2 ． 3.3 直线与平面垂直的性质

1. 2．3.3　直线与平面垂直的性质

3. 一、填空 • 1．线面垂直的性质定理： • ，用数学符号表示为. • 2．a⊥α，a⊥β，则αβ. • 3．a⊥α，α∥β则aβ. • 4．a∥b，b⊥α，则aα. 垂直于同一平面的两条直线互相平行 a⊥α，b⊥α⇒a∥b ∥ ⊥ ⊥

4. 二、判断正误 • (1)如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直． • (2)已知平面α和直线a、b，若a∥α，b⊥a，则b⊥α. • [解析](1)错．平面内与这条直线的射影垂直的直线与此直线垂直． • (2)错．正四棱台如图． • b为上底面一边或斜高时都有b⊥a， • 但b与下底面α不垂直．

5. 本节学习重点：直线与平面垂直的性质． • 本节学习难点：线线垂直与面面垂直的转化．

7. 直线与平面垂直的判定与性质归纳如下表：

11. [例1]　如图，设平面α与β相交于直线l，AC⊥α，BD⊥β，垂足分别为C、D，直线AB⊥AC，AB⊥BD，[例1]　如图，设平面α与β相交于直线l，AC⊥α，BD⊥β，垂足分别为C、D，直线AB⊥AC，AB⊥BD， • 求证：AB∥l.

12. [解析]∵AC⊥α，BD⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥l，BD⊥l；[解析]∵AC⊥α，BD⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥l，BD⊥l； • 过A作AE⊥β垂足为E，则AE∥BD， • ∵AB⊥BD，∴AB⊥AE，∴AB⊥平面ACE； • ∵AE⊥β，α∩β＝l，∴AE⊥l， • 又AC⊥l，∴l⊥平面ACE，∴AB∥l. • [点评]要证线线平行，不具备公理4的条件，没有线面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系，于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平面γ、l⊥γ、AB⊥γ，于是作辅助线围绕找γ展开．

13. 如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证：(1)AE⊥SB；(2)AG⊥SD.如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证：(1)AE⊥SB；(2)AG⊥SD.

14. [分析]要证AE⊥SB，可先假定AE⊥SB已经成立，结合条件SC⊥平面AEFG可知AE⊥平面SBC，从而AE⊥BC，又BC⊥AB，故BC⊥平面SAB，这样实际证明时，应先从已知条件SA⊥平面ABCD入手证得BC⊥平面SAB，后证AE⊥平面SBC.[分析]要证AE⊥SB，可先假定AE⊥SB已经成立，结合条件SC⊥平面AEFG可知AE⊥平面SBC，从而AE⊥BC，又BC⊥AB，故BC⊥平面SAB，这样实际证明时，应先从已知条件SA⊥平面ABCD入手证得BC⊥平面SAB，后证AE⊥平面SBC.

15. [证明](1)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC. • 又AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB. • 又AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE. • ∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AE. • 又∵SC∩BC＝C，∴AE⊥平面SBC. • ∵SB⊂平面SBC，∴AE⊥SB.

16. (2)∵SA⊥平面ABCD，∴CD⊥SA， • 又CD⊥AD，AD∩SA＝A，∴CD⊥平面SAD， • ∵AG⊂平面SAD，∴CD⊥AG • ∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AG. • 又∵SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC. • 又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.

17. [例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别在直线BD、B1C上，且MN⊥BD，MN⊥B1C，求证：MN∥AC1.[例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别在直线BD、B1C上，且MN⊥BD，MN⊥B1C，求证：MN∥AC1.

18. [分析]已知MN⊥BD，MN⊥B1C，而B1C与BD是异面直线，可考虑先平移其中一条(B1C∥A1D)得到线面垂直．结合正方体中存在众多垂直关系，问题实质是已知线面垂直关系证线线平行可考虑用性质，如果能推得AC1⊥平面A1BD，问题获解．由BD⊥AC，BD⊥C1C可得，BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC1.同理A1D⊥AC1.[分析]已知MN⊥BD，MN⊥B1C，而B1C与BD是异面直线，可考虑先平移其中一条(B1C∥A1D)得到线面垂直．结合正方体中存在众多垂直关系，问题实质是已知线面垂直关系证线线平行可考虑用性质，如果能推得AC1⊥平面A1BD，问题获解．由BD⊥AC，BD⊥C1C可得，BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC1.同理A1D⊥AC1.

