slide1 l.
Download
Skip this Video
Download Presentation
LUKUALUEET

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 57

LUKUALUEET - PowerPoint PPT Presentation


  • 123 Views
  • Uploaded on

LUKUALUEET. MAA0. Luonnolliset luvut N =  0,1,2,3,…  Kokonaisluvut Z =  … ,-3,-2,-1,0,1,2,3,… . Merkinnät:. x kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon. x ei kuulu luonnollisten lukujen joukkoon. Rationaaliluvut Q luvut, jotka voidaan esittää murtolukuina. MAA0.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'LUKUALUEET' - baina


Download Now An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

LUKUALUEET

MAA0

Luonnolliset luvutN = 0,1,2,3,…

KokonaisluvutZ = … ,-3,-2,-1,0,1,2,3,…

Merkinnät:

x kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon

x ei kuulu luonnollisten lukujen joukkoon

slide2

Rationaaliluvut Q

luvut, jotka voidaan esittää murtolukuina

MAA0

Jokainen kokonaisluku

Päättyvä desimaaliluku

Päättymätön jaksollinen desimaaliluku

Esimerkki 2

Esitä x supistettuna murtolukuna, kun x = 0,444…

x = 0,444...

10x = 4,444…

10x - x = 4,444… - 0,444…

9x = 4 |:9

x = 4/9

slide3

1.1.3 - 4. Laskutoimituksia rationaaliluvuilla

1. Laventaminen

Osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla.

2. Supistaminen

Osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla.

E.1.

Lavenna

luvulla 4

E.2.

Supista

slide4

3. Kertolasku

Sekamurtoluvut muutetaan ensin varsinaisiksi murtoluvuiksi.

Tulon osoittajaksi osoittajien tulo ja nimittäjäksi nimittäjien tulo.

Lopuksi supistetaan, jos voidaan. (Supistaa voi jo tekijöitäkin!)

4. Jakolasku

Jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla.

Jatko kuten edellä 3:ssa

E.4.

Laske

E.3.

a)Laske

b)

slide5

5. Yhteenlasku

Murtolukuja saa laskea yhteen ja vähentää, kun niillä on sama nimittäjä.

Tarvittaessa lavennetaan.

Tällöin osoittajaksi tulee osoittajien summa (erotus)

ja nimittäjäksi yhteinen nimittäjä

E.5.

a)Laske

slide6

Laskulait

Vaihdantalait a + b = b + a

ab = ba

Liitäntälait (a + b) + c = a + (b + c)

(ab)c = a(bc)

Osittelulaki a(b + c) =ab + ac 2(3x+1) = 2∙3x + 2∙1

=6x + 2

Tulon nollasääntö ab = 0, jos ja vain jos a = 0 tai b = 0

MAA0

slide7

Vastaluku

Luvun a vastaluku on -a

Vastalukujen summa on nolla:

a + (-a) = 0

Käänteisluku

Luvun a käänteisluku on 1/a (a0)

Käänteislukujen tulo on yksi:

a ∙ 1/a = 1, a  0

MAA0

Esimerkki4

Määritä

a) Luvun -8 vastaluku

b) 2/3 käänteisluku

a) 8, sillä

-8 + 8 = 0. Siis -(-8) = 8

b) 3/2, sillä

slide8

Vastaluvun ominaisuuksia

-(-a) = a

-(a + b) = -a - b

a - b = a + (-b)

a(-b) = (-a)b = -ab

(-a)(-b) = ab

a(b - c) = ab - ac

MAA0

Esimerkki 5

a) 2 * (-4) *(-5) = 40

b) 6(2x - 4) = 12x - 24

c) (-2)4 = 16

d) (-2)5 = -32

slide9

Likiarvot

Merkitseviä numeroita

Kaikki muut paitsi desimaaliluvun alussa olevat nollat

Kokonaisluvun lopussa olevien nollien merkitsevyys riippuu asiayhteydestä

MAA0

Esimerkki 6

Kuinka monta merkitsevää numeroa on

a) 2001

4

b) 0,0023

2

c) 32 000

2 / 5, esimerkiksi asukasluku / pankkilaina

slide10

MAA0

Laskeminen likiarvoilla

Tulos ilmoitetaan niin monen merkitsevän numeron tarkkuudella kuin niitä on epätarkimmassa lähtöarvossa

