Спеціальні класи бінарних відношень

1. Спеціальні класибінарних відношень Відношення часткового порядку

2. По росту

3. По розміру

4. За віком

5. За красою

6. Відношення часткового порядку Відношеннямчасткового порядку на множині A будемо називати рефлексивне, антисиметричне та транзитивне бінарне відношення на множині A. • Рефлексивне • xAxRx • 2. Антисиметричне • xRy yRxx=y • 3. Транзитивне • xRy, yRz  xRz

7. Приклади відношень часткового порядку менше або дорівнює на множині дійсних чисел Бути нащадком A,B, ARBAB включення множин Будемо позначати відношення часткового порядку 

8. Приклад часткового порядку n R m⇔ n ділиться націло на m ⇔ n | m

9. Приклад часткового порядку Ч1 Ж1 Ч2 Ж2 Ч3 Ж3 Ч4 Ж4 Ч5 Ж5 Ж6 Ж7 Ч8 ГЕНЕАЛОГІЧНЕ ДЕРЕВО Графічне зображення відношення “бути пращуром”Пращур той, до кого по стрілках можна спуститись

10. Означення Множина називається частково впорядкованою,якщо на ній задано відношення часткового порядку

11. Хто сильніший кит чи слон

12. Мінімальні та максимальні елементи Нехай А – частково впорядкована множина з відношенням часткового порядку  х – мінімальний елемент, якщо в A не існує меншого за нього елемента крім самого x y x  x=y х – максимальний елемент, якщов A не існує більшого за нього елемента крім самого x x  y  x=y

13. Найменші та найбільші елементи Нехай А – частково впорядкована множина з відношенням часткового порядку  x – найменший елемент, якщо він менший будь-якого елемента з A yA  x  y x – найбільший елемент, якщо він більший будь-якого елемента з A yA  y x

14. Приклад мін., макс., най... 6 максимальних елементів Ч1 Ж1 Ч2 Ж2 Ч3 Ж3 Ч4 Ж4 Ч5 Ж5 Ж6 Ж7 3 мінімальних елементи Ч8

15. Приклад мін., макс., най... 6 максимальних елементів Ч1 Ж1 Ч2 Ж2 Ч3 Ж3 Ч4 Ж4 Ч5 Ж5 Ж6 Ч6 Ч7 Наименьший та мінімальний елемент

16. Приклади мін., макс., най... • A,B,A  B AB • - найменший та мінімальний • - найбільший та максимальний • {1}  {2} {2}  {1}

17. Приклади мін., макс., най... • A={1;2;3;4;5;6} xy  x ділиться на y • ⇔yділить x • 1 – найбільший та максимальний • 4,5,6 – мінімальні • найменшого немає 1 2 3 5 6 4

18. Приклади мін., макс., най... • A={1;2;3;4;5;6; ....} • x  y  x ділиться на y • 1 – найбільший та максимальний • найменшого та мінімальних немає

19. Приклади мін., макс., най... • A={2;3;4;5;6; ......} • x  y  x ділиться на y • найбільшого немає • 2,3,5,7,… - прості числа - максимальні • мінімальних та найменшого немає

20. Леми про най... елементи Лема 1 В довільній частково впорядкованій множинііснує не більше одного найбільшого (найменшого) елемента Припустимо, що існує 2 найменших х1 та х2: } x1 – найменш. x1≤x2  антисимx1=x2 x2 – найменш. x2≤x1

21. Леми про най... елементи Лема 2 В частково впорядкованій множині найменший (найбільший) елементє єдиним мінімальним (максимальним) Припустимо x1 – найменьш., а x2 – мінімальн. } x1 – найменш. x1≤x2  x2 – мінімальн.  x1 = x2 x2 – мінімальн.

22. Відношення лінійного порядку Відношеннямлінійного порядкуна множині A будемо називати рефлексивне, антисиметричне, транзитивне та порівняльне бінарне відношення на множині A. • Рефлексивне • xAxRx • 2. Антисиметричне • xRy yRxx=y 3. Транзитивне xRy, yRz  xRz 4. Порівняльне x,yAxRyyRx

23. Означення Множина називається лінійно впорядкованою,якщо на ній задано відношення лінійного порядку

24. Лема 3 В лінійно впорядкованій множині мінімальний (максимальний) елемент єнайменшим (найбільшим)  в силу порівняльності x0 – мінімальний, xA  x≤x0 оскільки x0мінімальний  x0=x  x0≤x x0≤x В обох випадках x0≤x