第十三章　期权定价模型

第十三章　期权定价模型 【本章学习要点】本章涉及的重要概念有：期权定价的二叉树模型、资产组合复制定价、风险中性定价、n期二叉树模型、美式期权的定价、布莱克——斯科尔斯微分方程、布莱克——斯科尔斯期权定价公式、维纳过程等。要求理解二叉树模型期权定价的原理；掌握二叉树期权定价公式的推动过程；了解布莱克——斯科尔斯微分方程的总结过程；并能够根据实际条件进行欧式期权的价格计算。

第一节二叉树期权定价模型的推导 一、基本假定二、看涨期权单步二叉树模型三、n期的二叉树模型第二节二叉树期权定价模型的扩展应用一、标的资产价格按比例支付股息二、美式期权的二叉树定价模型第三节布莱克——斯科尔斯期权定价模型一、布莱克——斯科尔斯模型的假设条件二、布莱克——斯科尔斯微分方程三、布莱克——斯科尔斯期权定价公式四、布莱克——斯科尔斯期权定价公式的应用举例第四节　维纳过程与证券价格变化过程一、弱式效率市场假说二、维纳过程三、维纳过程与股票价格的变化过程

第一节二叉树期权定价模型的推导 一、基本假定 • 关于期权定价的模型主要有两种： • 二叉树模型（The Binominal Option Pricing Model, BOPM）； • 布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes）；二叉树模型的主要假定有：最基本的模型为不支持股利的欧式股票看涨期权定价模型；股票市场和期权市场是完全竞争的，市场运行是高效率的，如没有卖空限制，无套利的；股票现货交易与期权合约的交易无交易成本，同时也没有税收；市场参与者可以按照已知的无风险利率无限制地借入和贷出资金，利率在期权有效期内保持不变，不存在信违约风险。

第一节二叉树期权定价模型的推导 一、基本假定图13-1 △t时间内基础资产价格和对应的期权价格的变动

二、看涨期权单步二叉树模型 （一）资产组合复制定价法

二、看涨期权单步二叉树模型 例13-1:设以A股目前价格为100元，假设一个月后标的资产价格可能是125元，也可能是75元，当期市场的无风险收益率为10%，求以A股为标的资产，执行价格为100元，一个月后到期的该欧式看涨期权的价格。解：根据题意， =125, =75, 则一份欧式看涨期权现在的价格为=16.07

二、看涨期权单步二叉树模型 • （二）风险中性定价机制 • 在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论： • 所有可交易股票的期望收益率为无风险利率； • 未来资产的当前现金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。例13-2: 按照风险中性定价机制，我们重新计算例13-1中的看涨和看跌期权现在的价格。

三、n期的二叉树模型

将上述结论推广到n期二叉树模型，有 如果是离散的情况，有，

第二节二叉树期权定价模型的扩展应用 一、标的资产价格按比例支付股息 • 分红派息的方式主要有两种： • 一种是按照股票市场价格的固定比例派发一定股息，在财务上称为“股息实得率”， • 另一种是每股股票派发一定固定数额的股息。 • 若标的股票在未来某一确定时间将支付已知股息率δ（股息与标的资产价格之比），我们只要调整在各个结点上的标的资产价格，就可算出期权价格。调整方法如下： • 如果时刻m△t在除权日之前，则结点处标的资产价格仍为：如果时刻m△t在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：

第二节二叉树期权定价模型的扩展应用 二、美式期权的二叉树定价模型美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的期望价值。这样，美式期权的价格计算与殴式期权的价格计算的路径基本相同，都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持有者可以选择上述两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。例13-3: 已知股票的信息：S0=100美元, u＝1.2，d＝0.8，K=100美元，r＝0.05，n＝3；求解看跌美式期权的价格。

第二节二叉树期权定价模型的扩展应用 二、美式期权的二叉树定价模型

第二节二叉树期权定价模型的扩展应用 二、美式期权的二叉树定价模型向后递推值即刻执行值最大值

第二节二叉树期权定价模型的扩展应用 二、美式期权的二叉树定价模型向后递推值＝即刻执行值＝Max[K－该节点的股价，0] 向后递推值＝即刻执行值＝100－64＝36

