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安徽巢湖市柘皋中学 孙平

§3.4 基本不等式 :. 安徽巢湖市柘皋中学 孙平. 2002 年第 24 届国际数学家大会会标 -- 北京. 赵爽：弦图. ICM2002 会标. 探究 1 ：想一想？. 思考：这会标中含有怎样的几何图形？有何寓意？. 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？. 师生探究：算一算？. 问 1 ： 在正方形 ABCD 中 , 设 AF=a,BF=b, 则正方形的面积为 S= ＿＿. 问 2 ： Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE 是 全等 三角形，它们的面积是 S ′ = ＿＿. 问 3 ： S 与 S ′ 有什么样的关系？.

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  1. §3.4基本不等式: 安徽巢湖市柘皋中学 孙平

  2. 2002年第24届国际数学家大会会标--北京

  3. 赵爽：弦图 ICM2002会标

  4. 探究1：想一想？ 思考：这会标中含有怎样的几何图形？有何寓意？ 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

  5. 师生探究：算一算？ 问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为 S= ＿＿ 问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积是S′=＿＿ 问3：S与S′有什么样的关系？ a 从图形中易得， s > s′,即 b

  6. D b F G a C A E H B 当且仅当a=b时，等号成立。 （正方形面积不小于4个直角三角形面积） D a A C b E(FGH) B 重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有

  7. 类 比 联 想 推 理 论 证 师生探究 （特别地）如果 也可写成 当且仅当 a=b 时“＝”号成立 此不等式称为基本不等式 a＞0 ,b＞0 ,

  8. 注意： （1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同 （2） 称为正数a、b的几何平均数 称为正数a、b的算术平均数。 基本不等式： 当且仅当a=b时，等号成立。算术平均数不小于几何平均数

  9. D 如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD, 则CD=＿＿,半径 为＿＿ A B C E 师生探究：对基本不等式的几何意义作进一步探究 问：请比较CD与半径的关系。 几何意义：半径不小于弦的一半 动画

  10. 应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系 例1.(1) 已知 并指出等号 成立的条件. (2) 已知 与2的大小关系, 并说明理由. (3) 已知 能得到什么结论? 请说明理由.

  11. 应用二：解决最大（小）值问题 • 例2：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值．

  12. （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2（ x + y）= 36 , x + y = 18 矩形菜园的面积为xy =18/2=9 得 xy 81 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2 结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。

  13. 三相等 二定 一正 • 应用基本不等式求最值的条件： 定理（1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。 a与b 为正实数 若等号成立，a与b必须能够相等

  14. 练习（请学生上黑板演练） 1、(04重庆）已知 则x y 的最大值是 。 2、若实数 ，且 ，则 的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、 D 3、在下列函数中，最小值为2的是（ ） A、 B、 C、 D、 C

  15. 课堂小结 师生共同归纳本节课主要知识点 1. 两个不等式 （1） （2） 当且仅当a=b时，等号成立 注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”成立条件。 2. 运用基本不等式： 牢记 “六字方针” 即 “一正，二定，三等”

  16. 作业：1． A组第1题 补充 2．求函数 的最小值 课外思考：求函数 的最小值

  17. 谢　谢 制作：安徽巢湖市柘皋中学 孙平 博客：http://blog.sina.com.cn/abc8317661 邮编： 238062  电邮：sunp85@126.com

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