Matematika Diskrit

1. MatematikaDiskrit TIF4216

2. PencacahanCounting

3. Justanintermezzo Pengelola Pantai Hanakapiai, Hawaii memperingatkan pengunjung agar tidak mendekati kawasan air, dan menegaskan peringatan tersebut dengan membuat menyusun tally-marks yang berfungsi menghitung secara diskrit jumlah korban yang nekat

4. Macam Pencacahan TallyMarks

5. Kombinatorial • Cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek • Jumlah cara/solusi yang diperoleh dari himpunannya • Contoh: • Plat mobil di negara X teridiri dari 5 angka dan diikuti 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat di buat. • Password sebuah sistem komputer panjang nya 6 – 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf dan atau angka. Tidak case sensitive. Berapa banyak password yang dapat dibuat? Matematika Komputasi

6. Kombinatorial • Kombinatorial didasarkan pada hasil yang di peroleh dari percobaan: • Contoh: • Melempar dadu Enam hasil percobaan yang mungkin untuk pelemparan dadu adalah muka dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. • Melempar uang koin uang Rp.100 Hasil percobaan melempar koin 100 ada dua kemungkinan: muka koin gambar rumah gadang atau koin gambar wayang. Matematika Komputasi

7. Case abcdef 123789 aaaade 34qwer a123fr ............ Password with 6 character, consist of letter and number COMBINATION

8. Kombinatorial cabangmatematikauntukmenghitungjumlahpenyusunanobjek-objektanpaharusmengenumerasisemuakemungkinansusunannya

9. KaidahDasarMenghitung Rule of Sum (Kaidah Penjumlahan) Misal: Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil maka: Perc. 1atauPerc. 2: p+qhasil • Rule of Product (Kaidah Perkalian) Misal: Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil maka: Perc. 1danPerc. 2: pxqhasil

10. Latihan 1 Dari seluruh mahasiswa Tif angkatan 2010, terdapat 250 laki2 dan 150 perempuan. Dengan tanpa memperhitungkan gender, berapa cara memilih satu ketua himpunan? Solusi: 250 + 150 = 400 cara

11. Latihan 2 Dari seluruh mahasiswa Tif angkatan 2010, terdapat 300 peminat jaringan dan 100 peminat vision. Dari setiap bidang minat akan dipilih 1 wakil untuk ikut seminar, berapa cara memilih dua orang peserta seminar? Solusi: 300 x 100 = 30.000 cara

12. Perluasan kaidah menghitung • Dapat mengandung lebih dari dua percobaan. • Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1, p2, p3,...pn.  hasil percobaan tidak bergantung pada percobaan sebelumnya: • Rule of sum • p1 x p2 x p3 . . . x pn • Hal. 231 Rinaldi Munir • Rule of product • P1 + p2 + p3 . . . + p4 • Hal. 232 Rinaldi Munir Matematika Komputasi

13. Perluasan KaidahDasarMenghitung Ada npercobaan, masing-masing denganpihasil Rule of Sum p1+p2+ … +pnhasil • Rule of Product p1xp2x … xpnhasil

14. Latihan 3 Dari seluruh pemain Arema yang siap bertanding, terdapat 1 kiper, 3 bek, 4 gelandang dan 3 penyerang. Dengan tanpa memperhitungkan posisinya, berapa cara memilih satu kapten tim? Solusi: 1 + 3 + 4 + 3 = 11 cara

15. Latihan 4 Pemain Arema yang menuntut pembayaran gaji mengirim 4 perwakilan menghadap manajemen. Di antara 3 kiper, 6 bek, 8 gelandang dan 6 penyerang, ada berapa cara mengirimkan wakil, bila tiap posisi diwakili satu orang? Solusi: 3 x 6 x 8 x 6 = 864 cara

16. Soal 2 Passwordpada sebuah sistemkomputerpanjangnyaenamsampaidelapankarakter. Tiapkarakterbolehberupahurufatauangka; TIDAK case sensitive. Berapa banyak kombinasi password yang dapatdibuat?

17. Pembahasan Soal 1 8 digit 2 kemungkinan: 0 / 1 Terdapat 1 bytestringyang berupa bilangan biner. Berapa banyak string yang dapat dibentuk? Solusi: 2x2x2x2x2x2x2x2 = 28= 256 cara

18. PrinsipInklusiEksklusi • Kaidah Perkalian & Penjumlahan • dalam Operasi Himpunan Kasus • Berapabanyakkombinasi susunan byte yang dimulaidengan ‘11’ atauberakhirdengan ‘11’?

