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VECTORES

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VECTORES

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  1. Vector fijo, AB, es un segmento orientado determinado por un punto origen A(a1, a2) y un punto extremo, B(b1, b2). • Componentes de AB: (b1– a1, b2– a2) • Dirección: recta determinada por A y B • Sentido • Módulo: longitud del vector: |AB| = 2 2 ( b – a ) + ( b – a ) 1 1 2 2 Dos vectores fijos son equipolentes si tienen la misma dirección, sentido y módulo. El conjunto de vectores equipolentes definen un vector libre v, que tiene las mismas componentes que sus equipolentes. Módulo de v = (v1, v2) es |v| = 2 2 v + v 1 2 VECTORES

  2. Suma de vectores libres v = (v1, v2) y w = (w1, w2) v + w = (v1 + w1, v2 + w2) • Multiplicación de un vector por un número real • v = (v1, v2) y k real k ·v = (kv1 , kv2) • Si k = 0 k · v = 0 • Si k > 0 k · v mismo dirección y sentido que v • módulo = k|v| • Si k < 0 k · v mismo dirección que v y sentido contrario • módulo = k|v| OPERACIONES CON VECTORES

  3. w es combinación lineal de un conjunto de vectores, u1, u2, …, un si w = k1·u1 + k2·u2 + ………+ knun donde los ki son números reales Si dos vectores en el plano son linealmente independientes, cualquier otro vector se expresa como combinación lineal suya. Estos vectores se denominan base. Base canónica i = (1,0) j = (0,1) v = (v1, v2) = v1i + v2j COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Base Un conjunto de vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás.

  4. Producto escalar de dos vectores • u · v = |u|·|v|· cos (u, v) • Si u o v es 0 u · v = 0 • Si (u, v) = 90° u · v = 0 • u · u = |u|·|u|· cos 0° = |u|2 |u| = u· u • Propiedades del producto escalar • u · u ≥ 0 (u · u = 0 si y sólo si u = 0) • Propiedad conmutativa u · v = v · u • Propiedad asociativa mixta (au) · v = u · (av) = a(u · v) • Propieda distributiva (u + v) · w = u · w + v · w PRODUCTO ESCALAR (I)

  5. Vector unitario u: |u| = 1 Si v = (v1, v2) no es unitario podemos obtener: v v1 v2 |v| |v| |v| donde u es unitario y tiene la misma dirección y sentido que v u = = , Ángulo que forman dos vectores . u v cos ( u , v ) = . | u | | v| Expresión analítica del producto escalar a · b = a1b1 + a2b2 PRODUCTO ESCALAR (II)

  6. ECUACIONES DE LA RECTA

  7. Dos rectas son paralelas o coincidentes sus vectores directores son proporcionales Dos rectas son secantes sus vectores directores son linealmente independientes POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTAS • Para determinar la posición de dos rectas, nos fijamos en sus ecuaciones y analizamos el sistema que forman: • Si el sistema tiene una única solución, las rectas son secantes (z y t; z y r; z y s) • Si el sistema no tiene solución, las rectas son paralelas (s y t) • Si el sistema tiene infinitas soluciones, las rectas son coincidentes (r y s) Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son. Su producto escalar tiene se ser 0.

  8. Distancia entre dos puntos A(a1, a2) y B(b1, b2) d(A, B) = |AB| 2 2 = ( b - a ) + ( b - a ) 1 1 2 2 Distancia entre un punto y una recta A(a1, a2) y la recta r d(A, r) = |AA0| Usando la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 se puede usar: Aa + Ba + C 1 2 d(A , r) = | | 2 2 A + B DISTANCIAS EN EL PLANO Distancia entre dos rectas paralelas Es la longitud del segmento perpendicular a las dos rectas que les une. Esto se reduce a calcular la distancia entre un punto cualquiera de ellas y la otra.