打好基础，适度创新 --- 兼谈数学的欣赏

1. 打好基础，适度创新--- 兼谈数学的欣赏 华东师范大学数学系 张奠宙 2008. 9. 宁波

2. 数学新闻 • 2008年3月13日， • 美国教育部长 玛格丽特·斯百林（Margaret Spellings）在新闻发布会上宣告， 美国总统布什委任的“国家数学咨询小组” （National Mathematics Advisory Panel）的报告今天正式发表。

3. 美国报告的标题：为了成功打好基础 Foundations for SuccessNational Mathematics Advisory PanelFinal Report, March 2008

4. 关键提要：强调代数的重要性 • 本报告向总统提供数学教学的建议， 一个特殊的焦点是学生在“代数”上的准备与学习。

5. 小组报告强调 代数学习的重要性。 • 早期发展有关算术事实的快速回忆，并在中学继续掌握分数的运算。在这些坚固的基础之上，进一步要求学生为高中或稍早些时候的严格的代数课程作好准备。 • 小组报告的研究表明， 如果学生能够很好地掌握代数， 那么他们就能在大学里获得成功， 并在21世纪全球经济发展中得到较好的就业机会。如果我们希望填平穷人和少数族裔学生与其同龄人之间的鸿沟， 那么我们必须加强学习代数以及其他严谨的数学课程。

6. 报告指出，不在“学生中心”和“教师主导“之间偏向哪一方， • 要尊重教师的作用， 尊重他们在决定如何教数学概念何技能时所处的关键地位。 • 反复强调基础：数学基本知识和基本技能的掌握。 • 鼓励学生努力学习，而不是简单地凭兴趣和快乐

7. 美国教师质量委员会（NCTQ） • 6月26日宣布报告：“没有公分母” • 美国小学数学教师质量不如外国同行 • 原因很多， 一个主要问题是不能懂得他们所要教的数学 • 数学课程没有“公分母”

8. 任重而道远 • 当美国开始纠正自己的缺点， 大踏步改进数学教育的时候， 我们也应该摆脱应试教育的羁绊， 防止重重应试压力下的空转，在创新教育和素质教育的大道上迈进。美国优秀学生的数学能力， 远超我国学生的应试能力。尊重和发扬优良传统， 吸收和消化国外的成功经验， 是我们不可忽视的两个方面。

9. 正视差距 • 我国数学优秀学生与世界的差距在拉大。 • 应试教育拖累了优秀学生的成长。 • 国外顶尖高中生学习什么？ 微积分， 线性代数，微分方程， 量子力学，分子生物学。

10. 俄国数学物理学校《现代几何》大纲举例 • 第7章 曲面§31 曲面上的几何 • 曲面的概念 • 双面曲面和单面曲面 • 曲面的内部几何 • §32 曲面的面积 • 曲面面积的概念 • 外切多面体和凸曲面的面积定义 • 球面积 • 部分球面积 • 圆锥曲面和圆柱曲面的面积 • §32的补充 曲面面积的又一个定义

11. 第10章 现代几何学与相对论 • §46 现代几何学 • 现实空间的可能几何学 • 多维空间， 拓扑学 ，几何学原理 • 向量空间 • 现代几何学的根本区别 几何学与现实 • §47 相对论与几何学 • 相对论的产生 • 相对论的公理 洛伦茨变换 时间的相对性 世界的几何学 • 伪欧氏空间， 补充 ， 一般相对论的概念

12. 2006年费尔兹数学奖章颁布 • 费尔兹（1863-1932） • 费尔兹奖章常被称为“数学诺贝尔奖”，其荣誉与诺贝尔奖相当。 • 1983年以前的费尔兹奖章获得者每人有1500加元奖金1990年，每位获奖者可以得到15 000加元奖金。 2006年的菲尔兹奖获得者

13. 欧克恩科夫（Andrei Okounkov)) • 欧克恩科夫1969年出生于前苏联莫斯科，1995年获莫斯科国立大学博士学位；他曾在俄罗斯科学院、美国普林斯顿高级研究所、芝加哥大学和加利福尼亚大学贝克莱分校等处任职，目前是美国普林斯顿大学的数学教授。

14. 拒绝领奖佩雷尔曼( Grigori Perelman) • 佩雷尔曼1966年6月13日出生于 前苏联列宁格勒（现已恢复旧名 圣彼得堡）的一个犹太人家庭； 1982年参加中学生国际数学奥林 匹克竞赛，以满分获得金牌； 随即进入列宁格勒国立大学学习 几何，获博士学位在著名的 斯捷克洛夫数学研究所工作， 期间曾赴美国访学。 “如果我的证明是正确的，别种方式的承认是不必要的。”

