第九单元 圆

1. 第九单元圆 • 第30课时圆的基本性质

2. 考 点 管 理

3. 1．点和圆的位置关系： 如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么： 点在圆外⇔_______； 点在圆上⇔_______； 点在圆内⇔_______． 2．三角形的外心：三角形三边____________的交点，即三角形外接圆的圆心． 3．圆的轴对称性：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴． 4．注意垂径定理推论(1)中 “不是直径” 的条件． d＞r d＝r d＜r 垂直平分线

4. 5．圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．5．圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 6．应用圆心角、弧、弦的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”．该定理十分重要，它提供了圆心角、弧、弦之间的转化方式，是圆的相关性质的核心内容． 7．(1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等； (2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于其中一条弧所对的圆心角的一半．

5. 1．[2013·泰安]如图30－1，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于 ( ) 图30－1 A．60° B．70° C．120° D．140° D

6. 2．[2013·温州]如图30－2，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是 () 图30－2 B

7. 3．[2013·莱芜]如图30－3，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为 () A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5° D 图30－3图30－4 4．[2013·郴州]如图30－4，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝______. 20 °

8. 类型之一　圆心角、弧、弦之间的关系 [2011·资阳]如图30－5，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点． (1)连结AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD； (2)若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连结PB，PD，PF，写出这三条线段长度的数量关系(不必说明理由)． 归 类 探 究

9. 图30－5 【解析】 (1)连结OB，OF，得到等边△AOB，等边△AOF，据此并结合圆的性质，即可推出AB＝AF＝AO＝OD，从而得到AB＋AF＝AD；

10. 解：(1)证明：如图，连结OB，OF. ∵A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点， 且∠AOB＝∠AOF＝60°. 又∵OA＝OB＝OF， ∴△AOB，△AOF是等边三角形， ∴AB＝AF＝AO＝OD， ∴AB＋AF＝AO＋OD＝AD.

11. 例1答图

12. 【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等．利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件：半径相等及分类讨论思想的应用．

13. [2013·厦门]如图30－6所示，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝ ()[2013·厦门]如图30－6所示，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝ () B 图30－6 A．150° B．75° C．60° D．15°

15. 类型之二　垂径定理及其推论 [2013·邵阳]如图30－7所示，某窗户由矩形和一个弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径． 图30－7

16. 解：由题意知OE⊥AB于点F. 由垂径定理得BF＝ AB＝1.5，设圆O的半径为x，则OF＝x－1，在Rt△OBF中，根据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625，即圆O的半径是1.625 m.

17. 1．[2012·衢州]工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图30－8所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm. 图30－8 8 【解析】 如图，连结OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.

18. 第1题答图 ∵钢珠的直径是10 mm，∴钢珠的半径是5 mm. ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm， ∴OD＝3 mm. 在Rt△AOD中， ∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．

19. 2．[2012·东营]如图30－9(1)，某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架，示意图如图30－9(2)所示，若不计木条的厚度，其俯视图如图30－9(3)所示，已知AD垂直平分BC，AD＝BC＝48 cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是_____cm. 图30－9 30

20. 【解析】 过A，B，C三点作△ABC的外接圆圆O，连结OB，如图． 第2题答图 当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径最大． ∵AD垂直平分BC，AD＝BC＝48 cm， ∴O点在AD上，BD＝24 cm.

21. 在Rt△OBD中，设⊙O的半径为r， 则OB＝r，OD＝48－r， 由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2， ∴r2＝(48－r)2＋242，解得r＝30， 即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30 cm. 【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算．

22. 类型之三　圆周角定理及其推论 [2013·温州]如图30－10，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长． 图30－10

23. 解：(1)∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. ∵DC＝CB，∴AD＝AB， ∴∠B＝∠D. (2)设BC＝x，则AC＝x－2. 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， ∴(x－2)2＋x2＝42， ∵∠B＝∠E，∠B＝∠D， ∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.

24. 1．[2013·滨州]如图30－11，在⊙O中，圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的大小为 () 图30－11 A．156° B．78° C．39° D．12° C

25. 2．[2014·预测题]如图30－12，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．2．[2014·预测题]如图30－12，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点． (1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明； (2)在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？(直接写出结论) 图30－12

26. 【解析】 (1)连结AD，由AB为⊙O的直径知AD⊥BC，再由BD＝CD，易证AB＝AC. (2)连结BE，显然BE⊥AC.要想AE＝EC，△ABC必须是正三角形，故补充△ABC为正三角形的条件即可． 解：(1)AB＝AC. 证法一：连结AD，∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 又∵AD＝AD，BD＝DC， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD， ∴AB＝AC.

27. 证法二：连结AD，∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵BD＝DC，∴AD是线段BC的中垂线， ∴AB＝AC. (2)△ABC为正三角形或AB＝BC或AC＝BC或∠A＝∠B或∠A＝∠C. 【点悟】 (1)由圆周角与圆心角的关系可知：圆周角定理是建立在圆心角的基础上的，有了圆周角定理，就多了一种证明角相等关系或倍分关系的方法． (2)直径所对圆周角为直角，反之亦成立，在圆的有关证明和计算中要创造条件灵活运用，使问题简单化．

28. 圆的计算中谨防漏解 [2010·襄阳]圆的半径为13 cm，两条弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则两条弦AB，CD之间的距离是 () A．7 cm B．17 cm C．12 cm D．7 cm或17 cm 易 错 警 示

29. 【错解】 如图30－13，设OE⊥CD于点E，交AB于点F， 图30－13 ∵AB∥CD， ∴OF⊥AB. ∵OE⊥CD，CD＝10 cm，

30. 又∵OC＝13 cm， 同理可求得OF＝5 cm， ∴EF＝OE－OF＝7 cm. 【错因】 当已知条件中没有明确的图形时，要注意讨论，错解忽略这一点，造成丢解．此题可以分两种情况，即两条弦在圆心的同侧时和在圆心的两侧时，所以此题的答案有两个．

31. 【正解】 第一种情况：两条弦在圆心的同侧时，结论同错解；第二种情况：如图30－14，两条弦AB，CD之间的距离EF＝OE＋OF＝17(cm)．故选D. 图30－14