第五章 相似理论与量纲分析

1. 第五章　相似理论与量纲分析 • 流体动力相似 • 相似准则 • 量纲分析法

2. 流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的作用。流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的作用。

3. 流体动力相似 为使模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。 具体来说，两相似流动应几何相似 、运动相似、 动力相似。

4. 一 几何相似（空间相似） 定义： 两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。 引入尺度比例系数 进而，面积比例系数 体积比例系数 模型流动用下标m表示 原型流动用下标p表示

5. 二 运动相似（时间相似） 定义：两流动的对应点上的流体速度矢成同一比例。 由于 因此 运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似 只需确定时间比例系数 就可以了。运动相似也就被 称之为时间相似。 引入速度比例系数

6. 运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。 如：kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kq=kl3kt-1

7. 三 动力相似（受力相似） 定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。引入力比例系数 也可写成 力学物理量的比例系数可以表示为密度、 尺度、速度比例系数的不同组合形式，如： 力矩M 压强p 功率N 动力粘度

8. 综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者在时空相似的条件下受力相似。综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者在时空相似的条件下受力相似。 动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准则都相等。

9. 相似准则 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程在x方向上的分量形式: 所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有如下关系式： xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt m=pkm=pkpm=ppkp fm=fpkf (1) (2)

10. 将上述关系式带进方程（1）中，这时的方程应该和方程（2）相同，因此得到（3）将上述关系式带进方程（1）中，这时的方程应该和方程（2）相同，因此得到（3） 从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、质量力、压力和摩擦力，（3）式表示模型流动和原型流动的力多边形相似。 用（3）中的位变惯性力项除全式，得到 （4）式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相似准则 （4）

11. 1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v2 表示压力和惯性力的比值 4 Renolds 相似准数 Re=vl/= vl/ 表示惯性力和粘性力之比 5 Mach 相似准数 Ma=v/c 表示弹性力和惯性力之比，c为声速，反映了流动的压缩程度

12. 综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着各比例系数均等于1，这实际上意味着模型流动和原型流动各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是主要动力相似。综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着各比例系数均等于1，这实际上意味着模型流动和原型流动各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是主要动力相似。

13. 要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用的流动，选用Froude准数为主要相似准数（决定性相似准数），满足Frm=Frp，此外要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用的流动，选用Froude准数为主要相似准数（决定性相似准数），满足Frm=Frp，此外 管道流动，流体机械中的流动 ：Rem=Rep，Re数为决定性相似准数 非定常流动：Srm=Srp，Sr数为决定性相似准数 可压缩流动：Mam=Map，Ma数为决定性相似准数 总之，根据流动的性质来选取决定性相似准数

14. 决定性相似准数的定义： 对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否 满足了主要动力相似。 只要满足了决定性相似准数相等后，就满足 了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。 （注意：对于Eu准数而言，在其他相似准数作为决定性相似准数满足相等时， Eu准数同时可以满足）

15. 例1 有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶，设计时速v=108km/h，拟 通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气 阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞(kl=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？ 解：首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选取Re作为 决定性相似准数，Rem=Rep，即kvkl/k=1， 再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互约束 关系，这里k=1，所以 kv=kl-1，由于kl=lm/lp=2/3， 那么 ， kv=vm/vp=1/kl=3/2 最后得到风洞实验段内的气流速度应该是 vm=vpkv=108×3/2=162km/h=45m/s

16. 例2 在例1中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为45m/s时，空气阻力为1000N，问：此轿车以108km/h的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？ 解：在设计模型时，定下 k=1 kl=2/3 kv=3/2 在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数k=1，那么力比例系数 kF= k kl2 kv2=1×(2/3)2×(3/2)2=1 因此，该轿车在公路上以108km/h的速度行驶所遇到的空气阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N

17. 量纲分析法 一 量纲分析的基本概念 1 量纲 是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽度、高 度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位 来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲 （长度量纲），用L表示。 2 基本量纲 导出量纲 基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有 三个基本量纲：长度量纲L 时间量纲T 质量量纲M 导出量纲由基本量纲组合表示，如 加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2 任何物理量B的量纲可写成 [B]=MLT

18. 3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本 量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种 关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本 量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内， 这就是选取基本量的原则。 如、v 、l可以构成一组基本量，包含了L 、M 、T 这三个基本量纲，而a 、v 、l就不能构成基本量，因为不 包含基本量纲M

19. 4 无量纲量 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的相似准数

20. 二 量纲和谐性原理 量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲 齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物 理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致 的、齐次的。 一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样， 以能量方程为例 方程左边各项的量纲从左到右依次为:

21. 三 布金汉（Buckingham）定理 对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为 函数关系， f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为 有(n-m)=i个无量纲量的函数关系式 F(1,2, … n-m)=0 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程 中的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或 物理现象的内在关系。

22. 例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个， m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关 系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示

23. 1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4 将上述表达式写成量纲形式 [1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1） [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0 （2） [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0 （3） [4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0 （4） 求解方程（1） M: 1=0 T: 1=0 L: -3 1+ 1+1+1=0 → 1= -1 所以 1=l/d 求解方程（2） M: 2=0 T: 2=0 L: 1-3 2+ 2+2=0 → 2= -1 所以 2=  /d

24. 求解方程（3） M: 1+3=0 → 3= -1 T: -1-3=0 → 3= -1 L: -1-3 3+ 3+3=0 → 3= -1 所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1 T: -2-4=0 → 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为 F(l/d,  /d, 1/Re, p / v2)=0

25. 至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式 可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么 p/v2=F1(l/d,  /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re) p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re) 令=F2( /d, 1/Re) p/= (l/d)(v2/2g) 这就是达西公式， 为沿程阻力系数，表示了等直圆管 中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比， 与管径成反比。

26. 从该例题看出，利用定理，可以在仅知与物理过从该例题看出，利用定理，可以在仅知与物理过 程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的 基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带 有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分 析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此， 量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。