第三章静态场

第三章静态场 静电场理论静电场的计算恒定电场理论与计算恒定磁场理论似稳电磁场静电场恒定电场静态场恒定场静磁场

方程：▽×E = 0 ▽·D= ρv ∮E·dl= 0 ∮D·dS = Q 本构关系：D=εE D1n－ D2n= ρs en·(D1－ D2)= ρs E1t－ E2t= 0 en ×(E1－ E2)= 0 边值条件： φ2φ1 n n e2——－e1 —— =ρs 场位关系：E=－▽φ 方程： ρv e ▽2φ=－—— φ1 = φ2 边值条件： en 电能：We=∫wedv =∫E 2dv =∫ρφdv ε — 2 1 — 2 1 电能密度：we= εE2/2 2 3.1静电场理论即：dq/dt =0 (v=0) ∴J=H=p=0 一、场二、位三、能(与力﹡) 关于场前面以作了解释，下面对位、能作讨论

因而，在某点a处的电位φa的定义： φa=∫ E·dl ∞ a 两点间的电位差称电压φab：φab= φa－φb =∫ E·dl b a 若按如图示的方向，则有φb＞φa即：φb－φa=∫ ▽φ·dl b a ρv e ▽2φ=－—— E ρv — = e ▽·E=－▽·▽φ =－▽2φ 位方程：整理得：电位 • 电位φ：是一标量,与场强E一样是静电场的一种固有属性。 • ∵▽×E= 0 ∴静电场E是一个梯度场，它的标量位就是电位φ。 ① 比较上两式得：场位关系：E=－▽φ ▽φ φb ② 由场位关系，对场强E求散度： dl φa

En= - φ — n φ2φ1 n n e2——－e1 —— =ρs φ1φ2 n n -e1—— + e2 —— =ρs ③ 求证：φ1 -φ2 = 0 如图所示，在紧靠边界的两边取二点1和2即线段⊿Z， φ12=∫E·dz=∫Endz =Ēn ⊿z 则有：对于边界：⊿z→0 ∴ φ12= 0 整理得：边值条件： ∴φ1 -φ2 = 0 ④ 将场强E分解到法向和切向，如图示： E = En +Et= -( en + et) φ — n φ — t 又∵D1n－ D2n= ρs 则有： en Z,n · · ∴ 1 En τ 2 整理得：边值条件： E Et 证毕

① 因而,在某源点a处的电位能W1的定义: W1=∫ q1E·dl ∞ a 其中，E为所有源在点a处总场强：E= E1 ＋E2 ＋E3＋…＋En W1=W11＋W12＋W13＋…＋W1n Wij表示：qj 产生的电场将作用于 qi，使qi从无穷远处(0电位)移入点a时所具有的能量，称互能。同理 W2=W21＋W22＋W23＋…＋W2n W3=W31＋W32＋W33＋…＋W3n Wii表示：称自能，由带电体内的电荷相互作用产生，原理与互能相同。 ∵ 产生WijWji的力是一对作用力和反作用力∴ Wij=Wji ∵ 这对力做的是同一功 ∴对系统贡献的能W是Wij或Wji 即： W =Wij=Wji=(Wij ＋Wji) /2 · · 2′ · · · 因此，We ≠ (W1＋W2 ＋ …＋Wn ) · · 1′ a 系统总电能We ：We = (W1＋W2 ＋ …＋Wn )/ 2 电位能 • 电位能We：指电场力作功的能力，量值上与功相等。

