数据结构

1. 数据结构

2. 数据结构的概念 表：学生档案

3. 数据结构的概念 • 数据（data）：凡是能输入到计算机的描述客观事物的符号 • 数据元素（data element）：也叫结点（node）或记录（record），是数据的基本单位。如：表中的一行就是一个数据元素。 • 数据项（data item）：是数据不可分割的最小单位。如：“学号”、”数学“等。 • 数据对象（data object）：指性质相同的数据元素的集合。如：所有的男生就构成一个数据对象。 • 数据结构（data structure）：数据之间的关系。包括数据的逻辑结构和数据的存储结构（物理结构）。

4. 数据的逻辑结构 • 计算机所处理的数据一般都存在某种内在的、特殊的关系，这种数据本身以及它们内在的相互之间的逻辑关系，叫做数据的逻辑结构。 • 用一个二元组 B=(D,S) 表示。 D表示结点构成的集合 S表示D中结点之间关系的集合 包括初等类型和组合类型 • 整型 • 实型 • 布尔型 • 字符型 • 指针型 • 集合结构：数据元素之间除了同属于一个集合的关系外，无任何其它关系。 • 线性结构：数据元素之间存在一对一的线性关系。 • 树型结构：数据元素之间存在一对多的层次关系。 • 图结构：数据元素之间存在多对多的任意关系。

5. 数据的存储结构 顺序存储（数组） • 表中一行（即一个学生信息）抽象成一个结点ai，ai与a(i+1)在存储上是相邻的。 • 设a1的起始地址为S，每个元素占M个存储单元（字节），则第i个元素的起始存储位置为 • loc(ai)=loc(a1)+(i-1)m

6. 数据的存储结构 • 链式存储（指针）

7. 栈 • 先进后出表（FILO）或下推表 • 假设栈的最大长度为m，所有结点都具有同一类型stype，则定义栈如下： Const m=栈的最大长度; Type stack=array[1..m] of stype; {栈类型} Var s:stack; {栈} t:integer; {栈顶指针} xx:stype; • 栈的基本运算： • 入栈 push • 出栈 pop • 读取栈顶元素 top

8. 入栈 push(s,x,t) • 过程push(s,x,t)往栈S中压入一个值为X的结点。 Procedure push(var s:stack; x:stype; var t:integer;); Begin if t=m then writeln(‘full!’) else begin t:=t+1; s[t]:=x; end; End;

9. 出栈 pop(s,t) • 函数pop(s,t)从栈s中弹出一个结点。 Function pop(var s:stack; var t:integer;):stype; Begin if t=0 then writeln(‘empty!’) else begin pop:=s[t]; t:=t-1; end; End; Procedure pop(var s:stack; var t:integer); Begin if t=0 then writeln(‘empty!’) else begin xx:=s[t]; t:=t-1; end; end;

10. 读取栈顶元素 top(s,t) • 函数top(s,t)读栈顶元素。 Function top(s:stack; t:integer;):stype; Begin if t=0 then writeln(‘empty!) else top:=s[t]; End;

11. 栈的应用 • 计算表达式的值 • 非递归的回溯法

12. 计算表达式的值 • 输入一个表达式，该表达式含+、-、*、/、(、)和操作数，所含字符数不超过255，以@结束，输出该表达式的值。 • 分析：字符串输入，不能进行数值计算，所以，需要将输入的中缀表达式转换成后缀表达式。 输入字符串：e 后缀表达式：a 存放运算符的栈：s

13. 计算表达式的值 当e[i]为： • 数字： e[i]压入a； • （： e[i]压入s； • ）： 将s中栈顶至（间的所有运算符出栈进入a，丢弃（； • +、-： 将s中栈顶至（间的所有运算符出栈进入a， e[i]进入s； • *、/： 将s中栈顶至（前的第一个+或-前的所有运算符出栈进入a，e[i]压入s； • 例e：5 * 8 + 3 * ( 5 * 2 / 3 – 4 ) + 7 • 则a：5 8 * 3 5 2 * 3 / 4 - * + 7 +

