Теория Графов

1. Теория Графов • Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру (1736 год), хотя термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг.

2. Области применения теории графов • С помощью графов часто упрощалось решение задач, сформулированных в различных областях знаний: в автоматике, электронике, физике, химии и др. С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло- и электросети. Помогают графы в решении математических и экономических задач

3. Определение графа • Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых или кривых.

4. Пентаграмма – полный граф • Еще один пример графа – пентаграмма. Пентаграмма – это правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник Чаще пятиугольник изображают вписанным в окружность. В таком случае пентаграмма будет примером полного графа.

5. Ребра и вершины графа • Точки А, Б, В, Г, Д называются вершинами графа, а отрезки линий, соединяющие эти точки — ребрами графа. При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут быть прямолинейными или криволинейными; Длины отрезков и расположение точек произвольны. Например, все три фигуры на рисунке изображают один и тот же граф.

6. Б В А Г Е Д • Изобразите с помощью графа договорные отношения между предприятиями А, Б, В, Г, Д, Е, если к рассматриваемому моменту: предприятие А установило договорные отношения со всеми другими предприятиями;Б установило с Г и Д; В установило со всеми предприятиями, кроме предприятия Е.

7. Степень вершины • Cтепень вершины- • количество ребер графа, исходящих из этой вершины. На рисунке изображен граф с пятью вершинами. Степень вершины А обозначим Ст.А.На рисунке : Ст.А = 1, Ст.Б = 2, Ст.В = 3, Ст.Г= 2, Ст.Д= 0. • Вершина называется нечетной- • если степень этой вершины нечетная, • четной— • если степень этой вершины четная.

8. Закономерности Закономерность1. Степени вершин полного графа одинаковы, и каждая из них на 1 меньше числа вершин этого графа. Закономерность 2. Сумма степеней вершин графа число четное, равное удвоенному числу ребер графа. Закономерность 3 Число нечетных вершин любого графа четно.

9. Кенигсбергские мосты • Самая известная задача,связанная с теорией графов – о кенигсбергских мостах. • К XVIII веку через реку, на которой стоял город Кенигсберг (ныне Калининград), было построено 7 мостов, которые связывали с берегами и друг с другом два острова, расположенные в пределах города (см.рисунок)

10. Задача заключается в следующем: нужно пройти (если это возможно) по всем семи мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь по одному разу и вернуться к тому месту, откуда начал маршрут.

11. Решение Леонарда Эйлера • Прохождение по всем мостам при условии, что нужно на каждом побывать один раз и вернуться в точку начала путешествия, на языке теории графов выглядит как задача изображения «одним росчерком» графа, представленного на рисунке. Но, поскольку граф на этом рисунке имеет четыре нечетные вершины, то, согласно закономерности 7. такой граф начертить «одним росчерком» невозможно. Значит, и пройти по кенигcбергским мостам, соблюдая заданные условия, нельзя.

12. Несколько задач… • Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано? • Между планетами введено космическое сообщение по следующим маршрутам: З-К, П-В, З-П, П-К, К-В, У-М, М-С, С-Ю, Ю-М, М-У. Можно ли добраться с З до М? • На уроке математики присутствуют 5 человек - Катя, Кирилл, Артем, Алена, Дима. Учительница хочет рассадить ребят так, чтобы Кирилл сидел одни, а остальные мальчики сидели с девочками. Какие варианты возможны?

13. Источники: • Методические материалы, присланные организаторами ДООМ • http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/graf/gr1.htm - электронный учебник по теории графов.