permutari

1. permutari Pn=n! Prof. Falevici Aurelia LiceulTeoretic “Ion Neculce” Bucuresti

2. CUPRINS Scopullectiei Valorisiatitudini Definitie Teorema Exemple Aplicatii Teste Tema

3. Scopullectiei • Obtinereasidemonstratiaformulei de calcul a permutarilor de n elemente • Deprindereautilizariipermutarilor • Aplicatii • Valori şi atitudini • Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative, a independenţei în gândire şi acţiune. • Manifestarea iniţiativei, a disponibilităţii de a aborda sarcini variate, a tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare. • Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme. • Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice. • Formareamotivaţieipentrustudiereamatematicii ca domeniu relevant pentruviaţasocialăşiprofesională.

4. PERMUTARI Fie A o multimefinita cu n elemente. Aceastamultime se poateordona in maimultemoduri. Se obtin, astfel, multimiordonatediferite, care se deosebesc intreelenumaiprinordonareaelementelor. DefinitieDaca A este o multime cu n elemente, fiecare din multimileordonate care se formeaza cu cele n elemente ale multimii A se numestepermutare a acesteimultimi. Se maispune ca este o permutare a elementelor sale sau, inca, o permutare de n elemente. Numarulpermutarilor de n elemente se noteaza cu Pnsi se citeste”permutari de n”.

5. Exemple O multime cu un singur element poatefiordonataintr-un singur mod. O multime cu douaelementepoatefiordonata in douamoduri. 3. O multime cu treielementepoatefiordonata in sasemoduri {a, b, c} {a,c b} {b, a, c} {b, c, a} {c, a, b} {c, b, a} Multimeavida se poateordonaintr-un singur mod 0!= 1

6. Teorema: Daca n ≥ 1 estenumar natural, atunciPn = n! (1) DemonstratieTeorema se demonstreazaprinmetodainductieimatematice. Se noteaza cu P(n) egalitatea (1). P(1) esteadevarata (veziexemplul 1). Se arata ca P(k) implica P(k+1). Se ordoneaza in toatemodurileposibile o multime cu ( k+1) elemente, Oricare din cele( k+1) elemente ale multimiipoateocupaultimul loc, al (k+1)-lea. Se obtinastfel (k+1) moduridiferite de a ocupaultimul loc. Se consideraunul din ele, in care un element ales al multimiivaavearangul (k+1).Elementeleramase .care sunt in numar de k, trebuiesaocupepeimele k locuri, iaraceasta se poate face in k! moduridiferite. Se obtin, asadar, (k+1)k!=(k+1)! moduri de a ordona o multime care are (k+1) elemente, deci P(k+1) esteadevarata. Conform metodeiinductieimatematice, teoremaestedemonstrata.

7. Aplicatii Catenumerediferite se pot forma cu cifrele: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 asfelancatoricenumarsacontinatoatecifrelesidoar o singura data fiecarecifra? R: Din numarulmultimilorordonate care au ca elementecele 10 cifre , trebuiesascadempecele care au peprimul loc cifra0. Deciobtinem: 10!-9!=9.9!=3265920numere. 2.In juruluneimese se aseaza 6 persoane,3 baietisi 3 fete.Incatemoduri se pot asezaacestepersoaneastfelincatsa nu fie alaturidouapersoane de acelasi sex? R: 2.3!.3!=72 moduri B1 B1 F1 F2 F1 F3 ………. B3 B2 B2 B3 F3 F2

8. Test 2 Un numar de 6 persoane se aseaza la o masa cu 6 locuri. In catemoduri se pot aseza acestepersoanedaca: scaunelesuntdispuse in liniedreapta? scaunelesuntdispuse circular? Test 1 Rezolvatiecuatiile: 3(n+1)!=(n+3)! 5n!+(n+1)!=40(n-1)! c) n(n+1)!+(n+1)n!=96

9. Tema Catenumere de 5 cifre cu cifrediferite se pot forma cu cifrele: 1, 2 , 3, 4, 5 ? Cate din elesuntdivizibile cu 5 ? 2. In catefeluri se pot aseza 10 persoane in juruluneimeserotunde ? 3. Cum se pot asezape un raft 10 carti, 7 de autoridiferitisi 3 de acelasiautor, astfelincatcele de acelasiautorsa fie unadupaalta ? 4. Aflavalorilenumarului natural n pentru care: (2n)!/2n!<500