Διαχείριση Πόρων & Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη , PhD Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ

1. Διαχείριση Πόρων & Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη, PhD Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ Eαρινό Εξάμηνο2013 ΔΧ ΔΧ 1

2. Ανακεφαλαίωση • Ποιότητα  1 / Μεταβλητότητα • Βελτίωση Ποιότητας (Quality Improvement) ---> Υπάρχοντα προϊόντα • Ποιότητα από Σχεδιασμό (Quality by Design) ---> Νέα προΪοντα • Βελτίωση Ποιότητας (QI) • Αναγνώριση προβλήματος (Problem Definition) • Μέτρηση (Measurement) • Ανάλυση (Analysis) • Βελτίωση (Improvement) • Έλεγχος (Control) • Αναγνώριση προβλήματος (D) • Υ y  x • (κοινωνική ή μετρήσιμοπαράμετροι • καταναλωτική μέγεθος / απόκριση • ανάγκη) • (society or (measurable (factor) • consumer need) quantity / response) ΔΧ

3. Ανακεφαλαίωση • Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Κατανομές • Η μεταβλητή xέχει κανονική κατανομή με μέσο μ και διασπορά σ2γράφεται • x Ν(μ , σ2) • Ηκανονική κατανομή είναι συμμετρική, και έχει σχήμα καμπάνας (bellshape) • ΔιάστημαΠοσοστό Πληθυσμού • μ + 1σ 68.26% • μ + 2σ 95.46% • μ + 3σ 99.73% • Δειγματοληψία • Το δείγμα {xi | i = 1,…,n} είναιτυχαίο: • Eαν ο πληθυσμός είναι απείρου μεγέθους ή πεπερασμένου μεγέθους και δειγματοληψία με αντικατάσταση, και τα xi ,i = 1,…,n, έχουν ανεξάρτητες και ίδιες κατανομές, ή • Εάν ο πληθυσμός είναι πεπερασμένου μεγέθους καί δειγματοληψία χωρίς αντικατάσταση, και το δείγμα έχει την ίδια πιθανότητα επιλογής ΔΧ

4. Ανακεφαλαίωση • Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων • Για το μέσο και διασπορά δείγματος {xi | i = 1,…,n} , ανεξάρτητα από την κατανομή του πληθυσμού, • Έλεγχος Υπόθεσης για το Μέσο • Μονόπλευρος • Ηο: μ = μο • Η1: μ > μο ή μ > μο • Δίπλευρος • Ηο: μ = μο ή μ1 = μ2 • Η1: μ ≠ μο μ1 ≠ μ2 ΔΧ

5. Ανακεφαλαίωση • Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων • Λάθη στον Έλεγχο Υπόθεσης • Αληθινή Κατάσταση • Ηο Η1 • Ηο Σωστό Λάθος τύπου IΙ • Συμπέρασμα • Η1Λάθος τύπου Ι Σωστό • Λάθος τύπου Ι , α = ρίσκο του παραγωγού • Λάθος τύπου ΙΙ , β = ρίσκο του καταναλωτή ΔΧ

6. Ανακεφαλαίωση • Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων • Διαστήματα Εμπιστοσύνηςγια Μέσο • σ γνωστό • ΜονόπλευροΔίπλευρο • Ζα Ζα/2 ΔΧ

7. Ανακεφαλαίωση • Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων • Διαστήματα Εμπιστοσύνηςγια Μέσο • σ άγνωστό • ΜονόπλευροΔίπλευρο • Ζα Ζα/2 ΔΧ

8. Ανακεφαλαίωση • Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων • Έλεγχος Υπόθεσης για Μέσους (Πληθυσμών ή Δειγμάτων) • ΜονόπλευρηΔίπλευρη • Ηο: μ1 = μ2 ή x̄1 = x̄2 Ηο: μ1 = μ2 ή x̄1 = x̄2 • Η1: μ > μο ή x̄1 > x̄2 Η1: μ ≠ μο ή x̄1≠ x̄2 • ή • μ < μο ή x̄1< x̄2 • Δ = |μ1 - μ2| ή Δ =|x̄1- x̄2| • σ γνωστά • Απορρίπτουμε Ηο αν • Ζο > Ζα Ζο > Ζα/2 ΔΧ

9. Ανακεφαλαίωση • Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων • Έλεγχος Υπόθεσης για Μέσους (Πληθυσμών ή Δειγμάτων) • ΜονόπλευρηΔίπλευρη • Ηο: μ1 = μ2 ή x̄1 = x̄2 Ηο: μ1 = μ2 ή x̄1 = x̄2 • Η1: μ > μο ή x̄1 > x̄2 Η1: μ ≠ μο ή x̄1≠ x̄2 • ή • μ < μο ή x̄1< x̄2 • Δ = |μ1 - μ2| ή Δ =|x̄1- x̄2| • σ άγνωστα • Απορρίπτουμε Ηο αν • tο > tα,ν tο > tα/2, ν ΔΧ

10. Ανακεφαλαίωση • Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων • Ανάλυση Μεταβλητότητας (ΑNalysisOf VAriance) • Xρησιμοποιείται για εκτίμηση του πως επιρρεάζουν : • Οι τιμές των κρίσιμων μεταβλητών εισόδου (critical factors) τη μέση απόκριση των κρίσιμων μεταβλητών εξόδου (response), και • Οι μεταβλητότητες των κρίσιμων μεταβλητών εισόδου την μεταβλητότητα των κρίσιμων μεταβλητών εξόδου • Κυκλωμένη (nested) ANOVA • Παρτίδες  Δείγματα (από κάθε παρτίδα)  Ανάλυση/Μέτρηση (κάθε δείγματος) • ε = y -ỹ ολικό λάθος y: απόκριση ỹ : προσέγγιση απόκρισης • ε = εt + εs + εb εt: λάθος από ανάλυση/μέτρηση εs: λάθος από δείγμα • εb: λάθος από παρτίδα • εi N(0, σi2) i = t, s, b • Έλεγχος υπόθεσης ANOVA • Γραμμικό μοντέλο yij = μ + τi + εij • i: δείγμα j: μέτρηση • Ηο: τ1 = τ2 = ... = τΝ ή Ηο: σ1 = σ2 = ... = σΝ • Η1: τi ≠ 0 για ένα τουλάχιστον i Η1: σi ≠ 0 για ένα τουλάχιστον i ΔΧ