14. 队列 • 先进先出表（FIFO） • 插入的一端称为队尾r，删除的一端称为队首f f r f r f r

15. 定义队列： Const m=队列元素的上限; Type equeue=array[1..m] of qtype; Var q:equeue; r,f:integer; • 初始：f=r=0 • 队满：r=m • 队空：f=r 队列的主要运算： • 入队（ADD） • 出队（DEL）

16. 入队ADD（q,x,r） • 过程ADD（q,x,r）在队列q的尾端插入元素x Procedure ADD(var q:equeue; x:qtype; var r:integer;); Begin if r=m then writeln(‘full!’) else begin r:=r+1; q[r]:=x; end; End;

17. 出队 DEL（q,y,f） • 过程DEL（q,y,f）取出q队列的队首元素y Procedure DEL(var q:equeue; var y:qtype; var f:integer;); Begin if f=r then writeln(‘empty’) else begin f:=f+1; y:=q[f]; end; End;

18. 假溢出 • 随着队列一端插入，一端删除，队列在数组中不断向队尾方向移动，而在队首产生一片不以利用的空闲存储区，最后会导致当r=m时，不能再加入元素，形成假溢出。 r f r r f f f r 初始 加入3个元素 删除3个元素 加入m-3个元素，队满 f=r=0 f=0 r=3 f=r=3 r=m f=3

19. 循环队列 • 初始：f=r=m • 入队：r:=r+1; r:=r mod m +1 if r=m+1 then r:=1; • 出队：f:=f+1; f:=f mod m +1 if f=m+1 then f:=1; • 队空：f=r; • 队满：f=r mod m+1; m m-1 f 3 2 r 1

20. r a b c e f g h i j k 树 • 树的递归定义： • 有且仅有一个结点没有前驱（父结点），该结点为树的根 • 除根外，其余所有结点有且仅有一个前驱 • 除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上 根结点 第一层 分支结点 第二层 第三层 叶结点 第四层

21. 树 • 结点的度=该结点的子树树目 • 树的度=max(所有结点的度) • 树的深度（高度）=树中最大的层次 • 森林：若干棵互不相交的树的集合 • 有序树和无序树

22. 树的表示方法 • 自然界的树形表示法：用结点和边表示树 • 括号表示法：先将根结点放入一对（）中，然后把它的子树按由左而右的顺序放入（）中，而对子树也采用同样方法处理：同层子树放入它们根结点后面的（）中，同层子树之间用逗号隔开： (r(a(e,f(j)),b(g),c(h(k),i)))

23. 树的存储结构 • 静态记录数组 所有结点存储在一个数组中，数组元素为记录类型，包括数据域和长度为n（n为树的度）的数组，分别存储该结点的每一个儿子的下标。 Const n=树的度； max=结点数的上限； Type node=record data:datatype; ch:array[1..n]of integer; end; treetype=array[1..max] of node; Var tree:treetype;

24. 树的存储结构 • 动态多重链表 每个结点由数据域和n（n为树的度）个指针域共n+1个域组成。 const n=树的度; Type treetype=^node; node=record data:datatype; next:array[1..n] of treetype; end; var root:treetype;

25. 二叉树 • 二叉树的递归定义 • 二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足以下条件： • 有一个特定的结点称为根； • 余下的结点分为互不相交的子集L和R，其中R是根的左子树，L是根的右子树，L和R又是一棵二叉树。 • 二叉树和树是两个不同的概念： • 树的每个结点可以有任意多个后继，而二叉树中每个结点的后继不能超过2； • 树的子树可以不分次序（有序树除外），而二叉树的子树有左右之分。

26. a 空二叉树 b 只有一个结点的二叉树 c 只有左子树的二叉树 d 只有右子树的二叉树 e 左、右子树均有的二叉树 二叉树的形态 • 二叉树的五种基本形态

27. 二叉树的两个特殊形态 • 满二叉树：一棵深度为K且有2K-1个结点的二叉树称为满二叉树 • 完全二叉树：如果一棵二叉树最多只有最下面两层结点度数可以小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则称此二叉树为完全二叉树。

28. 二叉树的存储结构 • 顺序存储结构 Const m=树中结点数上限; Type node=record data:datatype; prt,lch,rch:0..m; end; Treetype=array[1.m]of node; Var tree:treetype;