19. [解析]连接A1D、A1B • ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C∥A1D， • ∵MN⊥B1C，∴MN⊥A1D， • 又MN⊥BD，∴MN⊥平面A1BD，∵BD⊥AC且BD⊥C1C • ∴BD⊥平面ACC1　∴BD⊥AC1 • 又A1D⊥AD1且A1D⊥C1D1 • ∴A1D⊥平面AC1D1　∴A1D⊥AC1 • ∴AC1⊥平面A1DB　∴AC1∥MN.

21. [例3]　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为AB、C1D1的中点，求直线A1B1和平面A1ECF所成的角的正切．[例3]　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为AB、C1D1的中点，求直线A1B1和平面A1ECF所成的角的正切． • [分析]求线面角的关键是找出直线在平面上的射影，为此由直线A1B1上一点向平面A1ECF作垂线，但垂足在什么位置呢？故欲作垂线，可先作垂面．

22. [解析]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， • ∵FC1綊EB，∴EF∥C1B. • 又∵C1B⊥B1C.C1B⊥A1B1，∴C1B⊥平面A1B1C， • ∴EF⊥平面A1B1C， • ∴平面A1B1C⊥平面A1ECF.交线为A1C. • 作B1H⊥A1C，则B1H⊥平面A1CF. • ∴A1C为A1B1在平面A1ECF上的射影． • ∴∠B1A1C即为直线A1B1 • 和平面A1ECF所成的角．

24. [例4]如图，有一个正三棱锥体的零件，P是侧面ABD上一点．在面ABD内过点P画一条与棱AC垂直的线段，应怎样画？说明你的理由．[例4]如图，有一个正三棱锥体的零件，P是侧面ABD上一点．在面ABD内过点P画一条与棱AC垂直的线段，应怎样画？说明你的理由．

25. [解析]取BD中点E， • ∵几何体为正三棱锥， • ∴AE⊥BD，CE⊥BD， • ∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AC. • 故在平面ABD内，欲过P点作与棱AC垂直的线段，只须过P作MN∥BD分别交AB、AD于M、N，则线段MN⊥AC，MN即所求．

27. [例5]已知直线a∥平面α，b⊂α，c⊂α，a∥b∥c，a到平面α的距离为4，a与b距离为5，b与c距离为6，则a与c的距离为[例5]已知直线a∥平面α，b⊂α，c⊂α，a∥b∥c，a到平面α的距离为4，a与b距离为5，b与c距离为6，则a与c的距离为 • ()

29. [辨析]考虑问题不周到，由题设的条件知，当在直线a上取点A，作AB⊥α时，垂足B可能在b、c之间，也可能在两侧，故应讨论．[辨析]考虑问题不周到，由题设的条件知，当在直线a上取点A，作AB⊥α时，垂足B可能在b、c之间，也可能在两侧，故应讨论．

33. 一、选择题 • 1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内 • () • A．不存在与l垂直的直线 • B．存在一条与l垂直的直线 • C．存在无数条与l垂直的直线 • D．任意一条都与l垂直 • [答案]C

34. [解析]若l⊂α，显然在α内存在无数条直线与l垂直；若l∥α，过l作平面β∩α＝l′，则l∥l′，[解析]若l⊂α，显然在α内存在无数条直线与l垂直；若l∥α，过l作平面β∩α＝l′，则l∥l′， • ∵在α内存在无数条直线与l′垂直，从而在α内存在无数条直线与l垂直； • 若l与α斜交，设交点为A，在l上任取一点P， • 过P作PQ⊥α，垂足为Q，在α内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直．

35. 2．过一点和已知平面垂直的直线条数为 • () • A．1条　　　 B．2条 • C．无数条 D．不能确定 • [答案]A

36. [解析]已知：平面α和一点P. • 求证：过点P与α垂直的直线只有一条． • 证明：不论点P在平面α外或平面α内，设PA⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P还有一条直线PB⊥α，设PA、PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．

37. 二、解答题 • 3．(09·湖南文)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝ ，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E. • (1)证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1； • (2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．

38. [解析](1)如图所示，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知，AA1⊥平面ABC.[解析](1)如图所示，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知，AA1⊥平面ABC. • 又DE⊂平面ABC，所以DE⊥AA1. • 而DE⊥A1E，AA1∩A1E＝A1， • 所以DE⊥平面ACC1A1. • 又DE⊂平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1.