11. Ανακεφαλαίωση • Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων • Ανάλυση Μεταβλητότητας (ΑNalysisOf VAriance) • Ηο: τ1 = τ2 = ... = τΝ • Η1: τi ≠ 0 για ένα τουλάχιστον i • Έλεγχος Υπόθεσης ANOVA • SSΤ= SSM + SSE • Ολικό Άθροισμα Άθροισμα • ‘Αθροισμα Τετραγώνων Τετραγώνων • Τετραγώνων Μετρήσεων Λάθους • Fo = (SSM /(a-1))/(SSE /a(n-1)) • Aν Fo > Fα, a-1, n-1 , η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται ΔΧ

12. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Αναφέρεται στην ομοιομορφία του αποτελέσματος της διεργασίας, το μέτρο του οποίου είναι η μεταβλητότητα των Κρίσιμων Για Ποιότητα, ΚΓΠ, (Critical To Quality, CTQ) xαρακτηριστικών. Η μεταβλητότητα αυτή μπορεί να κατανοηθή ως:(1)Στιγμιαία, και (2) Διαχρονική(over time) Άν η διεργασία έχει ένα ΚΓΠ (CTQ) που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσομ και τυπική απόκλιση σ, τα φυσικά όρια ανοχής (Natural Tolerance Limits) της διεργασίας ορίζονται ως UNTL = μ + 3σ (ανώτερο) LNTL = μ – 3σ (κατώτερο) που σημαίνει ότι 0.27% των τιμών του συγκεκριμένου ΚΓΠ (CTQ)χαρακτηριστικούείναι εκτός των φυσικών ορίων αντοχής. Άν η κατανομή δεν είναι κανονική, το ποσοστό των τιμών του αποτελέσματος της διεργασιας ή των τιμών του ΚΓΠ (CTQ)χαρακτηριστικού που είναι εκτός των φυσικών ορίων αντοχής είναι σημαντικά διαφορετικό από το 0.27% Στην Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας (Process CapabilityAnalysis), η ικανότητα της διεργασίας υπολογίζεται είτε σαν ποσοστό αποτελέσματος εκτός των φυσικών ορίων αντοχής είτε σαν κατανομή πιθανότητας με ωρισμένο σχήμα, κέντρο (μέσο), και εύρος (τυπική απόκλιση). Και στις δυο περιπτώσεις, δεν χρειάζονται προδιαγραφές για το ΚΓΠ (CTQ)χαρακτηριστικό 10-4-2009 ΔΧ ΔΧ 12

13. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Για μελέτη της ικανότητας διεργασιας, συνήθως μετρώνται λειτουργικές παράμετροι ή ΚΓΠ (CTQ) στο προϊόν και όχι στη διεργασία. Μόνο αν η διεργασία παρακολουθείται άμεσα και τα δεδομένα συλλέγονται με συνεχή αυτόματο έλεγχο(controlled andmonitored),έχουμε πραγματική μελέτη ικανότητας διεργασιας. Στην περίπτωση αυτή, επειδή η συλλογή των δεδομένων γίνεται με αυτόματο έλεγχο, και επειδή η χρονική σειρά των δεδομένων είναι γνωστή, μπορεί κανείς να αποφανθή για τη χρονικήσταθερότητα της διεργασίας • Όταν δεν γίνεται άμεση παρακολούθηση της διεργασίας ή δεν καταγράφεται η ιστορία παραγωγής, η μελέτη ονομάζεται, πιο σωστά, χαρακτηρισμός προϊόντος (product characterization). Στην περίπτωση αυτή,μπορεί κανείς να υπολογίσει την κατανομή του χαρακτηριστικού ποιότητας του προϊόντος ή την απόδοση της διεργασίας (process yield), δηλ.,ποσοστό προϊόντων για τα οποία τηρούνται οι προδιαγραφές, αλλά όχι τη δυναμική της διεργασίας ή την κατάσταση Στατιστικού Ελέγχου της Διεργασίας (Statistical Process Control) ΔΧ ΔΧ 13

14. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Τα δεδομένα από την Ανάλυση Ικανότητας Διαδικασίας χρησιμοποιούνται στα aκόλουθα: • Πρόβλεψη σχετική με το πόσο εύκολο θα είναι για τη διεργασία να μην παραβιασθούν τα όρια ανοχής, • Βοήθεια στους σχεδιαστές/υπεύθυνους για ανάπτυξη στην επιλογή ή τροποποίηση της διεργασίας, • Βοήθεια στον προσδιορισμό συχνότητας της δειγματοληψίας για λόγους συνεχούς παρακολούθησης της διεργασίας, • Ορισμόαπαιτήσεων λειτουργίας για νέα μηχανήματα, • Επιλογή μεταξύ ανταγωνιστικών προμηθευτών και για άλλα θέματα της αλυσίδας ανεφοδιασμού (supply chain), και • Προγραμματισμό σειράς διεργασιών παραγωγής, αν υπάρχει αλληλοεπίδραση των διεργασιών στα όρια ανοχής • Κύριες τεχνικές για Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας: (1) Iστόγραμμο ή διάγραμμα • πιθανότητας (histogram or probability plot), (2) Χάρτες ελέγχου (control charts), και • (3) Σχεδιασμός Πειραμάτων(Design Of Experiments) ΔΧ ΔΧ 14

15. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Η ικανότητα διεργασίας εκφράζεται με διάφορους τρόπους. Παράδειγμα, ο λόγος ικανότητας διεργασίας (process capability ratio, PCR), Cp ανώτερο και κατώτερο όριοπροδιαγραφών μόνο ανώτερο όριο προδιαγραφών μόνο κατώτερο όριοπροδιαγραφών Στις περισσότερες περιπτώσεις, η τυπική απόκλιση (του πληθυσμού), σ, είναι άγνωστη, και πρέπει να αντικατασταθεί από την αναμενόμενη τιμή (estimate) του, , έτσι ώστε το «^» δηλώνει αναμενόμενη τιμή μεγέθους Σαν εκτιμητέα τιμήτου μπορεί να ληφθεί η τυπική απόκλιση (δείγματος), s, ή το μέγεθος από χάρτη ελέγχου* Ο λόγος PCR,Cp, έχει μια χρήσιμη πρακτική ερμηνεία, δηλ., Ρ = (1/Cp )100 είναι το ποσοστό του διαστήματος προδιαγραφών που χρησιμοποιήθηκε από τη διεργασία ΔΧ ΔΧ 15

16. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Αν έχουμε m δείγματαμε ίσο αριθμό στοιχείων n , {xij / i = 1,…,m; j=1,…,n}, ο μέσος και το εύρος (range) του i δείγματος, και Riείναι Η τυχαία μεταβλητή W =R/σ ονομάζεται σχετικό εύρος του δείγματος, είναι συνάρτηση του μεγέθους του δείγματος n,και έχει μέσο d2. Η τυπική απόκλιση, σ, προσεγγίζεταιαπό το ΔΧ ΔΧ 16

17. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας ΔΧ ΔΧ 17

18. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Ο λόγος ικανότητας διεργασίας, Cp, είναι μέτρο της ικανότητας διεργασίας να παράγει • προϊόντα που πληρούν τις προδιαγραφές • Προαπαιτούμενα για τον υπολογισμό του λόγου ικανότητας διεργασίας είναι τα • ακόλουθα: • Το χαρακτηριστικό ποιότητας που μετράται έχει κανονική κατανομή, • Η διεργασία είναι υπό στατιστικό έλεγχο, και • Στην περίπτωση προδιαγραφών κι από τις δυο πλευρές, ο μέσος είναι στο κέντρο του διαστήματος που ορίζεται από το κατώτερο και το ανώτεροόριο προδιαγραφής • Οι παραπάνω υποθέσεις είναι κρίσιμες για την ορθότητα (accuracy) και εγκυρότητα • (validity)των τιμών του Cp • Μη κανονικότητα (normality) των μετρήσεων οδηγεί σε λάθη μεγάλης τάξης στον • υπολογισμό του λόγου ικανότητας της διεργασίας • Αρκετά συνηθισμένη τακτική είναι να υπολογίζεται το Cp από δείγμα των ιστορικών • δεδομένων χωρίς να εξετάζεται αν η διεργασία ηταν ή είναι υπό στατιστικό έλεγχο. Αν η • διεργασία δεν είναι υπό στατιστικό έλεγχο, οι μετρήσεις γίνονται σε ασταθές • περιβάλλον, και η αξία τους για πρόβλεψη των μεταβλητών της διεργασίας στο μέλλον • είναι αβέβαιη. Αυτό που υπολογίζεται απο το δείγμα των δεδομένων δεν είναι το Cp • αλλά η εκτιμητέα τιμή του. Αντί γι αυτή, προτιμάται το διάστημα εμπιστοσύνης για το Cp ΔΧ ΔΧ 18

19. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Ο παρακάτω πίνακας δίνει το ελάχιστο των τιμών του λόγου ικανότητας διεργασίας _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Δίπλευρες Μονόπλευρες Προδιαγραφές Προδιαγραφές ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Υπάρχουσες διεργασίες 1.33 1.25 Νέες διεργασίες 1.50 1.45 Ασφάλεια, αντοχή ή κρίσιμη μεταβλητή 1.50 1.45 υπάρχουσας διεργασίας Ασφάλεια, αντοχή ή κρίσιμη μεταβλητή 1.50 1.60 νέας διεργασίας ________________________________________________________________________ Το «Έξι Σίγμα (Six Sigma)» πρόγραμμα της Motorola απαιτεί, αν ο μέσος της διεργασίας είναι υπό έλεγχο, να μην είναι λιγότερο από έξιτυπικές αποκλίσεις από το κοντινότερο όριο προδιαγραφών. Στην ουσία, το πρόγραμμα «Έξι Σίγμα» απαιτεί ο λόγος ικανότητας διεργασίας να είναι το λιγότερο 2.0 ΔΧ ΔΧ 19

20. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Ο λόγος ικανότητας διεργασίας δεν λαμβάνει υπ όψη τη θέση του μέσου της • διεργασίας σε σχέση με τις προδιαγραφές. Γι αυτό το λόγο, ένας καινούργιος λόγος • ικανότητας διεργασίας ορίζεται ως • Ο νέος λόγος Cpk , απλά, είναι ο μονόπλευρος λόγος Cpγια το όριο των προδιαγραφών • που είναι πιο κοντά στο μέσο της διεργασίας • Γενικά, αν Cp= Cpkη διεργασία είναι επικεντρωμένη (centered) στο κέντρο του • διαστήματος προδιαγραφών, και αν Cpk < Cpη διαδικασία είναιαποκεντρωμένη (οff- • center). Η αποκεντρωμένη διεργασία έχει μικρότερη ικανότητα από την • επικεντρωμένη. • To μέγεθος του Cpk σε σχέση με το Cp είναι άμεσο μέτρο του πόσο αποκεντρωμένη είναι η διεργασία με τον τρόπο που εκτελείται • Το Cpμετράει τή δυνητική ικανότητα (potential capability) ενώ το Cpkμετράει την • πραγματική ικανότητα (actual capability) • Η εικόνα που ακολουθεί δίχνει την κατανομή των μετρήσεων για διάφορες τιμές των Cpkκαι Cp 10-4-2009 ΔΧ ΔΧ 20

21. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Στην περίπτωση (d), ο μέσος της διεργασίας είναι ακριβώς ίσος με ένα από τα όρια των προδιαγραφών, πράγμα που οδηγεί στο Cpk = 0. H περίπτωση (e) δείχνει ότι όταν το Cpk< 0, ο μέσος της διεργασίας βρίσκεται έξω από το διάστημα των προδιαγραφών, πράγμα που οδηγεί στο Cpk = -0.5. Είναι φανερό ότι άν Cpk<-1, όλη η διεργασία βρίσκεται έξω από το διάστημα των προδιαγραφών. Μερικοί ορίζουν το Cpkως μη αρνητικό, και όλες τις τιμές που είναι μικρότερες του μηδενός ως μηδέν 10-4-2009 ΔΧ ΔΧ 21

22. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Πολλοί που είναι αυθεντίες στή Μηχανική της Ποιότητας έχουν κατά καιρούς • συμβουλέψει τη μη χρήση λόγων ικανότητας διεργασίας, Cpκαι Cpk,με το αιτιολογικό ότι • είναι υπεραπλούστευση ενός πολύπλοκου φαινομένου. Ασφαλώς κάθε στατιστικό • μέγεθος που συνδυάζει πληροφορίες για τη θέση του μέσου και το κέντρο της • διεργασίας και της μεταβλητότητας, και που απαιτεί κανονικότητα (normality) για να • ερμηνευθεί σωστά, είναι πιθανό να χρησιμοποιηθεί λανθασμένα ή άσκοπα. Εκτιμήσεις • από σημείο σε σημείο (point estimates) του λόγου ικανότητας διεργασίας είναι σχεδόν • άχρηστες, αν προέρχονται από μικρά δείγματα • Επειδή ο ορισμός των Cpκαι Cpkβασίζεται στην κανονικότητα, αν το αποτέλεσμα της διεργασίας δεν ακολουθεί κανονική κατανομή, τα δεδομένα από τις μετρήσεις • υποβάλλονται σε μετασχηματισμό (transformation)έτσι ώστε τα μετασχηματισμένα δεδομένα να ακολουθούνκατανομή που προσεγγίζει την κανονική • Για δεδομένα που δεν έχουν κανονικότητα (normality) έχει προταθεί το PCRCpc • όπου Τ είναι η τιμή του στόχου της διεργασίας. Ο δείκτης cυποδηλώνει ότι τα • διαστήματα εμπιστοσύνης που βασίζονται στο Cpc είναι αξιόπιστα 10-4-2009 ΔΧ ΔΧ 22

23. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Ένας άλλος λόγος που έχει προταθεί για διεργασίες που περιγράφονται από τις δυο • οικογένειες κατανομών, Pearsonκαι Johnson, δηλαδή για κανονικές και μη κανονικέςκατανομές είναι το PCRπου βασίζεται σε ποσοστά δεδομένων, Cp(q) • Επειδή για την κανονική κατανομή x0.00135 = μ – 3σ καιx0.99865 = μ + 3σ, στην • περίπτωση αυτής της κατανομής Cp(q) = Cp • Το PCRCpmπου είναι δείκτης της επικέντρωσης της διεργασίας ορίζεταιως • όπου τ είναι η τετραγωνική ρίζα της αναμενόμενης διασποράς από το στοχοΤ=1/2(USL+LSL) • Mε αυτό τον ορισμό του τ, το Cpmδίνεται από τη σχέση • και σε προσέγγιση 10-4-2009 ΔΧ ΔΧ 23

24. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Cpk= Cpm= Cpόταν μ = Τ • Cpkκαι Cpmμειώνονται καθώς το μμετακινείται μακρυά από το Τ • Cpk< 0 για μ > USL και μ < LSL • Cpm 0 όταν |μ – Τ| ∞ • |μ – Τ| = Δ > 0 και σ = Δ • Αναγκαία (αλλά όχιικανή) συνθήκη για τη σχέση • Cpm> 1 • είναι η σχέση • Αυτό λέγει ότι, αν η τιμή του Τ είναι το μέσο του διαστήματος των προδιαγραφών, Cpm> 1  ο μέσος μ βρίσκεται στό μεσαίο 1/3 του διαστήματος των προδιαγραφών, δηλ., η συγκεκριμένη τιμή του Cpm θέτει ένα περιορισμό στη διαφορά μεταξύ του μ και του Τ • Τα Cp και Cpm ονομάζονται λόγος «πρώτης γενιάς» και «δεύτερης γενιάς», αντίστοιχα. Ο λόγος «τρίτης γενιάς»,Cpkm, που έχει μεγαλύτερη ευαισθησία • στην απομάκρυνση του μέσου της διεργασίας μ από τον επιθυμητό στόχοΤ 10-4-2009 ΔΧ ΔΧ 24

25. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Το μεγαλύτερο μέρος της βιομηχανικής χρήσης των PCRλόγων έχει να κάνη με τον • υπολογισμό και την ερμηνείαπροσεγγίσεων σε σημεία(point estimates)του • μεγέθους που έχει ενδιαφέρον, αν και είναι γνωστό ότι οι προσεγγίσεις σε σημεία, π.χ., • , υπόκεινται σε στατιστικές διακυμάνσεις • Μια εναλλακτική λύση που πρέπει να γίνη τυποποιημένη πρακτική είναι τα διαστήματα • εμπιστοσύνης για τους λόγους ικανότητας διεργασίας • Αν το χαρακτηριστικό ποιότητας ακολουθεί κανονική κατανομή, το διάστημα 100(1-α)% • εμπιστοσύνης για το Cpείναι • όπου χ21-α/2,n-1και χ2α/2,n-1είναι το κάτω και άνω α/2 ποσοστό της χι τετράγωνο • κατανομής με n-1βαθμούς ελευθερίας • Ας σημειωθεί ότι για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης χρησιμοποιείται η τυπική απόκλισηs αντί για το λόγο από τον χάρτη ελέγχου • Αυτό τονίζει ότι η διεργασία πρέπει να είναι υπό στατιστικό έλεγχο για να έχουν οι • λόγοι PCR κάποια σημασία. Αν η διεργασία δεν είναι υπό στατιστικό έλεγχο, τα sκαι μπορεί να είναι πολύ διαφορετικά και να οδηγούν σε πολύ διαφορετικές τιμές για τα PCR 10-4-2009 ΔΧ ΔΧ 25

26. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Το διάστημα εμπιστοσύνης για το Cp είναι ευρύ, άν το δείγμα που χρησιμοποιείται είναι μικρό • Για δεδομένα που δέν έχουν κανονικότητα (normality), ο λόγος PCR, Cpc, είναι • Η αναμενόμενη μέση τιμή του |x – T| είναι • και ο εκτιμητής (estimator) του Cpcείναι • Το διάστημα 100(1-α)% εμπιστοσύνης για το Ε|x – T| είναι • όπου το scορίζεται ως ΔΧ ΔΧ 26

27. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Το διάστημα εμπιστοσύνης για το Cpcείναι • Μια πολύ συνηθισμένη πρακτικήστη βιομηχανία είναι να απαιτείται από τον προμηθευτή να αποδείξει ότι η τιμή του λόγουικανότητας διεργασίας Cpικανοποιεί τη συνθήκη να είναι ίση ή μεγαλύτερη μιας συγκεκριμένης τιμήςCp0 • Αυτότοπρόβλημα διαμορφώνεται ως υπόθεση • Η0 : Cp=Cp0διεργασία δεν είναιικανή • Η1 : Cp>Cp0διεργασία είναι ικανή • Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεσηΗ0 αν το υπερβαίνει μια κριτική τιμήCp0 • Ορίζουμε το Cp(high)ως την ικανότητα διεργασίας που θέλουμε να αποδεχθούμε με πιθανότητα 1 - α • Ορίζουμε τοCp(low) ως την ικανότητα διεργασίας που θέλουμε να απορρίψουμε με πιθανότητα 1 – β • Ο πίνακας που ακολουθεί δίνει τιμές για Cp(high)/Cp (low) και C/Cp (low) για διαφορετικά μεγέθη δείγματος και α = β = 0.10 και α = β = 0.05 ΔΧ ΔΧ 27

28. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • ΑΑΙG(American Automotive Industry Group) συνιστά τη χρήση των λόγων ικανότητας διεργασίας Cpκαι Cpkόταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, με τυπική απόκλιση να προσεγγίζεται από s = ˆ R / d 2 ΔΧ ΔΧ 28

29. Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας • Αν η διεργασία δεν είναι υπό έλεγχο, ΑIAG(American Automotive Industry Group) και ANSI (American National Standards Institute) συνιστά τη χρήση των δεικτών εκτέλεσης διεργασίαςPpκαι Ppk • O δείκτης Ppπροσεγγίζεται από τη σχέση • Είναι φανερό ότι στην πραγματικότητα • Oι ειδήμονες της ποιότητας αποφαίνονται ότι τα Ppκαι Ppk είναι χάσιμο χρόνου και δεν σημαίνουν τίποτε ΔΧ ΔΧ 29

30. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) • Οι μελέτες ικανότητας συστήματος μέτρησης έχουν σκοπό να: • Aπαντήσουν στο ερώτημα τι μέρος της μεταβλητότητας οφείλεται στον αναλυτή ή το όργανο, • Διαχωρίσουν τις συνιστώσες της μεταβλητότητας στο σύστημα μέτρησης, • Αξιολογήσουν την ικανότητα του οργάνου ή του αναλυτή • Ένα λογικό μοντέλο για μελέτες ικανότητας συστήματος μέτρησης είναι • y = x + ε • όπου yείναι η τιμή του μεγέθους από τη μέτρηση, x είναι η πραγματική τιμή του • μεγέθους και ε το λάθος της μέτρησης • Αν υποθέσουμε ότι τα xκαιε είναι τυχαίες μεταβλητές με ανεξάρτητες κανονικές • κατανομές με μέσους μ και 0 και διασπορέςσΡ2 και σ2Gauge , αντίστοιχα, η ολική • διασποράτιμής του μεγέθους από τη μέτρηση, σ2Total, είναι • σ2Total = σΡ2 + σ2Gauge • Οι διασπορές σ2Total,σΡ2 και σ2Gaugeονομάζονται ολική μεταβλητότητα, μεταβλητότητα • προϊόντος ή διεργασίας, και μεταβλητότητα μετρητή, αντίστοιχα ΔΧ 30

31. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) • Διακριτική ικανότητα του οργάνου είναι η ικανότητα του αναλυτή να διακρίνει μεταξύ μονάδων του προϊόντος • Oι τιμές τουR αντιπροσωπεύουν διαφορά μεταξύ μετρήσεων της ίδιας μονάδας προϊόντος με τη χρήση του ιδίου οργάνου • Ο λόγος ακρίβεια/ανοχή (Ρrecision/Τolerance) ορίζεται ως • Δημοφιλείς τιμές για την σταθερά kείναι 5.15 (αντιστοιχεί σε 95% δεδομένων κανονικής κατανομής) και 6 (αντιστοιχεί σε 99...% δεδομένων κανονικής κατανομής) • Τιμές του Ρ/Τίσες ή μικρότερες του 0.1, χωρίς αυτό να είναι πάντα σωστό, θεωρείται ότι υπαινίσονται επαρκή ικανότητα του μετρητή • Άλλα μέτρα της ικανότητος του αναλυτή είναι ο λόγος της μεταβλητότητας του προϊόντος ή διεργασίας προς την ολική μεταβλητότητα, ρp, και ο λόγος της μεταβλητότητας του συστήματος μέτρησης προς την ολική μεταβλητότητα, ρΜ, που ορίζονται ως • Το AΑΙG καθόρισε τό λόγο σήματος προς θόρυβο (Signal-to-Noise Ratio) ως ΔΧ 31

32. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) • Άλλο μέτρο της ικανότητας του μετρητή είναι ο λόγος διάκρισης, DR, που ορίζεταιως • Μια διάκριση χρειάζεται να γίνη μεταξύ ορθότητας (accuracy) και ακρίβειας(precision) του μετρητη. H oρθότητα αναφέρεται στην ικανότητα του οργάνου να μετρήση σωστά τη μέση πραγματική τιμή, ενώ η ακρίβεια είναι μέτρο της εγγενούς μεταβλητότητας στο σύστημα μέτρησης. Οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στην ακόλουθη εικόνα ΔΧ 32

33. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) • Δυο συνιστώσες του λάθους μέτρησης είναι η επαναληπτικότητα (repeatability) και η αναπαραγωγικότητα (reproducibility). H επαναληπτικότητααναφέρεται στη βασική εγγενή ακρίβεια του ίδιου του μετρητή. Η αναπαραγωγιμότητα είναι η μεταβλητότητα που οφείλεται σε διαφορετικούς αναλυτές που χρησιμοποιούν τον ίδιο μετρητή (ή χρήση του ίδιου μετρητή υπό διαφορετικές συνθήκες) • Το πείραμα που γίνεται για να μετρηθούν οι συνιστώσες του συνήθως ονομάζεται μελέτη επαναληπτικότητας & αναπαραγωγιμότητας του μετρητή (Gauge R & R study) ΔΧ 33

34. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) Μια από τίς κυριότερες χρήσεις των D(esign) O(f) E(xperiments) είναι ο διαχωρισμός και υπολογισμός των συνιστωσών της μεταβλητότητας στη διεργασία Παράδειγμα – Το περιεχόμενο σε σιρόπι (Brix) φιαλών αναψυκτικού, που γεμίζονται από μηχανές με μεγάλο αριθμό κεφαλών για γέμισμα, μετράται και η μεταβλητότητα του είναι, σΒ2. Ένα μέρος της μεταβλητότητας σΒ2οφείλεται στις μηχανές, σΜ2, ένα άλλο μέρος στις κεφαλές, σΗ2 , και ένα τρίτο στην αναλυτική μέθοδο προσδιορισμού του περιεχομένου του σιροπιού, σΑ2 , δηλ., σΒ2 =σΜ2 +σΗ2 +σΑ2 Το πείραμα σχεδιάζεται έτσι ώστε να λαμβάνονται δείγματα φιαλών από διαφορετικές μηχανές και διαφορετικές κεφαλές στην ίδια μηχανή, και να μετρώνται περισσότερες από μια φορές το κάθε δείγμα για να υπολογισθούν η μεταβλητότητα και οι συνιστώσες της. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στη διπλανή εικόνα. Είναι φανερό ότι η διεργασία μπορεί να βελτιωθεί, αν μειωθεί η μεταβλητότητα από κεφαλή σε κεφαλή ΔΧ 34

35. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) Η μελέτη ΕΠαναληπτικότητας & ΑΝαπαραγωγικότητας Μετρητή (Gauge R & R) είναι ένα σχεδιασμένο πείραμα (designed experiment). Ένα παράδειγμα σχεδιασμένου πειράματος είναι οι μετρήσεις θερμικής αντίστασης σε οC/(100xWatt)για επαγωγικό κινητήρα (motor starter), στον πίνακα που ακολουθεί. ΄Εχουμε 10 τεμάχια, 3 αναλυτές (operators), και 3 μετρήσεις ανά τεμάχιο. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα παραγοντικό πείραμα (factorial experiment), κάθε αναλυτής μετράει όλα τα τεμάχια. ΔΧ 35

36. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) ΑΝΟVΑ Η μέτρηση, δηλ., ηaπόκριση(response) παριστάνεται από το μοντέλο yijk = μ + Ρi + Oj + (PO)ij + εijk i = 1, 2, …, p; j = 1, 2, …, o;k = 1, 2, …, n Οι παράγοντες (factors)Ρi,Oj,(PO)ij, και εijkείναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν τις επιδράσεις των τεμαχίωνκαι αναλυτών, τις αλληλοεπιδράσεις τεμαχίων και αναλυτών, και του τυχαίου σφάλματος, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητέςΡi,Oj,(PO)ij, και εijkακολουθούν κανονική κατανομή με μέσο το μηδέν και διασπορέςV(Pi) = σΡ2, V(Oj) = σO2, V(POjj) = σOP2, και V(εjjk ) = σ2. Γι αυτό η διασπορά της μέτρησης είναι V(yjjk ) = σΡ2+ σO2+ σOP2+ σ2 Eπίσης τα αθροίσματα των τετραγώνων ικανοποιούν τη σχέση SSTotal= SSParts + SSOperators + SSPxO + SSError O μέσος των τετραγώνων είναι ο λόγος του αθροίσματος των τετραγώνων με τούς βαθμούς ελευθερίας, δηλ., ΔΧ 36

37. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) Οι αναμενόμενες τιμές τών μέσων των τετραγώνων είναι όπου b είναι ο αριθμός των αναλυτών που επιλέχθηκαν με τυχαίο τρόπο, και a ο αριθμός των τεμαχίων που επιλέχθηκαν με τυχαίο τρόπο. Από αυτή τη σχέση = s + s + s 2 2 2 E ( MS ) n bn P PO P = s + s + s 2 2 2 E ( MS ) n an O PO O = s + s 2 2 E ( MS ) n PO PO = s 2 E MS ( ) E 26-1-2011 ΔΧ 37

38. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) • Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα Βalanced ANOVAαπό το Μinitab • Με βάση τίς τιμές του Ρ, η επίδραση στη μεταβλητότητα • Από τα τεμάχια είναι μεγάλη, • Από τούς αναλυτές είναι μικρή, και • Απο το συνδυασμό τεμαχίων-αναλυτών δεν είναι σημαντική 26-1-2011 ΔΧ 38

39. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) • Από καιρού σε καιρό, βρίσκουμε από την ΑΝΟVΑ μια από τις συνιστώσες της • μεταβλητότητας να είναι αρνητική, πράγμα που δεν είναι λογικό γιατί, λόγω ορισμού τους, • οι μεταβλητότητες είναι πάντα θετικές. Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να διορθωθεί αυτό: • Αν μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας είναι αρνητική, εξισώνουμε την τιμή της με μηδέν και αφήνουμε τις υπόλοιπες όπως είναι, • Όταν μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας είναι αρνητική, συνήθως έχουμε γι αυτή τη συνιστώσα όχι σημαντική επίδραση από την αντίστοιχη αιτία. Μπορούμε να θεωρήσουμε, χωρίς μεγάλο λάθος, ότι η τιμή της συνιστώσας αυτής είναι μηδέν, και να επαναλάβουμε τόν υπολογισμό των συνιστωσών της μεταβλητότητας με μέθοδο διαφορετική από την ΑΝΟVΑ που εξασφαλίζει θετικές συνιστώσες μεταβλητότητας • Στο παραπάνω παράδειγμα, σΡΟ2≈ 0, δηλ., δεν υπάρχει συνδυασμένη επίδραση τεμαχίου- • αναλυτή. Γι αυτό το λόγο, θεωρούμε το ελλειπές (reduced) μοντέλο • yijk = μ + Ρi + Oj + εijk • Συνήθως θεωρούμε το σ2 σαν επαναληπτικότητα (repeatability) και το άθροισμα των • συνιστωσών της μεταβλητότητας εξ αιτίας των αναλυτών και του συνδυασμού τεμαχίου- • αναλυτή σαν aναπαραγωγιμότητα(reproducibility) • σ2reproducibility = σΟ2 + σΡΟ2 σ2repeatability = σ2 10-4-2009 ΔΧ 39

40. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) σ2Gauge = σ2reproducibility+σ2repeatability Για το παράδειγμα Ο λόγος Ρ/Τ του αναλυτή υπολογίζεται από τη σχέση Ο αναλυτήςδεν θεωρείται ικανός αν Ρ/Τ > 0.10 Λανθασμένα και αποδεχθέντα ελαττωματικά Η πραγματική ικανότητα του συστήματος μέτρησης να διαχωρίζει μεταξύ απορριπτέων και αποδεκτών προϊόντων δεν μπορείνα εκφρασθεί από τους λόγους ικανότητας Ρ/Τ,SNR καιDR που δεν είναι άμεσα μεταφράσιμοι Ας θεωρήσουμε το μοντέλλο y = x + ε όπου yείναι η μετρηθείσα τιμή, xη πραγματική τιμή, καιε το λάθος μέτρησης. Οι τυχαίες μεταβλητές xκαιε έχουν ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσουςμ και 0 και διασπορέςσ2Ρκαι σ2Gaugeαντίστοιχα. Η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, f(x,y),ειναι κανονική με δυο μεταβλητές, διάνυσμα μέσου[μx, μy]Τ και πίνακα συνδυακύμανσης (covariance matrix) ΔΧ 40

41. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) • y = x + ε • To προϊόν (τεμάχιο) είναι αποδεκτό, αν • LSL < x < USL (1) • To σύστημα μέτρησης θα χαρακτηρίσει ένα προϊόν (τεμάχιο) σαν αποδεκτό, αν • LSL < y < USL (2) • Aν η σχέση (1)ισχύει και η σχέση (2) δεν ισχύει, ένα αποδεκτό προϊόν (τεμάχιο) έχει αποτύχει κατά λάθος (κίνδυνος για τον παραγωγό,producer’s risk) • Αν η σχέση (1) δεν ισχύει και η σχέση (2) ισχύει, ένα απορριπτέο προϊόν (τεμάχιο) έχει γίνει αποδεκτό κατά λάθος (κίνδυνος για τον καταναλωτή,consumer’s risk) • O κίνδυνος για τον παραγωγό (producer’s risk), α, είναι η υπό όρους πιθανότητα το • σύστημα μέτρησης να αποτύχει για ένα προϊόν (τεμάχιο), όταντο προϊόν (τεμάχιο) • ικανοποιεί τις προδιαγραφές (ψεύτικη αποτυχία,False Failure ) • O κίνδυνος για τον καταναλωτή (consumer’s risk), β, είναι η υπό όρους πιθανότητα το • σύστημα μέτρησης να χαρακτηρίσει ένα προϊόν (τεμάχιο) σαν αποδεκτό, όταντο προϊόν • (τεμάχιο) δενικανοποιεί τις προδιαγραφές (λανθασμένη αποτυχία, Missed Fault) • Τα α και β υπολογίζονται από τις σχέσεις 10-4-2009 ΔΧ 41

42. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) Οι περιοχές ψεύτικη αποτυχία (False Failure), και λανθασμένη αποτυχία (Missed Fault), ενός συστήματος ελέγχου δείχνονται στο διάγραμμα που ακολουθεί, και οριοθετούνται από κλειστές καμπύλες (contours). Στην πραγματικότητα δεν γνωρίζουμε τα μ, σΡ2 και σ 2Τοταl,και οι προσεγγιστικές τιμές τους, δεν λένε τίποτε για την αβεβαιότητα στις τιμές. Αντί γι αυτό χρησιμοποιούμε διαστήματα εμπιστοσύνης για τις συνιστώσες της μεταβλητότητας Τα β και α υπολογίζονται για διάφορα σενάρια που υποδεικνύονται από τα διαστήματα εμπιστοσύνης των συνιστωσών της μεταβλητότητας. Για παράδειγμα, ένα απαισιόδοξο (pessimistic) σενάριο είναι να θεωρήσουμε την χειρότερη απόδοση (performance) για το σύστημα μέτρησης και χειρότερη ικανότητα για την διεργασία. Για να γινει αυτό, δίνουμε στο σΡ2 την τιμή του άνω ορίου του διaστήματος εμπιστοσύνης(για σΡ2) και βρίσκουμε την τιμή του σ 2Τοταlπου παρέχει το κατώτερο όριο για το ρΡ . Αντίστροφα, ένα αισιόδοξο (οptimistic) σενάριο συνδυάζει την καλλίτερη δυνατή απόδοση για το σύστημα ελέγχου με την καλλίτερη ικανότητα του συστήματος μέτρησης ΔΧ 42

43. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) Ο πίνακας παρακάτω δείχνει υπολογισμό των κινδύνων για τον παραγωγό και τον καταναλωτή, α και β, αντίστοιχα, για τα δυο σενάρια που εξετάστηκαν πιο πάνω, απαισιόδοχο (pessimistic), για την χειρότερη δυνατή απόδοση του συστήματος μέτρησης και της διεργασίας, και αισιόδοξο (οptimistic), για την καλλίτερη δυνατή απόδοση του συστήματος μέτρησης και της διεργασίας. Για το απαισιόδοξο σενάριο, χρησιμοποιούμε το άνω όριο για το σΡ2και το κάτω όριο για το ρΡ. Για το αισιόδοξο σενάριο, χρησιμοποιούμε το κάτω όριο για το σΡ2και το άνω όριο για το ρΡ ΔΧ 43

44. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) Το πρόβλημα έχει να κάνει με τη χρήση πληροφοριών από την ανάλυση ικανότητας της διεργασίας για την οριοθέτηση των προδιαγραφών σε διακριτά συνιστώντα μέρη που αλληλοεπιδρούν με άλλα συνιστώντα μέρη για να σχηματίσουν το τελικό προϊόν Παρουσιάζεται ιδιαίτερα σε πολύπλοκα συστήματα ή για να αποφευχθεί σχηματισμός σωρού ανοχής (tolerance stack-up) όπου υπάρχουν πολλές αλληλοεπιδρώσες διαστάσεις Σε πολλές περιπτώσεις, η διάσταση ενός στοιχείου είναι γραμμικός συνδυασμός των διαστάσεων των συνιστώντων μερών του, δηλ., y = a1x1 + a2x2 +…+anxn Αν τα xiέχουν ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσο μiκαι διασπορά σi2, το y κατανέμεται κανονικά με μέσο μy = Σi=1nai μiκαι διασπορά σy2 = Σi=1nai2σi2 . Aν τα μiκαι σi2είναι γνωστά, το ποσοστό των στοιχείωνεκτός των ορίων των προδιαγραφών μπορεί να υπολογισθεί. Αν το στοιχείο αποτελείται από n μέρη με κοινή διασποράσ2, και τα φυσικά όρια ανοχής του στοιχείου ορίζονται έτσι ώστε α% των στοιχείων να είναι εκτός των ορίων αυτών, τότε η μέγιστη δυνατή τιμή της διασποράς του στοιχείου, σy2*,που επιτρέπει τα φυσικά όρια ανοχής και τα όρια των προδιαγραφών να συμπίπτουν,είναι όπου 2W είναι τό εύρος του διαστήματος των προδιαγραφών ΔΧ 44

45. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) Συνεπώς, η μέγιστη επιτρεπτή τιμή της διασποράς για τα επί μέρους συνιστώντα μέρη είναι Σε μερικά προβλήματα, η διάσταση του στοιχείου είναι μή γραμμικήσυνάρτηση των διαστάσεων των συνιστώντων μερών του, δηλ., y = g(x1, x2 ,…, xn ) Αναπτύσσουμε το δεξιό μέρος της παραπάνω εξίσωσης σε σειρά Τaylor όπου R αντιπροσωπεύει όρους υψηλότερης τάξης. Αν αγνοήσουμε τους όρους υψηλότερης τάξης, έχουμε Η μέθοδος της προσέγγισης μέσου και διασποράς μη γραμμικού συνδυασμού τυχαίων μεταβλητών ονομάζεται μέθοδος δέλτα (delta method). H σχέση για τον υπολογισμό της διασποράς του στοιχείου από τις διασπορές των συνιστώντων μερών ονομάζεται τύπος για μετάδοση λάθους (transmission of error formula) ΔΧ 45

46. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) Τα όρια εμπιστοσύνης είναι διαφορετικά από τα όρια ανοχής Όρια εμπιστοσύνης: καθορίζουν το διάστημα στο οποίο κυμαίνεται η τιμή της παραμέτρου μιας κατανομής Όρια ανοχής: καθορίζουν το διάστημα στο οποίο αναμένεται να βρίσκεται συγκεκριμένο ποσοστό του πληθυσμού Τα όρια και των δυο τύπων προσδιορίζονται από δείγμα του πληθυσμού, μεγέθους n Για τον προσδιορισμό αυτών των ορίων, χρειάζεται να είναι γνωστά η κατανομή και οι παράμετροι του χαρακτηριστικού της ποιότητας, που στα περισσότερα πραγματικά προβλήματα δεν είναι γνωστά Όταν n∞, το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνηςτείνει στο0, και τα όρια ανοχής που προσδιορίσθηκαν από τό δείγμα μεγέθους nπλησιάζουν τα αντίστοιχα του πληθυσμού Ανμια τυχαία μεταβλητή xέχει κανονική κατανομή με μέσο μ και διασπορά σ2, και μ και σ2 είναι άγνωστα, από ένα τυχαίο δείγμα μεγέθουςnπροσδιορίζεται ο μέσος x̅και διασπορά s2. Είναι λογικό να προσεγγίσουμε τα φυσικά όρια ανοχής με x̅+ Ζα/2s, όμως, επειδή x̅και s δεν είναι πραγματικός μέσος και τυπική απόκλιση, το διάστημα που ορίζεται από τα φυσικά όρια ανοχής δεν περιλαμβάνει πάντοτε 100(1-α)% των τιμών της κατανομής. Μπορεί, όμως, να προσδιορισθεί μια σταθερά Κ, έτσι ώστε για ένα μεγάλο αριθμό δειγμάτων, ποσοστό γ του διαστήματοςx̅+ Κsνα περιλαμβάνειτουλάχιστον 100(1-α)% των τιμών της κατανομής ΔΧ 46

47. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) Tιμές του Κ για 2 < n < 1000, γ = 0.90, 0.95, 0.99, και α = 0.10, 0.05, 0.01 στόν πίνακα που ακολουθεί 10-4-2009 ΔΧ 47

48. Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότηταςκαι ΑΝαπαραγωγής(Gauge of Repeatability &Reproducibity) Μη παραμετρικά ή ανεξάρτητα-από-κατανομή (nonparametricή distribution-free)όρια ανοχής, που ισχύουν για κάθε συνεχή κατανομή πιθανότητας, βασίζονται στις ακραίες τιμές (μέγιστο και ελάχιστο) μετρήσεων δείγματος Για όρια ανοχής κι από τις δυο πλευρές της κατανομής, ο αριθμός των μετρήσεων που πρέπει να ληφθούν για να εξασφαλίσουν, έτσι ώστε, με πιθανότηταγ,100(1-α)% της κατανομής να βρίσκονται μεταξύ του μεγίστου και ελαχίστου των τιμών των μετρήσεων στο δείγμα, είναι κατά προσέγιση Για όρια ανοχής από τη μια πλευρά της κατανομής, ο αριθμός των μετρήσεων που πρέπει να ληφθούν για να εξασφαλίσουν, με πιθανότηταγ, 100(1-α)% της κατανομής να έχουν τιμές μεγαλύτερες από τη μικρότερη τιμή μέτρησης του δείγματος ή τιμές μικρότερες από τη μεγαλύτερη τιμή μέτρησης του δείγματος, είναι Γενικά τα μη παραμετρικά όρια ανοχής έχουν μικρή πρακτική αξία γιατί το να κατασκευάσει κανείς κατάλληλα διαστήματα που, με μεγάλη πιθανότητα, περιέχουν σχετικά μεγάλο ποσοστό των τιμών της κατανομής, πρέπει να ληφθούν μεγάλα δείγματα. Σε μερικές περιπτώσεις, αυτά τα διαστήματα είναι τόσο μεγάλα που η χρήση τους είναι ανεπίτρεπτη 10-4-2009 ΔΧ 48

49. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) • Διεργασία: Συνδυασμός μηχανών, μεθόδων, και ανθρώπων που μετατρέπει εισερχόμενο • υλικό σε εξερχόμενο προϊόν • Σχεδιασμένο πείραμα: ένα πείραμα ή μια • σειρά πειραμάτων στα οποία γίνονται • αλλαγές στις μεταβλητές εισόδου έτσι ώστε να • παρατηρηθούνκαι να εντοπισθούν αλλαγές • στις μεταβλητές εξόδου (response) • Οι στόχοι του πειράματος περιλαμβάνουν: • Προσδιορισμό των τιμών των ελεγχομένων μεταβλητώνxπου επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου y, • Προσδιορισμό των τιμών που πρέπει να δοθούν στις μεταβλητέςxπου επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου y, έτσι ώστε η απόκρισηyνα είναι στην περιοχή των απαιτουμένων, • Προσδιορισμό των τιμών που πρέπει να δοθούν στις μεταβλητέςxπου επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου y, έτσι ώστε η μεταβλητότητα της απόκρισηςyνα είναι μικρή, • Προσδιορισμό των τιμών που πρέπει να δοθούν στις μεταβλητές x που επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου, έτσι ώστε η επίδραση των μη ελεγχομένων μεταβλητώνzνα ελαχιστοποιηθεί ΔΧ

50. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) • Οι μέθοδοι του Σχεδιασμού Πειραμάτων (Design Of Experiments) βρίσκουν εφαρμογή • στονΣχεδιασμό και Ανάπτυξη Διεργασιών και Προϊόντων (Process & Product Design & • Development), γιανα: • Βελτιωθεί η απόδοση (yield), • Eλαττωθεί η μεταβλητότητα στην απόκριση και να είναι η απόκριση πιό κοντά στις • προδιαγραφές, • 3. Ελαττωθούν ο χρόνος και τα έξοδα ανάπτυξης, • Βελτιωθεί ο τρόπος εκτέλεσης(performance) της διεργασίας, και • Γίνει η διεργασία σταθερή (robust) ώστενα μην επιρρεάζεται από εξωτερικές αιτίες που προκαλούν μεταβλητότητα (διακύμανση) • Οι μέθοδοι του Σχεδιασμού Πειραμάτων (Design Of Experiments) είναι στενά • συνδεδεμένες με τίς μεθόδους Στατιστικού Ελέγχου Διεργασίας (Statistical Process • Control). Για παράδειγμα, αν μια διεργασία είναι υπό στατιστικό έλεγχο αλλά • εξακολουθεί να έχει χαμηλή ικανότητα, είναι αναγκαίο να μειωθεί η μεταβλητότητα • Το DΟΕπροσφέρει ένα πιο αποτελεσματικό τρόπο από το SPCγια να γίνει ακριβώς αυτό • Το SPCείναι στατικήμέθοδος, γιατί παρατηρούμε τη διεργασία και περιμένουμε για • πληροφορία που θα οδηγήσει σε χρήσιμη αλλαγή. Το DΟΕείναι ενεργήμέθοδος, γιατί • κάνουμε μια σειρά από πειράματα, κάνουμεαλλαγές στις μεταβλητές εισόδου και • παρατηρούμε τις αλλαγές στις μεταβλητές εξόδου, και αυτό θα παράγει πληροφορία • που θα οδηγήσει σε βελτίωση της διεργασίας ΔΧ