15. 陶哲轩 （Terence Tao) • 1975年出生于澳大利亚阿德莱德，父母是香港移民。2岁就识字，7岁自习微积分； • 11岁起连续3年参加中学生国际数学奥林匹克竞赛，接连获铜奖、银奖和金奖； • 15岁大学毕业， • 21岁获普林斯顿大学数学博士学位 • 目前在美国加利福尼亚大学 • 洛杉矶分校任数学教授。

16. 沃纳(WERNER Wendelin ) • 沃纳1968年出生于德国，1977年加入法国籍，1993年获法国第六大学博士学位，1997年起任巴黎第十一大学数学教授。

17. 启示 • 数学英才何处寻？高考减负磨人平； 丘陵绵延风景好，不见奇峰高入云。 • 理想与功利 • 英才与减负 • 高考状元和科学理想 • 俄罗斯的数学物理学校。中国少年体育学校 • 天才班与科举意识。 • 基础与发展

18. 几代数学教师 1919-1949 第一代 1949-1979 第二代 1980-2000 第三代 2001- 2019 第四代

19. 第一代：模仿（1919-1949） • 贫弱的国家，数学教育全盘学习英美。 • 平面几何，方程，三角恒等式为主线 • 全采用讲授法。 • 没有考试压力。 穿长衫的诲人不倦的学者， 以解平面几何难题，解析几何的心脏线、蚌线，三角恒等变换为最高境界。 • 出现陈省身，华罗庚，杨振宁、李政道、钱学森这样的大数学家、科学家。

20. 第二代：严谨（1949-1979) • 解放后学习苏联，使用苏联教材； • 重视概念，演绎推理，严谨，形式化； • 讲授法，谈话法，反对满堂灌； • 很少考试压力，不让一个阶级兄弟掉队 • 穿中山装的，一丝不苟的长者，以“讲深讲透”，打好双基为特征。 • 培养了新中国的一代知识分子，如王选，陆家羲等；

21. 第三代：解题（1980-2000） • 拨乱反正，高考升温 • 解题的一代。奥赛难题呈现。 • 数学思想方法（实为解题方法） • 西方数学教育理念引进：问题解决，数学现实，再创造等。 • 经济发展与高考压力与日俱增。 • 穿茄克衫日夜奋斗解题的形象。 • 培育了改革开放以来的一代年轻知识分子。

22. 第四代：改革（2001-2019） • 全球化的信息时代， 数学从社会的幕后走到台前。 • 百年一遇的数学课程改革启动； • 高考压力与改革诉求并存。考验这一代数学教师的 智慧。 • 以笔挺的西装到国外考察，建设有中国特色的数学教育学派。

23. 教育理念 • 为了国家未来的竞争，青少年的成长，需要提高民族创新能力； • 教育上的自主、探究、合作， 需要大力提倡。 • 但是， 中国的数学教育基本上是好的。不象计划经济模式那样需要彻底抛弃。 • 考试保证了基础扎实，考试的八股化会抑制学生的创新精神。

24. 第四代老师的历史任务 • 适应社会需要，寻求升学教育和素质教育的结合点； • 保持理性的改革理念，不为“考试八股”唱赞歌。 • 总结适合中国国情的数学教育理论，打好基础，力求创新。不要走极端。 • 在2019年，五四运动100周年时，以具有中国特色的数学教育走向世界。

25. 一则寓言 • 非洲土著居民， 居住在茅草 屋内。 每天烧柴照明，一直相安无事。 • 一天， 某文明人士， 说我给你们带来光明， 用电灯。 这当然是好事。 • 一年以后， 茅草房轰然倒塌。 • 原因：烧柴有烟， 驱赶昆虫。 用了电灯， 昆虫繁殖。房梁、茅草蛀坏。 • 我们在引进“先进”东西的时候， 必须看它是否和原来的环境相匹配。 应该采取预防措施。

26. 李瑞环的“茶山”比喻见《学哲学、用哲学》 • 老妇将一把宜兴老茶壶到街上卖。茶壶内有茶山（垢）， 不放茶也有茶香。开价5钱， 一买主愿出三两银子买下。但身边未带钱， 嘱老妇等半个时辰取钱来买。 • 老妇好心，觉得买主肯出大价钱买， 需要将茶壶用沙子擦洗干净才好。 • 那买主拿钱来一看， 茶山已经没有了，连5钱银子也不愿买这把壶了。 有的传统文化象茶垢， 看上去其貌不扬，贸然改掉，损失很大。要好好认识自己。