Jos kyse ainoastaan yhteen- tai vähennyslaskusta, vastaus ilmoitetaan niin monen desimaalin tarkkuudella kuin niitä on epätarkimmassa lähtöarvossa

Esimerkki 7

Likiarvoille

a) 1,03 * 2,5 = 2,575  2,6

b) 2,30 + 120,1  122,4

slide11

1.2.3. Itseisarvo

*luvun etäisyys nollasta

  • Siis
  • positiivisen luvun itseisarvo on luku itse
  • negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku
  • nollan itseisarvo on nolla
slide12

E.1

a)

= 4

b)

= 4

c)

sillä

on negatiivinen

slide13

PROSENTTILASKUJA

PROSENTTI

PROMILLE

1 % = = 0,01

1 ‰ = = 0,001

1) p% luvusta a

slide14

Esimerkki 1

Pesuaineessa on 8 % fosforia?

Kuinka paljon sitä on 1500 grammassa?

tai

Muunnetaan p% desimaaliluvuksi

Kerrotaan luku a tällä desimaaliluvulla

0,08 * 1500 g = 120 g

slide15

MAA0

2) Kuinka monta prosenttia luku a on luvusta b

Esimerkki 2

Kuinka monta prosenttia 5 on luvusta 200?

= 2,5 %

tai

muunnetaan prosenteiksi

= 2,5 %

slide16

MAA0

3) p% lukua a suurempi luku

Esimerkki 3

Mikä luku on 4 % suurempi kuin 25?

1,04 * 25 = 26

slide17

MAA0

4) p% lukua a pienempi luku

Esimerkki 4

Mikä luku on 4 % pienempi kuin 25?

0,96 * 25 = 24

slide18

MAA0

5) Kuinka monta prosenttia luku a on suurempi kuin luku b

a>b>0

Esimerkki 5

Kuinka monta prosenttia luku 15 on suurempi kuin 12?

15-12 = 3

slide19

MAA0

6) Kuinka monta prosenttia luku b on pienempi kuin luku a

a>b>0

Esimerkki 6

Kuinka monta prosenttia luku 12 on pienempi kuin 15?

15-12 = 3

slide20

MAA0

Esimerkki 7

Vaaleissa erästä puoluetta kannatti 12 %

Edellisellä kerralla kannatus oli ollut 8 %.

Kuinka monta prosenttiyksikköä kannatus oli muuttunut?

12- 8 = 4

4 prosenttiyksikköä

slide21

Esimerkki 8.

Korko 4,5 %

Kuinka suuri talletuksen on oltava, jotta korko olisi 180 € vuodessa?

x = talletuksen määrä

0,045 * x = 180 :0,045

x = 4000

V: 4000 €

MAA0

slide22

Kirjan esimerkki

Lääkeliuoksen väkevyys 10%. Litra liuosta

Kuinka paljon vettä on lisättävä, jotta saadun liuoksen väkevyys 4 %

MAA0

x = lisättävän veden määrä

LiuosVäkevyysMäärä (l)Lääkkeen määrä

Vanha 10 % 1 0,1

Uusi 4 % 1+x 0,04(1+x)

0,04(1+x) = 0,1

0,04 + 0,04x = 0,1

0,04x = 0,1-0,04

0,04x = 0,06 | :0,04

x = 1,5 (l)

slide23

Kirjan esimerkki

Työntekijöiden palkkoja korotettiin 10 %

Tämän jälkeen palkkoja alennettiin 10 %

Työntekijöiden alkuperäinen palkka = 100a

I: 1,1* 100a = 110a

II: 0,9 * 110a = 99a

Tämä on 99 % alkuperäisestä palkasta, joten palkka ei ole sama kuin alussa vaan 1 % pienempi

(10 % otettiin eri luvuista!!!!!)