第二节二叉树期权定价模型的扩展应用 二、美式期权的二叉树定价模型 0 0 0 2.9001 0 2.9001 8.8044 0 8.8044 8.2026 4 8.2026 17.6305 20 20 31.1191 36 36 图13-6 求解看跌美式期权的二叉树依照上述方法，逐步完成全部向后递推过程，如果图13-4所示，最终可以得到该美式看跌期权的当前价格应当为8.8044美元。

第三节布莱克——斯科尔斯期权定价模型 省略

本章小结：本章讲述了期权有效期内标的资产价格可能遵循的路径，首先阐述了二叉树模型的基本假设，介绍了二叉树模型的两种不同假定下定价模型推导，一种是资产组合复制（无风险套利假定），一种是风险中性假定。然后介绍了布莱克—舒尔斯期权定价模型以及相关的布莱克—舒尔斯微分方程、定价公式等。最后，总结了与连续状态下相关的市场效率假说、维纳过程以及股票价格变化的前提假定。本章的学习目的是使读者了解期权价格的特征，掌握布菜克一斯科尔斯期权定价模型，运用定价方法对现实中的期权进行分析。本章小结：本章讲述了期权有效期内标的资产价格可能遵循的路径，首先阐述了二叉树模型的基本假设，介绍了二叉树模型的两种不同假定下定价模型推导，一种是资产组合复制（无风险套利假定），一种是风险中性假定。然后介绍了布莱克—舒尔斯期权定价模型以及相关的布莱克—舒尔斯微分方程、定价公式等。最后，总结了与连续状态下相关的市场效率假说、维纳过程以及股票价格变化的前提假定。本章的学习目的是使读者了解期权价格的特征，掌握布菜克一斯科尔斯期权定价模型，运用定价方法对现实中的期权进行分析。

思考与练习：1.阐述风险中性定价的假设。2.考虑这样一种情况，在某个欧式期权有效期内，标的资产价格运动可用两步二叉树图来描述。解释为什么用股票和期权构建的头寸在期权的整个有效期内是不可能一直无风险的。3.某股票现价为50元，6个月后价格将变为55元或45元。无风险年利率为10%。执行价格为50元，6个月后到期的欧式看跌期权的价格是多少？4.股票现价为50美元，已知2个月后股价将为53美元或48美元。无风险年利率为10%（按连续复利计）。执行价格为49美元，2个月期的欧式看涨期权的价值为多少？5.某股票现价为100元。有连续两个时间步，单个时间步的步长为6个月，每个单步二叉树预期上涨10%，或下跌10%。无风险年利率为8%。执行价格为100元的一年期欧式看涨期权的价格为多少？6.对于美式看跌期权，已知＝0时，股票的价格为125美元，执行价格定为120美元，到期日为未来第5期末，每期利率为1％，＝1.05，＝0.96，求需提前执行的节点位置。7.假设某种不支付红利股票的市价为50元，无年风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。思考与练习：1.阐述风险中性定价的假设。2.考虑这样一种情况，在某个欧式期权有效期内，标的资产价格运动可用两步二叉树图来描述。解释为什么用股票和期权构建的头寸在期权的整个有效期内是不可能一直无风险的。3.某股票现价为50元，6个月后价格将变为55元或45元。无风险年利率为10%。执行价格为50元，6个月后到期的欧式看跌期权的价格是多少？4.股票现价为50美元，已知2个月后股价将为53美元或48美元。无风险年利率为10%（按连续复利计）。执行价格为49美元，2个月期的欧式看涨期权的价值为多少？5.某股票现价为100元。有连续两个时间步，单个时间步的步长为6个月，每个单步二叉树预期上涨10%，或下跌10%。无风险年利率为8%。执行价格为100元的一年期欧式看涨期权的价格为多少？6.对于美式看跌期权，已知＝0时，股票的价格为125美元，执行价格定为120美元，到期日为未来第5期末，每期利率为1％，＝1.05，＝0.96，求需提前执行的节点位置。7.假设某种不支付红利股票的市价为50元，无年风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。

第十三章 期权定价模型