27. 关于教师的主导作用。 • 课程标准拿教师的主导作用开刀， 界定教师的作用是“组织者、引导者、合作者”。 • 胡锦涛总书记在两院院士大会的讲话指出：“在尊重教师主导作用的同时，更加注重培育学生的主动精神，鼓励学生的创造性思维”。重提“教师主导作用”， 又更加注重学生的主动精神，就把二者统一起来了。

28. 认识论不能等同于教学论。 • 建构主义只是一种认识论。 • 研究人的认识事物的规律，可以不计时间成本，不讲效率。 • 但是， 数学教学必须在很短的时间内将人类几千年来积累的数学知识， 让学生很快地取其精华，掌握其核心的、基础的部分。 • 只讲“建构”不讲效率， 就是“矫枉过正。

29. 数学主要是个人思考的学科 • 合作的种类很多， 如通力合作、分工合作、以及交流合作等。 • 数学主要是个人思考的学科， 合作的目的在于交流。 • 因此， 数学课堂上的合作， 必须建筑在个人思考的基础上， 没有个人的深入思考， 合作交流就是一句空话。 • 只讲合作， 不谈独立思考， 也是矫枉过正。

30. 数学教育中的“去数学化”倾向 • 香港科技大学教授项武义认为， 大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。 • “去数学化”， 指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律， 忽视数学实质的揭示。

31. 教什么永远比怎么教更重要 • 吃什么永远比怎么吃更重要 • 数学教学研究： 上通数学， 下达课堂 • 教学的基本要求： 吃透教学内容，讲清楚

32. 两本新书： “审视自己”

33. 数学双基教学 • “坚实的基础， 加上创新的思考”，是优质教育的主旋律。 缺乏基础的创新是空想， 不想创新的打基础则是傻练。 • 定义：在掌握数学基本知识和基本技能的基础上，注重学生发展创新的教学。

34. 双基教学的理论基础 • 必要的记忆是通向理解的前提 • 熟练的运算是提高思维效率的关键 • 严密的逻辑演绎是形成正确思维的的保证， • 有变化的重复是获得创新发展的手段。

35. 青霉素与“芥菜卤” • 2008年5月1日《文汇报》有文章“牛胆、芥菜与青霉素”。 • 今天临床上常用的青霉素，一九二八年十一月，由亚历山大·弗莱明爵士发明。 • 文中又说，“明代，在常州天宁寺。寺院里埋着许多极大的缸，缸中放着芥菜，先是日晒夜露，使芥菜霉变，只防雨水侵入，当芥菜霉变越来越严重，长出绿色的毛（即“青霉”），长达三四寸时僧人即将缸密封，埋入泥土，要等到十年之后方才开缸应用。 • 陈年芥菜卤，专治高热病症，如小儿“肺风痰喘”，即现代所谓的“肺炎”。大人的肺病，吐血吐脓，即肺痨病、脓胸症及化脓性的呼吸系统疾病，效果非常好。其实这就是中国早期发明的青霉素。

36. “数学双基”与“芥菜卤” • 中国的“数学双基教学”， 很有些象“芥菜卤”。 明明有效， 却不受教育界的重视。当今的教育理论， 主要学习美国，诸如“探究、发现、贴近生活、合作学习、数感、符号感……”， 悉数来自海外的“教育超市”。 • 一旦美国学者提出“打好数学基础才能获得成功”的理论，科学地加以阐释之后，数学教学中 的“青霉素”随之出现。那时，我们又要对之顶礼膜拜。 • 至于“中国的数学双基教学”自然就变成一缸“芥菜卤”了。

37. 关于欣赏数学

38. 一个启示： • 语文教学， 着重欣赏；学生会欣赏唐诗， 却不会做唐诗。 • 数学教学， 着重求解；学生会做题目求出解答， 但是不会欣赏。 （一看就会，一做就对，这是“机器人”） 欣赏，亲近，理解，会做，运用，发展

39. 数学欣赏之真善美 “真”：（正确、严谨）， 注意了， 关切了， 考查了； “善”： （有用，有理）。开始注意。 “美”， （美观、美好、美妙）， 基本忽略

