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第一章 数与式

第一章 数与式. 因式分解. 课前热身. 1.(2006 年 · 泉州 ) 分解因式： x 2 +3x =. x(x+3). 2.(2007 年 · 泉州 ) 分解因式： x 2 +xy =. x(x+y). 3. (2008 年 · 泉州 ) 分解因式： x 2 -4 =. (x+2)(x-2). (x+3) 2. 4.(2009 年 · 泉州 ) 分解因式： x 2 +6x+9 =. 因式分解. x 2 -1 (x+1)(x-1). 整式乘法. 考点 1 、因式分解的概念.

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第一章 数与式

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  1. 第一章 数与式 因式分解

  2. 课前热身 1.(2006年·泉州)分解因式：x2+3x = x(x+3) 2.(2007年·泉州)分解因式：x2+xy = x(x+y) 3. (2008年·泉州)分解因式：x2-4 = (x+2)(x-2) (x+3)2 4.(2009年·泉州)分解因式：x2+6x+9 =

  3. 因式分解 x2-1(x+1)(x-1) 整式乘法 考点1、因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

  4. 取各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积取各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积 考点2 提公因式法 多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公 共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式 的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+ mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中 一个因式是各项的公因式m，另一个因式 (a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像 这种分解因式的方法叫做提公因式法. x 例如：x2 – x = x(x-1)， 8a2b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1) 2a

  5. 典例剖析 例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)

  6. 典例剖析 例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a) 解：(1)-x3z+x4y= -(x3z-x4y) = -x3(z-xy). 分两步,先提负号，再提公因式 (2)3x(a-b)+2y(b-a) =3x(a-b)-2y(a-b) =(a-b)(3x-2y)

  7. 小结 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题： (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项 要合并，而且每个括号内要不能再分解. 如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y) =(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)] =(x+y)(4m-6n) =2(x+y)(2m-3n) (2)如果出现像(2)小题需统一时，首先 统一,尽可能使统一的个数少，这时注意到 (a-b)n=(b-a)n(n为偶数) 例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2. (3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成 幂的形式. 本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x) 统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简 便，因为(x-y)2=(y-x)2. a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2 =(y-x)2[a+b(y-x)+c] =(y-x)2(a+by-bx+c). 例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b) =(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)] =(a-2b)(8a-16b) =8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2.

  8. 做一做 • 把下列各式分解因式. • -4y4+4y3-y2 • (2)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)

  9. 考点3 公式法 (1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式. 例如：4x2-12xy+9y2 =(2x)2-2·2x·3y+(3y)2 =(2x-3y)2

  10. 典例剖析 例2 把下列各式分解因式. (1)9x2-4y2； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9

  11. 例2 把下列各式分解因式. (1)9x2-4y2； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9 解:(1)9x2-4y2 =(3x)2-(2y)2 =(3x+2y)(3x-2y) (2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2 做一做 把下列各式分解因式. (1) 9a2-1 (2)（x+y)2+4(x+y)+4

  12. 综合运用 例3 分解因式. (1)x3-2x2+x；(2)x2(x-y)+y2(y-x) =x(x-1)2 解:(1)x3-2x2+x =x(x2-2x+1) x (2)x2(x-y)+y2(y-x) 小结 解因式分解题时，首先考虑 是否有公因式，如果有，先提公因式； 如果没有公因式是两项，则考虑能否用 平方差公式分解因式. 是三项式考虑用 完全平方式，最后，直到每一个因式都 不能再分解为止. =x2(x-y)-y2(x-y) =(x-y)(x2-y2) =(x-y)(x+y)(x-y) =(x+y)(x-y)2

  13. 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=___ 分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差). ∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36 做一做 若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=___ k=3或k=-9

  14. 自我评价 知识巩固 慧眼找错 1.下列多项式因式分解是否正确，若不正确请改正错误 ＋1） — ＝（3a+b)(b-a)

  15. 自我评价 知识巩固 2.(2009年·福州市)分解因式：x2-2x=. x(x-2) 3.(2009年·威海)分解因式：(x+3)2-(x+3)=. (x+3)(x+2) (x+2)(x-2) 4.(2009年·龙岩市)分解因式：x2－4=. a(x+y)(x-y) 5.(2009年·三明市)分解因式：ax2-ay2=. 6. (2009年·潍坊)分解因式：27x2+18x+3=. 3(3x+1)2

  16. 7.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=( ) A.3 B.-5 C.7. D.7或-1 8.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值. 自我评价 知识巩固

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