n i=2 n i=2 qi ——— 4peR1i W1=q1∫ E·dl =q1φa=q1( )=q1∑ =q1∑ φi q2 qn ———＋… ＋———4peR12 4peR1n ∞ a n i=2 n i=1 n i=1 n i=1 1 2 1 2 We =－(q1∑ φi＋ q2∑ φi＋…＋ qn∑ φi )=∑－qi φi We=∫wedv =∫ E 2dv =∫ ρφdv ε — 2 1 — 2 · · 2′ · =∫ wedv =∫ E2dv ε — 2 · · v · v · 1′ a v v v ② 系统总电能We ：We = (W1＋W2 ＋ …＋Wn )/ 2 当源为点电荷时： (Wii = 0∵点电荷为最基本点，无互作用） ⑴ φi ——除qi 外，所有其它点电荷在点i 处产生的总电位。当源为体电荷时：(q→⊿q = ρ⊿v i→∞ Wii ≠0 ) ∞ i=1 We = lim ∑－ρ(r i)⊿vφi(r) = ∫ ρφdv 1 2 对式⑴求积分： 1 － 2 ⊿v′→0 v v 经数学推导： v→∞

We=∫wedv =∫E 2dv =∫ρφdv ε — 2 1 — 2 n i=1 n j=1 n i=1 n i=1 n j=1 qiqj ———— 4πεrij We =∑qi φi = ∑ ∑qiqj aij 1 － 2 1 － 2 1 － 2 = ∑ ∑ 系统总电能 We：We = (W1＋W2 ＋ ……＋Wn )/ 2 当源为体电荷时： ③ 导体,设：导体上的电量为q 当体电荷为单个导体时： ∵ 导体是一等位体， ∴在导体上电位φii是一常数。 We=∫ρφiidv =φii∫ρdv =φiiq 故： 1 — 2 1 — 2 1 — 2 自能当体电荷为n个导体时： n i=1 n i=1 n j=1 We =∑qi φi = ∑ ∑qiqj aij 1 － 2 1 － 2 φi ——所有体电荷(包括qi在内)在点i 处产生的总电位。当体电荷为n个球导体时：当 rij 》r

+q E d 无例1：求平板电容器的总电能。解：设平板面积为s，间距为d(s》d)，如图所示。 ∵ s》d，若再略去边缘效应，可认为板间的场强均匀，场强方向与平板面垂直，如图示。方法一：由总电能: We=∫ E2dv =E2∫dv =E2 sd ε — 2 ε — 2 ε — 2 v vr =q2 d —— 2εs 由高斯定理:q =∮εE·ds= εEs εs — 2d =u2 ∵∫E·dl= u ∴E = u/d -q ∵q = εsE= εsu/d = cu 1 — 2 = cu2 =qu 1 — 2 方法二： n i=1 We =∑qi φ = q φ+- qφ- =qu 1 － 2 1 － 2 1 － 2 1 － 2 讨论：φ+ (或φ- )有无自电位

解：∵是导体球系统 ,且d》a和b ∴可由应用以下公式： q1q1 ———— 4πεa q1q2 ———— 4πεd q2q2 ———— 4πεb q2q1 ———— 4πεd 由题意： We = 1 －( + + + ) 2 q12 ——— a q22 ——— b 2q1q2 ———— d ∴ 1 = ——( + + ) 8πε n i=1 n j=1 n i=1 n i=1 n j=1 qiqj ———— 4πεrij We =∑qi φi = ∑ ∑qiqj aij 1 － 2 1 － 2 1 － 2 = ∑ ∑ 解毕例2：设有两带电导体球，球A半径为a电量为q1、球B半径为b电量为q2、两球间距为d、d》a与b，如图所示。求两带电导体球系统的总电能。 a b d 35

3.2 静电场分析 媒质大体可分为导体和介质两大类导体：导体内： E=0，即导体是一等位体，无电荷分布。静电平衡 0+ E= E+≠0方向与导体面垂直，仍等位是一等位面，有电荷分布。导体面：介质：有极分子：不重合转向无极分子：重合位移正负电荷中心极化效果:产生附加电场E′ D=εE = εoεrE = εo(1+xe)E = εoE + εoxeE = εoE + P ▽·D= εo▽·E + ▽·P= εo▽·E － ρvp = ρv ▽·P=－ρvp en ·P = ρsp εo▽·E =ρv + ρvp 无论是导体还是介质，在外电场的感应下表面形成电荷分布，它对内对外都可能发生作用，即改变原电场的分布。

