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第 5 章 平面问题有限元法

第 5 章 平面问题有限元法. 第一节 弹性力学有关知识. 第二节 平面问题有限元法. 载荷 (load) 应力 (Stress) 应变 (Strain) 位移 (Displacement). 第一节 弹性力学有关知识. 一、弹性力学中的物理量. Concentrated force Surface force Volume force. load. 载 荷. 外界作用在弹性体上的力，又称为外力. { P c }={ p cx p cy p cz } T. { P s }={ p sx p sy p sz } T.

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第 5 章 平面问题有限元法

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Presentation Transcript

  1. 第5章 平面问题有限元法 第一节 弹性力学有关知识 第二节 平面问题有限元法

  2. 载荷 (load) 应力 (Stress) 应变 (Strain) 位移 (Displacement) 第一节 弹性力学有关知识 一、弹性力学中的物理量

  3. Concentrated force Surface force Volume force load 载 荷 外界作用在弹性体上的力，又称为外力 {Pc}={ pcx pcypcz}T {Ps}={ psx psypsz}T {Pv}={pvx pvypvz}T

  4. Normal Stress:σx、σy、σz Shear Stress :τxy、τyz、τzx Stress 应 力

  5. 6个应力分量 {σ}={σxσy σz τxy τyz τzx }T

  6. ydy z z yz dz dz dy dy dx dx x x y O y O Normal Strain:εx、εy、εz Shear Strain : νxy 、νyz 、νzx Strain 应 变

  7. 6个应变分量 {ε}={εx εy εz νxy νyz νzx }T

  8. 位 移 x axis: u y axis: v z axis: w Displacement {d}={uvw}T 变 形(deform,deformation)

  9. {Pc}={ pcx pcypcz}T {Ps}={ psx psypsz}T {Pv}={pvx pvypvz}T {σ}={σxσy σz τxy τyz τzx }T {ε}={εx εy εz νxy νyz νzx }T {d}={uvw}T

  10. 二、弹性力学的基本方程 Relationship among load, stress, strain and displacement • 平衡方程 • 几何方程 • 物理方程

  11. 1、平衡方程 应力 ~ 载荷

  12. 2、几何方程 应变 ~ 位移

  13. 3、物 理 方 程 应变 ~ 应力

  14. Stress：6 Strain： 6 Disp. ： 3 平衡方程：3 几何方程：6 物理方程：6 = 15 15

  15. stresses 力法 Displacements位移法 stress, displacements混合法 基本未知量

  16. Plane stress Plane strain Plane problem simplified definition of plane problem 四、平面问题定义 3D

  17. 平面应力问题 • 一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸； • 载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布

  18. plane meshing 3D model Much easier

  19. 平衡方程 应 变 应 力 解题思路 载 荷 位 移 几何方程 基本未知量 物理方程

  20. Linear Static Analysis Procedure of Static Analysis of Plane Stress Problem 第二节 平面问题有限元法 平面应力问题的线性静力分析 static load linear stress, deformation

  21. meshing Element (mesh) node 一、结构离散 Procedure of Static Analysis 单元编号（element label） 节点编号（node label）

  22. (ui, vi) (uj, vj) (um, vm)

  23. Element label • Node label • Node location 已知 未知 Disp. Components: (ui, vi) 、(uj, vj) 、(um, vm)

  24. 二、单元分析 (Element Analysis) 目的：形成单元位移、应变、应力表达式 形成每个单元的刚度矩阵

  25. 真实位移分布 近似位移分布 1、位移函数 (displacement function) 位移插值函数

  26. 单元内的位移插值表达式 分片插值 节点位移，单元内任一点的位移

  27. 形函数矩阵 节点位移列阵 形函数 Ni、 Nj 、 Nm

  28. m Ni 1 i j 形函数物理意义

  29. 必要条件 Requirements for displacement function 位移函数应满足的条件 (1) 常数项 (2) 线性项 收敛(convergence) 1 x y x2xy y2 x3x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5 (3) 位移连续性 充分条件 (4) 几何各向同性

  30. 平衡方程 应 变 应 力 解题思路 载 荷 位 移 几何方程 基本未知量 物理方程

  31. 2、单元应变和应力 (element strain and stress)

  32. (l=i，j，m) 常数矩阵 bi、 bj 、 bm ci、 cj、 cm 应变矩阵 与单元形状有关

  33. 应力矩阵

  34. 基本未知量 数量有限！

  35. 数量无穷多 数量有限 节点位移 微分方程 代数方程 质点位移 d (x, y)

  36. 3、单元刚度矩阵(element stiffness matrix)

  37. 单元材料 • 板的厚度 • 单元面积 • 单元形状 单元刚阵 常数矩阵

  38. 单元平衡方程

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