SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Flávio Pietrobon Costa Áreas de conhecimento do CNPQ 1.01.04.00-3 - Matemática Aplicada 3.05.01.04-0 - Princípios Variacionais e Métodos Numéricos

2. Introdução Origens Conceitos gerais Equações diferenciais Métodos numéricos Métodos numéricos de solução ODE PDE SUMÁRIO

3. Equações diferenciais Surgiram na segunda metade do século XVII Associadas à descrição de problemas aplicados Soluções dessas equações por procedimentos numéricos Problemas de elevado grau de complexidade Avanços importantes tornaram-se possíveis, no sentido da satisfação das necessidades humanas. Preservação ambiental, Estudo de ecossistemas, determinação de deformações e esforços em grandes estruturas barragens, plataformas de petróleo e torres de telecomunicação, análise de estruturas de esbeltez elevada, estudos de aerodinâmica, previsão atmosférica, erosão costeira ou fluvial, poços profundos, planejamento cirúrgico, exploração de jazidas subterrâneas, análise de problemas e projetos relativos sistemas de potência e transmissão de energia, INTRODUÇÃO

4. Problemas que resultam em sistemas de equações diferenciais, • Elevado número de incógnitas, • Esforço de cálculo analítico proibitivo, • Custos elevados de execução, • Soluções vulnerabilizadas a erros comprometedores (Cook, Malkus e Plesha, 1989).

5. Evolução dos computadores nas últimas décadas, • Desenvolvimento das técnicas computacionais, • Abordagem por métodos numéricos, • Problemas complexos: grande no. de variáveis e de equações: sistemas, • Atualmente resolvidos por via computacional: solução automatizada, • Problemas envolvendo mecânica do contínuo (Pietrobon, 1998).

6. Os métodos numéricos computacionais, utilizando técnicas de programação adequadas à otimização da busca de soluções, viabilizam o estudo dos problemas complexos, com elevado número de variáveis. • Advento dos métodos numéricos: décadas de 50 e 60 (sec. XX), • Prever e projetar, com apurado índice de acerto, resultados derivados de sistemas complexos de equações. • Problemas associados à mecânica do contínuo: simulação temporal por soluções precisas (Bushnell, 1990). • Ciências físicas, biológicas, matemáticas, químicas, engenharia, e do meio ambiente.

7. ORIGENSEquações diferenciais • O raiar da Teoria das Equações Diferenciais: • acúmulo de 325 anos de informações, • 11 de novembro de 1675, Leibinitz:

8. Newton (Methodus fluxionum et serierum infinitarum, escrito em 1671, editado em 1744): • equações de fluxo, • relação entre taxas de variação (“fluxo”) e variáveis independentes (“fluente”)

9. associando dois fluentes, • definindo as Equações Diferenciais Ordinárias, EDO (inglês ODE). • classe de equações: EDP (PDE), • relaciona uma taxa de variação com mais de duas variáveis.

10. Contribuições de Newton e Leibnitz. • Newton: • desenvolvimento de solução em série de potências, • solução da equação por uma série infinita,

11. resulta por substituição da série representativa de y • in Tractatus de quadratura curvarum, 1676, 1a publicação em Opticks, 1704 • O coeficiente a0 resulta totalmente arbitrário, • Família de soluções, infinita.

12. Leibnitz, 1691, técnica de separação de variáveis: • Desenvolvimento econômico e industrial, • Sec. XVIII a XX, requisitos: • ocupação do espaço territorial, • mecânica, eletricidade, mineração, navegação, vôo, construção, e outras demandas da sociedade moderna.

13. Choque ideológico e econômico entre as potências, • Requisito de maiores e novos avanços na tecnologia, • Avanço no conhecimento em áreas fundamentais: matemática, física, química e engenharia,

14. Rápido alcance dos limites de segurança de materiais e técnicas empíricas de construção de equipamentos, • Condições de uso nos limites da segurança e da resistência dos materiais: vôo a jato, exploração em águas profundas, construções de grandes estruturas,

15. No seu conjunto, requisitos de desenvolvimento da tecnologia: • resultam em modelos matemáticos • sistemas de ODEs e EDPs, • solução numérica computacional.

16. CONCEITOS GERAIS solução de sistemas de equações diferenciais (Tanehill, Andersen e Pletcher, 1997): • experimental: modelo físico, medição direta, análise dimensional, Teoria da Semelhança (Carneiro, F. Lobo, 1993). • analítica: simplificações teóricas, problemas complexos tratáveis, solução depende da precisão e eficácia das hipótese simplificadoras. • computacional: modelo matemático, algoritmo de solução, hipóteses coerentes, simulação numéricas,discretização do contínuo.

17. Objeto de resolução: sistema de equações diferenciais obtidas no modelo numérico. • Pontualmente na malha de discretização do contínuo: função algébrica integrada  solução, • MDF: derivadas substituídas por diferenças finitas apropriadas, • MEF: funções de forma elementais ponderadas, para modelar solução.

18. VANTAGENS DA ABORDAGEM NUMÉRICA COMPUTACIONAL • Liberdade de limitações de ordem dimensional, de ordem física e espacial, • Ausência de limitações de hipóteses simplificadoras, • É a abordagem de maior potencial evolutivo. • Precisão, prevenção de erros numéricos, estabilidade e convergência do processo de solução (Lapidus e Pinder, 1999).

19. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS • Contém uma ou mais derivadas, de 1a , 2a, ou ordem superior. • Derivadas ordinárias, correlaciona uma função, ou variável dependente, com uma única variável independente: EDO. • Derivadas parciais: função dependente de mais de uma variável. Derivadas indicando a variável com que se relaciona: EDP (Dieguez, 1994):

20. MÉTODOS NUMÉRICOS • procedimentos matemáticos, • aplicação otimizada para emprego computacional, • implementação em códigos que obedeçam a algoritmos lógicos, • solução de um problema de caráter científico • aproximações numéricas sucessivas: processo iterativo. • rotina de análise e modelagem do problema, • relações matemáticas entre variáveis, funções e condicionantes desse problema, • testes de validação e aperfeiçoamento.

22. PROBLEMAS DE APLICAÇÃO

23. MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUÇÃO • EDOs, podem sempre ser reduzidos à 1a ordem:

24. z(x) nova variável dependente (Dieguez, 19994). • Solução genéricas de EDOs: redução das EDOs de ordem superior ao estudo de uma cadeia de n equações de 1a ordem acopladas em termos de funções yi , i=1,2,...,n:

25. O problema de solução numérica de EDO de ordem n: • Não é resolvido somente com essas n equações de 1a ordem, • Crucial é a modelagem numérica (MDF, MEF etc), • Consideração das condições de contorno associadas à equação. • Condições de contorno: valores algébricos de xi oude yi em pontos discretos específicos.

26. PVI, problema de valor inicial: em que valores algébricos de yi são fornecidos em pontos iniciais xs, sendo necessário o conhecimento desses valores para iniciar a solução da equação; • PVC, problema de valor de contorno: sendo necessário o conhecimento de valores, ou condições associadas a yi, em pontos xf que determinam a fronteira da solução do problema.

27. Conceito de discretização desenvolvido por Euler: substitui-se a taxa relacional por “steps” ou incrementos y e x (Numerical recipes, 2002): • Multiplicando toda a equação por x, • Resultado: formulação algébrica análoga à EDO, que fornece variação da função correspondente à variação de x de um x. • No limite: incrementos adequadamente pequenos, aproximação ótima para a avaliação da função y, solução da EDO.

28. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA PARA EDO Método de Euler Euler: expansão em série de Taylor, truncando a série no 2o termo, resultando um erro de ordem O(h2). Runge-Kutta: redução da ordem de erro, seqüência de formulações de 1a ordem, avaliação do valor aproximado da função solução da EDO de ordem n.

29. Runge-Kutta de 2a ordem Runge-Kutta de 4a ordem

30. condições iniciais x0 = 0, y0 = 1, e xn = 0,1.Tomando 10 partições (n = 10) e, portanto h = 0,0: EDO,

32. SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EDP • Relacionada a métodos de discretização e integração de variáveis sobre um contínuo, • Método das Diferenças Finitas (FDM), • Método dos Elementos Finitos (FEM). • Nas últimas décadas: Diferenças Finitas Energéticas (EFDM), Elementos de Contorno (Boundary), Tiras (Strips) Finitas, dentre outros.

33. FDM: substituição das derivadas por formas de diferenças finitas, Obtidas pela expansão em Série de Taylor e truncamento a nível da ordem de erro desejada:

34. Formulações análogas para formas em diferenças finitas, centrais, a vante e a ré, para derivadas de ordem superior, assim para a 2a derivada resulta a forma central: Aplicação em EDPs: equações algébricas, Integrando contribuições pontuais do valor da função, Domínio contínuo discretizado em uma malha de pontos, Valores da função em vértices da malha :

37. Equação de onda, EDP, propagação de ondulação em um meio contínuo: Condições de bordo (contorno): extremidades fixas: u(0,t) = u(L,t) = 0

38. Equação algébrica só tem solução para a condição de estabilidade (Lapidus e Pinder, 1999; e Diegues, 1994): Corda inicialmente em repouso, em posição u(x) = x (4-x), de extremidades fixas, com comprimento 4 m,  de 2 m/s, discretizada em 8 partições, resultando x = 0,5 m e t = 0,25 s.

40. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA • E. L. Ince, Ordinary differential equations, Dover publications, New york, 1944; • L. Lapidus and G. F. Pinder, Numerical solutions of partial differential equations in science and engineering, John Wiley & Sons Inc, Toronto, 1999;Cook, Malkus e Plesha, 1989; • Pietrobon, F.C.; Formulação Numérica por Diferenças Finitas Energéticas da Flexão Dinâmica de Vigas com a Consideração da Deformabilidade por Cortante e da Inércia de Rotação; Tese M.Sc., COPPE/PEC-UFRJ, Rio de Janeiro, 1998; • Bushnell, D.; Finite-difference Energy Models Versus Finite Element Models: Two Variacional Approaches in One Computer Program; Lockheed Missiles and Space Co., Palo Alto, in “Stress, Stability and Chaos in Structural Engineering Approach”, organizer El Naschie, McGraw-Hill Book Co., Singapore, 1990;)Isaac Newton, Methodus fluxionum et serierum infinitarum, 1744; • Tractatus de quadratura curvarum, Opticks, 1704; • Tannehill, J.C.; Andersen, D.A.; Pletcher, R.H.; Computacional Fluid Mechanics and Heat Transfer; Taylor & Francis Publishers, 1997; • Carneiro, F. Lobo.; Análise Dimensional e Teoria da Semelhança e dos Modelos Físicos; Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 1993; • Numerical recipes, Cambridge University Press, 2002.