例1：半径为a、带电量为q的导体球，其外套有外半径为b、例1：半径为a、带电量为q的导体球，其外套有外半径为b、介电常数为的介质球壳，如图所示，求空间任意一点的D和E，介质中的极化电荷体密度ρvp和介质球壳表面的极化电荷面密度ρsp 。解：选球坐标系；在球a外作一球面，由高斯定理: ∵球对称性，同一半径面上的场强大小相等，方向为er ∴ ∮D·dS =∮D·dS= D·∮dS= 4πr2D=q r≥a ∮D·dS =q 故：D= erq/4πr2 r≥a ； D=0 r＜a 又∵ D=εE 则： E = D/ε 故：E=erq/4πεr2 b＞r≥a ; E=erq/4πεor2 r≥b； E=0 r＜a 又∵▽·P = ▽·D－εo▽·E = ▽·D (1－εo/ε)=－ρvp b 故： ρvp =－ρv (1－εo/ε) 又∵ρsp=en ·P = en ·D(1－εo/ε)  a q －D(1－εo/ε) =－q(1－εo/ε)/4πa2 故：ρsp= D(1－εo/ε) =q(1－εo/ε)/4πb2

ρ dv′ 4pe r- r′ φ=∫————— v 高斯法：Φd =∮D·dS = Qo 求和法(点电荷):E= E1+ E2+… + En =∑————Rn 间接法：E=－▽φ 积分法(体电荷) ： qn 4peRn qn 4pe(Rn)3 ∞ n=1 ∞ n=1 求E ρ dv′ 4peR3 ρ dv ( r- r′) 4pe r- r′3 ′ q1 E=∫———R =∫—————— v v ρv e 位方程：▽2φ=－—— 求和法(点电荷)：积分法(体电荷)：间接法: P φ= φ1+φ2+…+φn =∑——— R 求φ S r r ' S qn ∞ p O φ=∫ E·dl 3.3静电场的计算(分布型，除位方程外) ① 已知电荷的分布ρ求电场E和电位φ Rn= r- rn′ 当带电体为无穷时，积分上限可另定。

3·3 静电场的计算 已知电场E 电位φ 求电荷体密度ρv ▽·D= ρv φ2φ1 n n e2——－e1 —— =ρs D1n－ D2n= ρs 电荷面密度ρs en·(D1－ D2)=ρs ρv e ▽2φ=－—— en z E1 H1t－ H2t= Js θ1 1 en×(H1－ H2 )= Js ⊿z × × × ⊿l 2 Io θ2 E2 ② 已知电场E和电位φ求电荷的分布ρ 附加：已知磁场H求电流面密度Js

作业 • P121～127 • 5、8、13、16、21、23、24、25、 30、34、37、39

力* 作用在导体上的电场力作用在电介质上的电场力 ③电场力密度f : f =dF/dV′=ρE dF = dq E F =qE

方程：▽×E= 0 ▽·D= ρv ∮E·dl= 0 ∮D·dS = Q 本构关系：D=εE，Jc=σE D1n－ D2n= ρs en·(D1－ D2)= ρs E1t－ E2t= 0 en ×(E1－ E2)= 0 边值条件： φ2φ1 n n e2——－e1 —— =ρs 场位关系：E=－▽φ 方程： ρv e ▽2φ=－—— φ1 = φ2 边值条件： en 电能：We=∫wedv =∫E 2dv =∫ρφdv ε — 2 1 — 2 1 电能密度：we= εE2/2 2 3.4恒定电场理论即：dq/dt =I (常数) 一、场二、位三、能因而：B、H不随时间变化可见，恒定电场仍然是一梯度场

3.3恒定电场理论即：dq/dt =I (常数) φ2φ1 n n e2——－e1 —— =ρs 场位关系：E=－▽φ 方程： ρv e ▽2φ=－—— φ1 = φ2 边值条件： en 电能：We=∫wedv =∫E 2dv =∫ρφdv ε — 2 1 — 2 1 电能密度：we= εE2/2 2 一、场二、位三、能方程：▽×E= 0 ▽·D= ρv ∮E·dl= 0 ∮D·dS = Q 本构关系：D=εE，Jc=σE D1n－ D2n= ρs en·(D1－ D2)= ρs E1t－ E2t= 0 en ×(E1－ E2)= 0 边值条件：可见，恒定电场仍然是一梯度场