29. 二叉树的存储结构 • 链式存储结构 Type bitrpetr=^node; node=record data:datatype; lch,rch:bitrpetr; end; Var bt:bitreptr;

30. a b c d e f g h i j l k 二叉树的遍历 • 前序：abdheicfjkgl • 中序：dhbeiajkfclg • 后序：hdiebkjflgca

31. 前序遍历 • 二叉链表 Procedure preorder(bt:bitreptr); Begin if bt<>nil then begin 访问处理bt^.data; preorder(bt^.lch); preorder(bt^.rch); end; End; • 二叉树的顺序存储结构 • Procedure preorder(i:integer;); • Begin if i<>0 then • begin • 访问处理tree[i].data; • preorder(tree[i].lch); • preorder(tree[i].rch); • end; • End;

32. 中序遍历 • 二叉链表 Procedure inorder(bt:bitreptr); Begin if bt<>nil then begin inorder(bt^.lch);访问处理bt^.data; inorder(bt^.rch); end; End; • 二叉树的顺序存储结构 • Procedure inorder(i:integer;); • Begin if i<>0 then • begin • inorder(tree[i].lch); • 访问处理tree[i].data; • inorder(tree[i].rch); • end; • End;

33. 后序遍历 • 二叉链表 Procedure postorder(bt:bitreptr); Begin if bt<>nil then begin postorder(bt^.lch); postorder(bt^.rch); 访问处理bt^.data; end; End; • 二叉树的顺序存储结构 • Procedure inorder(i:integer;); • Begin if i<>0 then • begin • inorder(tree[i].lch); • inorder(tree[i].rch); • 访问处理tree[i].data; • end; • End;

34. r a r r w b x a b c a b c f c d w f s t u x w f s t u x s h e d e i j d e i j i t h m o n h m o n m j u o n 普通有序树的遍历 • 普通树转换成二叉树 • 长子变左儿子 • 兄弟变右儿子

35. r s t e a b f c d g t r s s t r e a d e a d b f b f c g c g 森林的遍历 • 森林转换成二叉树

36. 由中序和后序确定前序 • 中序和后序确定前序 • 中序：s’=s1’……sk’……sn’ • 后序：s’’=s1’’…………sn’’ • 显然， sn’’为根，在前序中直接输出，设在中序中与sn’’相同的字符为sk’ • 若k>1，则左子树存在， s1’……sk-1’为左子树的中序遍历，s1’’……sk-1’’为左子树的后序遍历 • 若k<n，则右子树存在， sk+1’……sn’为右子树的中序遍历，sk’’……sn-1’’为右子树的后序遍历

37. 由中序和后序确定前序 Procedure solve1(s1,s2:string); Var k:integer; Begin if length(s2)=1 then write(s2) {递归出口} else begin k:=pos(s2[length(s2)],s1); write(s1[k]); if k>1 then solve1(copy(s1,1,k-1),copy(s2,1,k-1)); if k<length(s1) then solve1(copy(s1,k+1,length(s1)-k),copy(s2,k,length(s2)-k)); end; End;

38. 由中序和前序确定后序 Procedure solve2(s1,s2:string); Var k:integer; Begin if length(s2)=1 then write(s2) else begin k:=pos(s2[1],s1); if k>1 then solve2(copy(s1,1,k1),copy(s2,2,k)); if k<length(s1) then solve2(copy(s1,k+1,length(s1)-k), copy(s2,k+1,length(s2)-k)); end; End;

39. 二叉树的应用 • 二叉排序树 • 最优二叉树

40. 二叉排序树 • 二叉排序树是具有以下性质的非空二叉树： • 若根的左子树不空，则左子树的所有结点值均小于根结点值； • 若根的右子树不空，则右子树的所有结点值均不小于根结点值； • 根结点的左、右子树也分别为二叉排序树。 例：输入序列a1,a2……an（1<=n<=1000），将a按照递增顺序排列后输出。 • 构造二叉排序树的方法： • 令a1为二叉树的根； • 若a2<a1，则令a2为a1左子树的根结点，否则令a2为a1右子树的根结点； • 对a3，a4……an递归重复②。

