武进区礼嘉中学数学组：吴志凌

椭圆的标准方程 武进区礼嘉中学数学组：吴志凌

椭圆的定义？焦点？焦距？ 复习回顾平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数 ( 大于F1F2 )的点的轨迹——椭圆两个定点F1，F2——椭圆的焦点两焦点间的距离——椭圆的焦距

汽车贮油罐的横截面的 外轮廓线的形状像椭圆．地球绕太阳运动的轨迹像椭圆．它们是椭圆？

将一个圆进行均匀压缩变形后，所得的图形也像椭圆． 它是椭圆吗？

问题1：它们是不是数学概念上 的椭圆？怎样来检验所得的曲线是不是椭圆？

问题2：如何建立椭圆的方程？

y x 以圆心O为原点，建立直角坐标系设圆上任意一点P(x，y) r 两边平方，得 O 坐标法 1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程

椭圆方程的建立： 步骤1：建立直角坐标系步骤2：设动点坐标步骤3：列等式步骤4：代入坐标步骤5：化简方程

P F1 F2 设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点 P到F1，F2的距离的和为2a(2a>2c)．

y P F1 O F2 x 步骤1：建立直角坐标系以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．

即：． 步骤2：设动点坐标设椭圆上任意一点P的坐标为(x，y) ，步骤3：列出等式根据椭圆定义知：PF1＋PF2＝2a，步骤4：代入坐标

移项得：， 两边平方得：，整理得：．步骤5：化简方程两边再平方得： a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．

因为a2(a2－c2)≠0，所以两边同除以a2(a2－c2)得：因为a2(a2－c2)≠0，所以两边同除以a2(a2－c2)得：，又因为a2－c2＞0，所以可设a2－c2＝ b2(b＞0)，于是得：．步骤5：化简方程

(a>b>0) (a>b>0) 如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？

椭圆的焦点位置可由方程中x2与 y2的分母的大小来确定，焦点在分母大的项所对应的坐标轴上．

练习1 1．已知椭圆的方程为，则a=_____，b=_______，c =_______，焦点坐标为___________________，焦距等________．

练习2 2．已知椭圆的方程为，则a=_____，b =_____， c=_____，焦点坐标为__________________，焦距等__________．

例1、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4 m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3 m，求这个椭圆的标准方程 y P x F1 F2 O 例题讲解解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此椭圆的标准方程为

例2、已知椭圆的焦点为F1(0，－6)， F2(0，6)，且椭圆过点P(2，5)，求椭圆的标准方程．

1、方程建立的过程： 建立直角坐标系设坐标列等式代坐标化简方程回顾

2、根据已知条件求椭圆的标准方程： (1)确定焦点所在的位置，选择标准方程的形式； (2)求解a，b的值，写出椭圆的标准方程．

y y F P P 2 o x o x F F 1 2 F 1 3、两种标准方程的比较图形定义 {P|PF1+PF2=2a,2a>F1F2} 方程 F(±c，0) F(0，±c) 焦点 a,b,c 的关系

1.推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程； 2.课本 P32----习题2．2(1) 第1题，第2题．课后作业

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