19. INGAT ! Prinsip Divide & Conquer A = himpunanbyte yang dimulaidengan ‘11’, B = himpunanbyte yang diakhiridengan ‘11’ |A| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 |B| = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 64 ? |AB| = 128

20. B A 11****** ******11 11****** ******11 ................ ................ 11****11 11****** ******11 11****** ******11 |AB| = |A| + |B| - |AB|

21. |AB| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 16 |AB| = |A| + |B| - |AB| |AB| = 64 + 64 - 16 = 112

22. P H P igeon- ole rinciple

23. 9 holes 10 pigeons 2 3 1 Bila terdapatnobyek yang diletakkan padambuah tempat, dengan nilain > m, maka: Paling tidak, satu tempat berisi lebih dari 1 obyek 1 4 2 3 5 6 4 7 5 6 8 9 7 10 8 9

24. Pigeon-holeprinciple Dirichlet drawer principle 1834 GustavLejeuneDirichlet (1805 – 1859)

25. Case Di antara tiga orang, maka pasti ada dua orang yang berjenis kelamin sama Dari 32 orang, pasti ada 2 orang yang memiliki tanggal lahir yang sama. Bila sebuah tim sepakbola menang 12-0, pasti ada pemain yang mencetak lebih dari satu gol Jelaskan!

26. Permutasi Bentuk khusus Rule of Product Jumlahurutanberbedadaripengaturan obyek-obyek Terdapat tiga buah bola: Merah, Biru dan Hijau Dan tiga buah wadah berurutan: Berapabanyak urutanberbeda yang mungkindibuatdaripenempatan bola kedalamwadah-wadahtersebut? 1 2 3

27. 1 2 3

28. 3 x 2 x 1 =3!=6 1 2 3 1 2 3 4 5 6

29. Permutasi n obyek P(n, n) = n x (n-1) x (n-2) x ... 2 x 1 P(n, n) = n ! Permutasi r dari n elemen P(n, r) = n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1)) P(n, r) = n ! (n-r) !

30. Kombinasi Jumlahpengaturan obyek-obyek tanpa memperhitungkan urutan Kombinasi r dari n elemen C(n, r) = C(n, r) = = n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1)) r ! n! r ! (n- r)! P(n,r) r !

31. Soal 3 • Di antara10 orangmahasiswaTeknikInformatikaAngkatan 2010, berapabanyakcaramembentuksebuahperwakilanberanggotakan5 orangsedemikiansehingga: • mahasiswabernamaAselalutermasukdidalamnya; • mahasiswabernamaAtidaktermasukdidalamnya; • mahasiswabernamaAselalutermasukdidalamnya, tetapiBtidak; • mahasiswabernamaBselalutermasukdidalamnya, tetapiAtidak; • mahasiswabernamaAdanBtermasukdidalamnya; • setidaknyasalahsatudarimahasiswa yang bernamaAatauBtermasukdidalamnya.

32. Terimakaish

33. Kombinatioral- Permutasi- Kombinasi

34. Permutasi • Mengabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan • Permutasi dari n unsur yang berbeda x1, x2, …, xn adalah pengurutan dari n unsur tersebut. • Contoh: ABC; Tentukan permutasi dari tiga huruf yang berbeda! Permutasi: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA # 6 permutasi huruf ABC

35. Permutasi • Permutasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2, …, xnadalahpengurutandari sub himpunandengan r anggotadarihimpunan {x1, x2, …, xn} • Dinotasikan P(n,r) • Contoh: Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, ABCDE! Banyaknya permutasi-3 dari 5 : 60

36. Permutasi • Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda: • P(n,r) = n!/(n-r)! • Contoh: Permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, ABDCE P(5,3) = 5!/(5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60

37. Kombinasi • Menggabungkanbeberapaobjekdarisuatugruptanpamemperhatikanurutan • Kombinasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2, …, xnadalahseleksitakterurut r anggotadarihimpunan {x1, x2, …, xn} • Banyaknyakombinasi-r dari n unsurdinotasikan C(n,r) • Contoh: Kombinasi-3 daridarihuruf ABCDE adalah: Kombinasi-3 dari 5 huruf : 10

38. Kombinasi • Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalah C(n,r) = n!/(n-r)!.r! • Contoh: Kombinasi-3 dari 5 huruf berbeda, ABCDE adalah C(5-3) = 5!/(5-3)!.3! = 5!/2!.3! = 5 × 4/2 = 10

39. Kombinasi • Contoh: Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 mahasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi? • Jawab: Pertama: memilih 2 mahasiswa dari 5 mahasiswa C(5,2) = 10 Kedua: memilih 3 mahasiswi dari 6 mahasiswi C(6,3) = 20 Sehingga terdapat 10 × 20 = 200 cara

40. Terimakasih