41. 构造二叉排序树 例：a序列为：35 40 30 90 82 32 33 37 35 30 40 32 37 90 33 82 中序遍历：30 32 33 35 37 40 82 90

42. 构造二叉排序树 procedure createtree; begin fillchar(b,sizeof(b),0); b[1].data:=a[1]; for i:=2 to n do begin b[i].data:=a[i]; p:=1; while true do if a[i]<b[p].data then if b[p].l<>0 then p:=b[p].l else begin b[p].l:=i; break; end else if b[p].r<>0 then p:=b[p].r else begin b[p].r:=i; break; end; end; end; 稳定的

43. 构造二叉排序树 • 主程序 Begin readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); writeln; createtree; inorder(1); End.

44. <80 <60 <70 <90 不及格 <70 <60 中 良 优 及格 <80 不及格 及格 中 <90 良 优 最优二叉树 • 最优二叉树（哈夫曼树、最优搜索树） 例：计算最优的判定过程 全校学生的成绩由百分制转换成五等分制，在五个等级上分布不均匀，颁布规律如下： 百分制分数范围 0~59 60~69 70~79 80~89 90~100 分布情况% 5 15 40 30 10 现有10000个数据，以下两种判定转化过程： K1=10000*(1*5%+2*15%+3*40%+4*(30%+10%))=31500 K2=10000*(2*(40%+30%+10%)+3*(5%+15%))=22000

45. 最优二叉树 • 结点的路径长度：从根到每个结点的路径长度 • 叶结点的权值：叶结点被赋予的实数值 • 设Wk为第k个结点的权值，Pk为第k个叶结点的带权路径长度。 L=W1*P1+W2*P2……Wn*Pn 则使L最小的树称为最优二叉树。

46. 24 7 5 2 4 6 24 A B C D E 6 7 5 6 13 11 A B E 6 A E B 7 6 5 7 6 11 13 11 C D A E 2 4 构造最优二叉树 • 构造方法： • 将给定的N个结点构成N棵二叉树的集合F，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点Ki，其左右、子树均为空； • 在F中选取根结点权值最小的两棵二叉树作为左、右子树，构造一棵新的二叉树，并且置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和； • 在F中删除这两棵二叉树，同时将新得到的二叉树加入F中； • 重复②③，直到在F中只含有一棵二叉树为止。

47. 最优二叉树 • 最优二叉树中非叶子结点的度均为2 • 如果叶结点数为N，则总结点数为2*N-1 Const n=叶结点的上限; m=2*n-1; Type node=record data:integer; prt,lch,rch,lth:0..m; end; wtype=array[1..n] of integer; treetype=array[1..m] of node; {tree[1..n]为叶子结点， tree[n+1..2*n-2]为分支结点，tree[2*n-1]为根} Var tree:treetype;

48. 构造最优二叉树 Procedure hufm(w:wtype;var tree; var bt:integer); function min(h:integer):integer; begin m1:=maxint; for p:=1 to h do if (tree[p].prt=0) and (m1>tree[p].data) then begin i:=p; m1:= tree[p].data; end; min:=i; end; Begin fillchar(tree,sizeof(tree),0); for i:=1 to n do read(tree[i].data); for k:=n+1 to m do begin i:=min(k-1); tree[i].prt:=k; tree[k].lch:=i; j:=min(k-1); tree[j].prt:=k; tree[k].rch:=j; tree[k].data:=tree[i].data+tree[j].data; end; bt:=m; End;

49. 求最优判断 Procedure ht(t:integer); {通过前序遍历计算每个叶子的路径长度} Begin if t=m then tree[t].lth:=0 else tree[t].lth:=tree[tree[t].prt].lth+1 if tree[t].lth<>0 then begin ht(tree[t].lch); ht(tree[t].rch); end; End; BEGIN readln(n); for i:=1 to 5 do readln(w[i]); hufm(w,tree,bt); ht(bt); writlen(m*tree[bt].data); for i:=1 to 5 do write(n*tree[i].lth*tree[i].data:0:0); END.

50. 图 • 图是较线性表和树更为复杂的一种数据结构，在这种数据结构中，数据结点间的联系是任意的，因此它可以更广泛地表示数据元素之间的关系。 • 线性表和树是图的特例。