方程：▽×H= Jo ▽·B= 0 ∮H·dl= Io ∮B·dS = 0 本构关系：B=μH，Jc=σE B1n－ B2n= 0en·(B1－ B2)= 0 H1t－ H2t= Jsen ×(H1－ H2)=Jc 边值条件： ▽2A=－μJ en 磁能：Wm=∫wmdv=∫H 2dv=∫A·Jodv μ — 2 1 — 2 1 磁能密度：we= μH2/2 2 3.5恒定磁场理论即：dq/dt =I (常数) 一、场二、位三、能因而：B、H不随时间变化方程：场位关系：B=▽×A A1 = A2 1 — μ1 (▽×A1 )t－ (▽×A2 )t= Js 边值条件： 1 — μ2 可见，恒定磁场是一静旋度场

▽2A=－μJ en 磁能：Wm=∫wmdv=∫H 2dv=∫A·Jodv μ — 2 1 — 2 1 磁能密度：we= μH2/2 2 位方程：场位关系：B=▽×A A1 = A2 1 — μ1 (▽×A1 )t－ (▽×A2 )t= Js 边值条件： 1 — μ2 可见，恒定磁场是一静旋度场

真空中，N个点电荷： 电荷量：电荷位置：式中: 三、点电荷系统和分布电荷产生的电场 1、多点电荷系统产生的电场由矢量叠加原理：

设体电荷密度为 ，图中dV在P点产生的电场为：则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为： 2、分布电荷系统产生的电场，矢量积分公式 a)体分布电荷系统 • 处理思路： 1) 无限细分区域 2）考查每个区域 3）矢量叠加原理

类似地，面电荷在空间某点处产生的电场强度 类似地，线电荷在空间某点处产生的电场强度 b)面分布电荷系统 c)线分布电荷系统

1）密度为 的无限长线电荷在空间中产生电场强度 2）密度为的无限大均匀带电面外任意一点电场强度为：讨论：四、例题例题一五、作业

解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：式中：例题一求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。分析可知： • 电场方向沿半径方向： • 电场大小只与场点距离球心的距离相关。

说明：与位于球心的点电荷Q在空间中产生的电场等效。说明：与位于球心的点电荷Q在空间中产生的电场等效。

安培力定律内容：真空中，两电流回路C1,C2，载流分别为I1,I2，则：安培力定律内容：真空中，两电流回路C1,C2，载流分别为I1,I2，则： C1上电流元对C2上电流元磁场力为：式中：为真空中介电常数。第三节安培力定律磁感应强度一、安培力定律 • 安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。

二、磁感应强度矢量 • 磁感应强度矢量 :描述空间磁场分布。 • 在磁场空间中，若电荷q0以速度运动：说明：的方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。 • 磁场：在电流周围形成的一种物质。 • 磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产生力的作用，称为磁场力。

则，电流元在磁场中受到的磁场力为： 若由电流元产生，则由安培力定律可知，电流元产生的磁感应强度为：毕奥－萨伐尔定律说明：、、三者满足右手螺旋关系。

真空中任意电流回路产生的磁感应强度 三、磁感应强度矢量积分公式 1、体电流

2、面电流 3、载流为I的无限长线电流在空间中产生磁场四、例题例题一

分析：在轴线上，磁场方向沿z向。 电流分布呈轴对称。在电流环上任取电流元，令其坐标位置矢量为。易知：例题一求半径为a的电流环在其轴线上产生的磁场。解：建立如图柱面坐标系。

如图：在垂直于电流方向取线元 。很明显，在时间内，距离内的电荷都将流过。由电流定义，通过的电流为：由电流密度定义，有：

流过任意的电流 而所以流过曲线l的电流为：

第三章 静态场