差别是干涉指数中有公约数，而晶面指数只能是互质的整数。当干涉指数也互为质数时，它就代表一族真实的晶面。所以说，干涉指数是晶面指数的推广，是广义的晶面指数。面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的反射面，我们把这样的反射面称之为干涉面。把干涉面的面指数称为干涉指数，通常用HKL来表示。根据晶面指数的定义可以得出干涉指数与晶面指数之间的关系为：H=nh；K=nk；L=nl。干涉指数与晶面指数之间的明显差别是干涉指数中有公约数，而晶面指数只能是互质的整数。当干涉指数也互为质数时，它就代表一族真实的晶面。所以说，干涉指数是晶面指数的推广，是广义的晶面指数。

7. 4 衍射花样和晶体结构的关系 • 从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的方向是晶体面间距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格方程式，则得： • 立方晶系： • 四方晶系： • 六方晶系： • 斜方晶系： • 从这些关系式可明显地看出，不同晶系的晶体，或者同一晶系而晶胞大小不同的晶体，其衍射花样是不相同的。由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形状的变化。

8. §3.2 倒易点阵 • 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系建立起来的空间几何图形。每种空间点阵都存在着与其相对应的倒易空间点阵，它是晶体点阵的另一种表达方式。自从1921年德国物理学家厄瓦尔德（Ewald,P.P）把倒易点阵引入衍射领域之后，用倒易点阵处理各种衍射问题就逐渐地成为主要的研究方法。用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚，数学推演简化。

9. 如果用a、b、c表示晶体点阵（相对倒易点阵而言，把晶体点阵称为正点阵）的基本平移矢量；用a﹡、b﹡、c﹡来表示倒易点阵的基本平移矢量。则倒易点阵与正点阵的基本对应关系为：如果用a、b、c表示晶体点阵（相对倒易点阵而言，把晶体点阵称为正点阵）的基本平移矢量；用a﹡、b﹡、c﹡来表示倒易点阵的基本平移矢量。则倒易点阵与正点阵的基本对应关系为： • a﹡﹒b= a﹡﹒c=b﹡﹒a=b﹡﹒c=c﹡﹒a=c﹡﹒b=0 • a﹡﹒a=b﹡﹒b=c﹡﹒c=1 • 从这个基本关系出发，可以推导出倒易点阵的基本平移矢量a﹡、b﹡、c﹡的方向和长度。

10. 从（矢量“点积”关系知道，a﹡同时垂直b和c、因此，a﹡垂直b、c所在的平面，即a﹡垂直（100）晶面。同理可证，b﹡垂直（010）晶面，c﹡垂直（001）晶面。从（矢量“点积”关系知道，a﹡同时垂直b和c、因此，a﹡垂直b、c所在的平面，即a﹡垂直（100）晶面。同理可证，b﹡垂直（010）晶面，c﹡垂直（001）晶面。 • 从上式可以确定基本平移矢量的长度a﹡、b﹡、c﹡。 • ； ； • 式中 a﹡﹒a间的夹角； • b﹡﹒b间的夹角； • c﹡﹒c间的夹角。

11. 从右图中可以看出，c在c﹡方向的投影OP为（001）晶面的面间距，因此，OP=ccosω=d001。同理， acos=d100,bcos=d010。所以： • ； ； • 在直角坐标晶系（立方、四方、正交）中： • a*︱a, a*=1/a • b*︱b b*=1/b • c*︱c c*=1/c

12. 正点阵和倒易点阵的阵胞体积也互为倒易关系，这点在直角坐标晶系中是很容易证明的。正点阵和倒易点阵的阵胞体积也互为倒易关系，这点在直角坐标晶系中是很容易证明的。 • 正点阵的阵胞体积V=abc,而倒易点阵的阵胞体积为:V﹡= a﹡b﹡c﹡=1/abc=1/V，所以，V﹡V＝1。这个结论同样也适合其它晶系。

13. 作出倒易点阵之后，将倒易阵胞在空间平移便可绘制出倒易空间点阵。倒易空间点阵中的阵点称为倒易结点。从倒易点阵原点向任一个倒易结点所连接的矢量称为倒易矢量，用符号r﹡表示。作出倒易点阵之后，将倒易阵胞在空间平移便可绘制出倒易空间点阵。倒易空间点阵中的阵点称为倒易结点。从倒易点阵原点向任一个倒易结点所连接的矢量称为倒易矢量，用符号r﹡表示。 • r﹡=Ha﹡+Kb﹡+Lc﹡ • 式中 H、K、L为整数。

14. §3.3 衍射矢量方程和厄瓦尔德几何图解 • 由倒易点阵概念导入X射线衍射理论, 倒易点落在Ewald 球上是产生衍射必要条件。