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分数阶导数的湍流统计方程和雷诺方程 － 复杂流体 vs. 复杂流动

分数阶导数的湍流统计方程和雷诺方程 － 复杂流体 vs. 复杂流动. 陈文 河海大学工程力学研究所 2006 年 5 月 27 日. 湍流的本质和困难. 确定性 Navier-Stokes 方程描述的 混沌随机现象 ； “ 统计理论 ” 和所谓的 “ 半经验工程模型 ” 的关系？ 100 多年的世纪性难题：物理机理不清楚还是缺乏有效的数学工具？. Kolmogorov -5/3 湍流次方律. -5/3 次方律在 极高雷诺数流动中被实测数据验证 有限雷诺数湍流的 -5/3 次方律的波数范围窄 实验证实湍流物理量呈明显的非高斯分布（即所谓的间歇性现象）.

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分数阶导数的湍流统计方程和雷诺方程 － 复杂流体 vs. 复杂流动

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  1. 分数阶导数的湍流统计方程和雷诺方程－复杂流体 vs.复杂流动 陈文 河海大学工程力学研究所 2006年5月27日

  2. 湍流的本质和困难 • 确定性Navier-Stokes方程描述的混沌随机现象； • “统计理论”和所谓的“半经验工程模型”的关系？ • 100多年的世纪性难题：物理机理不清楚还是缺乏有效的数学工具？

  3. Kolmogorov -5/3湍流次方律 • -5/3次方律在极高雷诺数流动中被实测数据验证 • 有限雷诺数湍流的-5/3次方律的波数范围窄 • 实验证实湍流物理量呈明显的非高斯分布（即所谓的间歇性现象）

  4. 脉动速度的能谱(Kim，Moin槽道湍流直接 数值模拟数据库)

  5. 湍流物理量的分布：Gauss vs. Levy分布 Levy distribution Nature, 409, 1017–1019, 2001

  6. Plasma turbulence Oak Ridge National Laboratory Power law decay of Levy distribution

  7. Levy稳态分布 • 高斯分布是Levy分布的稳态指数为2的特例。 • 湍流的一些物理量服从Levy分布，见以下文献： Lévy dynamics of enhanced diffusion: Application to turbulence, Phys. Rev. Lett., 58(11) (1987) 1100-1103. Truncated Levy laws and 2D turbulence, Eur. Phys. J. B4, 143-146 (1998). Stable distribution and levy process in fractal turbulence. Progr. Theoret. Phys.72, 471-479 (1984).

  8. Levy分布的特例 Gaussian (=2) Cauchy分布(=1)

  9. 湍流的Richardson“反常”扩散 Richardson扩散和Kolmogorov标度率相容 分数阶Laplace统计方程:

  10. 湍流间歇性的统计方程 空间Fourier变换解 间歇性指标：

  11. 分数阶导数雷诺方程 Navier-Stokes方程 雷诺分解 雷诺方程

  12. 分数阶导数雷诺方程： 湍流的涡粘性比分子粘性的作用要大三个数量级。

  13. 标度不变性

  14. 主要结论 • 建立了Kolmogorov湍流“统计理论”和”经验型”雷诺方程模型的直接联系； • 提出了刻画湍流间歇性的双尺度微分方程统计模型，解释了湍流的多尺度现象（多重分形）； • 分数阶微积分（vs.分形方法）是描述复杂混沌随机过程的潜在数学工具； • 复杂流动和复杂流体建模的共性问题（标度率和分形）。

  15. Fractional vs. Nonlinear systems • History dependency • Global interaction • Fewer physical parameters (simple= beautiful) • Competition or complementary

  16. 相关学术论文 • W. Chen, S. Holm, Modified Szabo’s wave equation models for lossy media obeying frequency power law, J. Acoustic Society of America, 2570-2574, 114(5), 2003. • W. Chen, S. Holm, Fractional Laplacian time-space models for linear and nonlinear lossy media exhibiting arbitrary frequency dependency, J. Acoustic Society of America, 115(4), 1424-1430, 2004. • W. Chen, Lévy stable distribution and [0,2] power law dependence of acoustic absorption on frequency in various lossy media, 中国物理快报，22(10)，2601-03, 2005. • W. Chen, Time-space fabric underlying anomalous diffusion, Soliton, Fractal, & Chaos, 28(4), 923-929, 2006. . • W. Chen,. A speculative study of 2/3-order fractional Laplacian modeling of turbulence: Some thoughts and conjectures, Chaos, (accepted), 2006.

  17. Relevant keywords and fields: • Scaling invariant, complex fluids, porous media • frequency dependency, power law • Fractal, microstructures, self-similarity, • Fractional calculus (Abel integral equation; Volterra integral equation) • Entropy & irreversibility

  18. For some details, please go to http://www.ifi.uio.no/~wenc/ For contact chenwen@hhu.edu.cn

  19. 谢谢大家！

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