Capítulo 9 – Rotação de corpos rígidos

1. Capítulo 9 – Rotação de corposrígidos Definição de corpo rígido (CR): um sistema de partículasespecial, cujaestrutura é rígida, isto é, cujaforma nãomuda, parao qualduaspartessempre estãoigualmentedistantes Neste capítulo vamos analisar apenas o movimento de rotação do CR em torno de um eixo fixo.

2. 9.1 – Velocidade angular e aceleração angular Vamos considerar a rotação de um CR em torno do eixo z Qual variável descreve o movimento de rotação? P 1. Escolhe-se um ponto de referência arbitrário (P) no CR 2. A projeção da posição de P no plano xy faz um ângulo θ com o eixox 3. A coordenada angular θ (medidaemradianos) descrevecompletamente a orientação do CR Lembrando do ângulo em radianos (rad): s r

3. Velocidade angular média: se o CR gira de θ1 a θ2 entre osinstantest1 e t2, então (o índicezindicarotaçãoemtorno do eixoz) Velocidade angular instantânea: Note que todos os pontos do CR têm a mesma velocidade angular, mas podem ter diferentes velocidades escalares. Exemplo: rotação da Terra Note a analogia com a cinemática em 1D: A e B têm a mesma velocidade angular, mas têm velocidades escalares diferentes

4. Velocidade angular como vetor: direção ao longo do eixo de rotação e sentido dado pela regra da mão direita Note que esta convenção é consistente com o sinal da derivada:

5. Mas e a coordenada angular θ, é também um vetor? Não podemos associar um vetor ao deslocamento angular, pois vetores devem obedecer às regras da soma vetorial, o que não acontece neste caso. Por exemplo, a soma vetorial é comutativa ( ), mas duas rotações sucessivas feitas em ordens diferentes dão resultados diferentes! (a menos que os ângulos de rotação sejam infinitesimais)

6. Aceleração angular média: se a velocidade angular varia de ω1z a ω2z entre osinstantest1 e t2, então Aceleração angular instantânea: Aceleração angular também é um vetor: Continuando a analogia com a cinemática em 1D: Aceleração e velocidade angulares no mesmo sentido: rotação acelerada Aceleração e velocidade angulares em sentidos opostos: rotação retardada

7. 9.2 – Rotação com aceleração angular constante Usando a analogia com a cinemática em 1D, obtemos: Exemplo: Y&F 9.3

8. 9.3 – Relação entre cinemática linear e cinemática angular Derivando: Onde: Lembrando que: s r

9. Derivando mais uma vez: Onde: (Note que: ) Finalmente, lembramos que: (aceleração centrípeta)

10. 9.4 – Energia no movimento de rotação Considere um CR em rotação com velocidade angular ω A energiacinética do CR será a soma das energiascinéticas de todas as partículasquecompõem o CR: Sabemosque(todas as partículastêm a mesma vel. ang.) Assim: Ondedefinimos o momento de inérciado CR emrelaçãoaoeixo de rotação: Unidades S.I.: kg.m2

11. Notemuma nova analogia entre o movimento linear de translação de umapartícula e a rotação de um CR emtorno de um eixofixo: (translação) (rotação) • Momento de inércia: • Define a inérciapara o movimento de rotação(inérciarotacional) • Não depende apenas da massa do CR, mas também de como ela está distribuída (dois objetos de mesma massa podem ter momentos de inércia diferentes) • Não é umapropriedadeintrínseca do CR, masdependedaescolha do eixo de rotação

12. Exemplo: sistema com 2 massasm de dimensõesdesprezíveis (partículas) unidasporuma haste fina de comprimentol e massadesprezível Eixo 3 Eixo 2 Eixo 1 m l m Eixo 1: Eixo 2: Eixo 3:

13. Momentos de inércia de distribuiçõescontínuas de massa:

14. Exemplo: Y&F 9.9 Energiapotencialgravitacionalpara um corpo com massadistribuída: y M c.m. Como se toda a massaestivesseconcentradanaposição do c.m.

15. 9.5 – Teorema dos eixosparalelos y Vamosrelacionarosmomentos de inérciaIcm (emrelação a um eixoquepassapeloc.m.) e IP (emrelação a um eixoquepassapor um ponto P qualquer, paraleloaoeixoquepassapeloc.m.) M P c.m. x

16. y 0 0 M P Teorema dos eixosparalelos c.m. x Vamosverificarquefuncionaparauma haste fina:

17. Próximasaulas: • 4a. Feira 02/11: Nãohaverá aula • 6a. Feira 04/11: Aula de Exercícios (sala A-327) • 4a. Feira 09/11: Aula Magna (sala A-343)