Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям

1. Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям

2. Пример такой задачи • Распределение температуры внутри ограждающих поверхностей: Кирпичная стена толщиной 30 см имеет температуру на внутренней поверхности 20 градусов, а на наружной 0 градусов. Найти зависимость температуры внутри стены от расстояния до ее наружного края и количество теплоты, которое отдает наружу 1квадратный метр стены в течение суток.

4. Решение: • Количество теплоты, проходящее через единицу поверхности в единицу времени, равно: , где: t- температура; х- расстояние до наружной стены: к- коэффициент теплопроводности (для кирпича- о,2 ккал/м*ч*град); dt/dx- характеризует интенсивность падения температуры по направлению теплового потока перпендикулярно к поверхности стены.

5. Пусть температура внутри стены есть функция расстояния до наружной поверхности х, т.е. T=t(x). Интенсивность падения температуры по нормали к поверхности стены определяется производной dt/dx.

6. Возьмем на расстоянии х от наружной стены слой толщиной dx с постоянной (внутри этого элементарного слоя) температурой t. Количество теплоты Q1, проходящее через этот слой, будет постоянным и по условию: (1) Так как поверхность S=1 квадратному м, то: (2)

7. Решим полученное уравнение

8. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: (3)

9. Начальное условие: при х=0 t=0, откуда согласно уравнению (3), С=0. Тогда искомый закон температуры внутри стены: (4)

10. Дополнительное условие: при х=0,3м t=20 градусов, k=0,2 ккал/м*ч*град дает возможность определить из уравнения (4) величину Q1

11. Подставляя найденное значение Q1 в равенство (4), получим

12. Ответ: Количество теплоты, которое отдает наружу 1 квадратный м стены за сутки (24 часа), будет

13. Если наружная температура -200

14. Таблица коэффициентов теплопроводности некоторых материалов, Вт/м*К

15. Из результатов приведенных коэффициентов теплопроводности следует, что Астратек на сегодняшний день обладает минимальным коэффициентом, а слой покрытия Астратек толщиной в 1 мм (в реальных условиях с учетом понижающих коэффициентов) обеспечивает те же изоляционные свойства, что и 50 мм рулонной изоляции или кирпичная кладка толщиной в 1-1,5 кирпича.