MAA0

slide24

Suoraan verrannollisuus

MAA0

* Suureiden suhde pysyy vakiona ts. suureet muuttuvat samassa suhteessa

x y

x1 y1

x2 y2

kerrotaan ristiin

x1y2 = x2y2

Jos muuttujat y ja x suoraan verrannollisia, niin

y = kx (k = verrannollisuuskerroin)

kuvaaja origon kautta kulkeva suora

slide25

Esimerkki 1

Ratkaise verranto

MAA0

2x = 3*5

2x = 15 |:2

x = 7½

slide26

Esimerkki 2

MAA0

15 kg porkkanoita maksaa 34,50 mk.

a) Kuinka paljon maksaa 11 kg porkkanoita

b) Muodosta porkkanoiden määrän x ja hinnan y välinen yhtälö

a)

b)

15

11

34,50 y

15

x

34,50 y

=

=

15y = 34,50x |:15

y = 2,3x

15y = 11 *34,50

15y = 379,50  :15

y = 25,30

V: 25,30 mk

slide27

Esimerkki 3

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön.

Auto pysähtyi nopeudesta 80 km/h 35 metrin matkalla.

Kuinka pitkä jarrutusmatka vähintään tarvitaan pysäyttämään nopeudesta 50 km/h?

MAA0

802x = 502 *35

6400x = 87500 |:6400

x 14

V: 14 m

slide28

Kääntäen verrannollisuus

MAA0

* Suureet muuttuvat käänteisessä suhteessa* Suureiden tulo pysyy vakiona

x y

x1 y1

x2 y2

ELI

x1y1 =x2y2

Jos muuttujat x ja y ovat kääntäen verrannollisia, niin

y = (k = verrannollisuuskerroin)

kuvaaja hyperbeli

slide29

MAA0

Esimerkki 4

Viisi maalaria maalasi talon seitsemässä tunnissa.

Kuinka monta maalaria tarvitaan, jotta työ valmistuisi kahdessa tunnissa?

Työn kesto (h) maalareiden lukumäärä

7 5

2 x

7

2

x

5

2x = 35 :2

x = 17,5

V: 18 maalaria

=

slide30

POTENSSIT

MAA0

n kpl

eksponentti

kantaluku an = a ·a · · · ·a

nZ+

e) 31

= 3

f) 05

= 0

Esim 1a) 34

= 3 · 3 · 3 · 3 = 81.

b) (-2)4

= (-2) ·(-2) ·(-2) ·(-2) = 16

c) -24

= -(2 · 2 · 2 ·2) = -16

d) (-2)3 = -2 · (-2) ·(-2) = -8

slide31

POTENSSIN LASKUSÄÄNTÖJÄ

MAA0

Esimerkki 2

a) x3 · x2

= x3+2 = x5

1) am ∙ an = am+n

3) (ab)n = an bn

c) (2x)3

= 23x3 = 8x3

5) (am)n = amn

e) (x3)4

= x12

slide32

MAA0

Esimerkki 3

= 6x2

Käytetään kaavaa

(ab)n = an bn

käänteiseen suuntaan

c) 0,01999 · 100999

=(0,01 · 100)999

=1999

= 1

= x9-7

= x2

slide33

Nollas ja negatiivinen potenssi

MAA0

a0 = 1, a  0

siis 00 ei ole määritelty

slide34

Esimerkki 4

a) 50

= 1

b) 2-3

MAA0

Eli kun luku korotetaan potenssiin -1, niin saadaan luvun käänteisluku

c) 4-1

Kun eksponentti on 0 tai negatiivinen, niin potenssin laskulait säilyvät

slide35

Kymmenpotenssimuoto

MAA0

Kerroin on ykkösen ja kymmenen välillä sekä eksponentti kokonaisluku

a·10n, missä 1a10 ja nZ

Tarkista laskin

290 1,24 ·1027

2-90 8,08 ·10-28

32 000 000 000 000 / 16 000 000 000 = 2000

3,2 EXP 13 / 1,6 EXP 10

3,2 x 1013 / 1,6x1010

Esimerkki 1

a) 320 000 000 000

= 3,2 · 1011

b) 0,000 000 232

= 2,32 · 10-7

slide36

Neliöjuuri

MAA0

Luvun a neliöjuuri:

Juurrettava a ei saa olla negatiivinen

slide37

Esimerkki 1

Laske neliön sivun pituus.