40. 数学文化与数学思想 • 数学不只是事实的堆砌； 数学不限于技巧的运用； • 数学解题不等于创造； 数学整体不等于数学杂技。 • 数学考试只是把别人已经做过的题目重做一遍而已 “学如箭镞， 才如弓弩， 识以领之， 方能中鹄” （清 袁枚） • 数学思想、观念的突破性创新， 是对数学文明的主要推动力。 • 把数学思想阐述充分， 数学文化就在其中了。

41. 研究案例最重要一个问题， 请大家发表意见 • 9月12日， 到上海华东师范大学二附中听课。 这是高中新生的第一节课。 • 老师在提到二次方程求根公式时， 问同学们它是怎样推出来的。 学生竟然说“忘”了。 • 提示：“配方，完全平方开根”， 还是拖泥带水。 • 老师说：“你们怎么考进二附中的？” • 问题： • 学生忘记是正常现象， 还是教学缺陷？”

42. 案例1 数学是一种“关系学” • 数。运算关系， 相等关系， 序关系 • 形。全等、相似、同构， 同胚 • 式： 等式关系 -- 方程 变量依赖关系 -- 函数 向量变换关系 -- 矩阵

43. 案例2 “三根导线”问题。 数学建模思想 • 在看起来“没有数学问题”的地方发现数学问题， 那往往是“大”的数学创造。 • 只会把“别人已经做过的问题重做一遍” 是远远不够的。 • 国际数学奥林匹克竞赛金牌难拿， 但是， 三根导线的作者所具有的创新性， 则更加难能可贵。

44. 看不见数学的领域运用数学1948年的数学地图 • 1948： 美国仙农发表《信息的数学理论》 • 1948：维纳发表《控制论》。信息、控制是数学吗？ • 1948： 冯·诺依曼：计算机方案形成 • 中国缺乏这样的数学偶像 ！！！

45. 案例3。 Freudenthal经典情景：巨人的手（通过“量”掌握数学本质） • 比例只是“照片放大”、“地图比例尺”？ • 黑板上留下巨人的手印， 请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。 活动设计： 1。 用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下“比值” 3。 量自己的书、桌子、椅子尺寸 4。 用比例放大 （量得有价值， 有意义）

46. 案例5。坐标的价值， 仅仅是确定位置？ • 将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴； • 坐标对应学生， 请学生自己看坐标； • 两坐标都是非负的站起来； 两坐标相等的站起来； • 换一个同学做坐标原点。 • 这样活动， 抓住了“坐标”的数学实质。

47. 笛卡儿与坐标几何 • 最简单的处理， 是展示笛卡儿的画像， 说明他建立了坐标系，创立了解析几何， 使得数与形结合起来。 • 有的著作则将做三个梦的传说， 确定天花板上蜘蛛位置的想象，渲染一番，却没有揭示笛卡儿创立坐标方法的文化底蕴。

48. 不当的叙述。（《中国数学教育》2007年12期 48页 • 早在1637年以前，法国数学家、解析几何的创始人笛卡儿受到了经纬度的启发，地理上的经纬度是以赤道和本初子午线为标准的，这两条线从局部上可以看成是平面内互相垂直的两条直线，所以笛卡儿的方法就是在平面内画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴建立平面直角坐标系，从而解决了用一对实数表示平面内的点的位置的问题． • 点评：重走科学家探索之路可让学生体验数学是从生活中产生，从而培养学生的探索精神，激发学生的学习兴趣． ？

49. 李文林：《数学史概论》140页 • 笛卡儿在《方法论》中尖锐地批判了经院哲学，特别是被奉为教条的亚里士多德“三段论”法则，认为三段论法则“只是在交流已经知道的事情时才有用，却不能帮助我们发现未知的事情”．他认为“古人的几何学”所思考的只限于形相，而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚”，因此他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短．”这种怀疑传统与权威、大胆思索创新的精神，反了文艺复兴时期的时代特征． • 笛卡儿的哲学名言是：“我思故我在”．他解释说：“要想追求真理，我们必须在一生中尽可能地把所有的事物都来怀疑一次”，…… 用怀疑的态度代替盲从和迷信，依靠理性才能获得真理。”

50. 案例6 （数学与社会政治）“对顶角相等”是否要证明？ 数学与民主古希腊城邦实行奴隶主的民主政治。 民主要求说服、说服需要证明、公理化方法得到应用。 • 几何原本。 命题15：对顶角相等。用公理3：等量减等量， 其差相等。 C B A