MAA0

A=14,6m2

a) b)

A=9m2

Esimerkki 2

= 0,3

4 0

42 = 16

Ei ratkaisua reaalilukujen joukossa

slide38

MAA0

Esimerkki

Tutki neliöjuuren määritelmän avulla, onko

i) 1234 0

ii) 12342 = 1522756  1522766

Vastaus: ei ole

slide39

Yhtälö x2 = a

x2 = a

MAA0

Jos a < 0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua

Jos a=0, niin yhtälön ratkaisu on x=0

slide40

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö

a) x2 = 9

MAA0

c)

4x2 + 16 = 0

4x2 = -16 |:4

x2 = -4

ei ratkaisua reaalilukujoukossa

x = 3

b) x2 - 121 = 0

x2=121

x = 11

slide41

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö

MAA0

| :2

x = 62

x = 36

slide42

Kuutio ja kuutiojuuri

MAA0

Luvun a kuutiojuuri:

Huom. Juurrettava voi olla myös negatiivinen

Siis luvun a kuutiojuuri on se luku, jonka kolmas potenssi eli kuutio on a

slide43

Esimerkki 1

23 = 8

(-3)3 = -27

slide44

Yhtälö x3 = a

x3 = a

Esimerkki 2

27x3 = -1

| :27

slide46

Esimerkki 3

Sievennä

MAA0

=2

= 4

slide47

Muut juuret

Parilliset juuret

MAA0

luetaan: n:s juuri a:sta

tarkoittaa yhtälön xn = a ei negatiivista ratkaisua

Parittomat juuret

tarkoittaa yhtälön xn = a ratkaisua

slide48

MAA0

Esimerkki 4

= -2,

sillä

25 = -32

ei määritelty

= 2,

sillä

24 = 16

ja

2  0

slide49

Yleinen potenssi

MAA0

Murtopotenssi

Huom. Murtopotenssit vain ei-negatiivisille kantaluvuille

Murtopotenssi

slide50

Esimerkki 1

Esitä murtopotenssina

MAA0

Esimerkki 2

Esitä juurena

slide51

Esimerkki 3

Kirjoita luvun 2 potenssina

MAA0

Laske

Esitä a:n potenssina

=33

=27

slide52

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö -2(x - 1) = x - 1

-2x +2 = x - 1

-2x - x = -1 - 2

-3x = -3 | : (-3)

x = 1

MAA0

slide53

Nimittäjien poistaminen

MAA0

*)

|  6

Tarkistus

sijoitetaan x = 5 *)

vasen puoli = 3 - 9 = -6

oikea puoli = -5 - 1 = -6

2(2x - 1) - 3(4x -2) = -6x - 6

4x - 2 - 12x + 6 = -6x - 6

4x - 12x + 6x = -6 + 2 - 6

-2x = -10 | : (-2)

x = 5

slide54

Onglmanratkaisu yhtälöllä

MAA0

Esimerkki

Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 1998. Mikä on suurin luvuista?

Luvut: x

x+1, x+2

x + (x+1) + (x+2) = 1998

3x + 3 = 1998

3x = 1998 - 3

3x = 1995 | :3

x = 665

Suurin luvuista: 665 + 2 = 667

slide55

Lineaarinen yhtälö ax = b, a = 0

jos a = 0, niin

ratkaisuja ovat kaikki reaaliluvut tai

yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua

Esimerkki 1

Osoita, että yhtälö x(x+1) -x2 = x toteutuu kaikilla x:n arvoilla eli on identtisesti tosi

x(x+1) - x2 = x

x2 + x -x2 = x

x - x = 0

0x = 0

0 = 0

slide56

Esimerkki 2

Osoita, että yhtälö x(x+1) -x2 = x + 1 ei toteudu millään x:n arvolla eli on identtisesti epätosi

x(x+1) - x2 = x + 1

x2 + x -x2 = x + 1

x - x = 1

0x = 1

0 = 1

slide57

a) x2 +4

x = 3 x= -3

a) 32 + 4 (-3)2 + 4

= 9 + 4 = 13 =9 + 4 = 13

b) -x2 + 4x

x = 3 x= -3

b) -32 + 4*3 -(-3)2 + 4*(-3)

= -9 + 12 = 3 = -9 - 12 = -21