제 4 장 관 계

1. 제 4 장 관 계

2. 목차 • 4.1 관 계 • 4.2 관계의 표현 • 4.3 관계의 합성 • 4.4 동치 관계 • 4.5 관계의 폐쇄 성질 • 4.6 부분 순서와 속

3. 4.1 관 계 • 순서쌍의 집합 • 관계를 표현하는 가장 기본적인 표기법 • RØ＝ 이면 R : 영 관계(empty relation), • R＝A1×A2×…×An이면 R : 전체 관계(universal relation) • 정의 4-1 n-항 관계(n-ary relation) • 곱 집합 A1×A2× …×An의 부분집합 R : 집합 A1, A2, …, An 에서의 n-항 관계 • R＝{(a1, a2, …, an) | ai∈Ai} (n - 투플의 집합)

4. 4.1 관 계 • 정의 4-2 2-항 관계(binary relation) • n = 2, R⊆A1×A2일 때, R : A1에서 A2로의 이항 관계(a, b) ∈ R이면 aRb, (a, b) ∈ R이면 aRb • 정의역(domain): 순서쌍에서 모든 첫 번째 원소의 집합 • 치역(range): 순서쌍에서 모든 두 번째 원소의 집합 • 집합 A에 대한(on a set A) 관계 : A1＝A2＝A일 때 A에서 A로 가는 이항 관계

5. 4.1 관 계 【예제 4.1】 두 집합 A＝{1, 2}, B＝{3, 4}일 때, A 에서 B 로의 모든 관계를 나타내어라. [풀이] A×B＝{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} ∴ 모든 관계의 개수 ː 24＝16 Ф {(1,3)} {(1,4)} {(2,3)} {(2,4)} {(1,3), (1,4)} {(2,3), (2,4)} {(1,3), (2,3)} {(1,4), (2,4)} {(1,3), (2,4)} {(1,4), (2,3)} {(1,3), (1,4), (2,3)} {(1,3), (1,4), (2,4)} {(1,3), (2,3), (2,4)} {(1,4), (2,3), (2,4)} {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

6. 4.1 관 계 【예제 4.2】 집합 A＝{1, 2, 3, 4}에 대한 관계 R을 R＝{(a, b) ∈ A×A | b가 a로 나누어진다}라고 할 때, R의 모든 순서쌍을 나열하라. [풀이] • R＝{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}

7. 4.1 관 계 【예제 4.3】 정수 집합에 대한 관계들이 다음과 같을 때, R1＝{(a, b) | a < b} R2＝{(a, b) | a>b } R3＝{(a, b) | a＝b 또는 a＝－b} R4＝{(a, b) | a＝b} R5＝{(a, b) | a＝b＋1} R6＝{(a, b) | a＋b < 3} 각각의 순서쌍 (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, －1), (2, 2)를 포함하는 관계들을 모두 구하라. [풀이] (1, 1) : R1, R3, R4, R6 (1, 2) : R1, R6 (2, 1) : R2, R5, R6 (1, －1) : R2, R3, R6 (2, 2) : R1, R3, R4

8. 4.1 관 계 • 정의 4-3 역관계(inverse relation) • R이 관계일 때 R의 역관계 : R-1 • R-1＝{(b, a)|(a, b)∈R}

9. 4.1 관 계 • 【예제 4.4】R＝{(1, 1), (1, 6), (5, 1), (5, 8), (7, 2)} 일 때, R－1를 구하라. [풀이] • R－1＝{(1, 1), (6, 1), (1, 5), (8, 5), (2, 7)}

10. 4.2 관계의 표현 • (1) 화살표(arrow diagram) • 집합 A, B가 있을 때 a∈A와 b∈B가 aRb이면 이 관계를 a 에서 b로 가는 화살표로 표현

11. 4.2 관계의 표현 • 【예제 4.5】 A＝{1, 2, 3, 4,} B＝{a, b, c, d}이고 관계 R＝{(1, c), (1, d), (2, b), (3, a), (3, c), (4, a)}일 때, R을 화살표를 사용해서 나타내어라.

12. 4.2 관계의 표현 [풀이]

13. 4.2 관계의 표현 • (2) 관계 행렬(relation matrix) • R : A＝{a1, a2, …, am} 에서 B＝{b1, b2, …, bn} 로의 관계. • 관계 R은 행렬 MR＝(mij) (단, 1≤i≤m, 1≤j≤n) 로 표현

14. 4.2 관계의 표현 • 【예제 4.6】 집합 A＝{1, 2, 3}, B＝{1, 2}에 대하여, A에서 B로의 관계 R이 "a∈A, b∈B일 때 a>b이다"로 주어진 경우 R을 관계 행렬(relation matrix)로 표현하라. [풀이] • R＝{(2, 1), (3, 1), (3, 2)}이므로, R의 관계 행렬은

15. 4.2 관계의 표현 • 【예제 4.7】 A＝{a1, a2, a3}, B＝{b1, b2, b3, b4}이고, 관계 R에 대한 관계 행렬이 다음과 같이 표현될 때, R에 대한 순서쌍을 구하라

16. 4.2 관계의 표현 [풀이] • 관계 R은 mij＝1인 순서쌍(ai, bj)의 집합이므로 R＝{(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3)}

17. 4.2 관계의 표현 • 【예제 4.8】 집합 A＝{1, 2, 3}일 때, 관계 R＝{(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)}이고, S＝{(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}이다. 이 때 MRS와 MRS를 각각 구하라.

18. 4.2 관계의 표현 [풀이]

19. 4.2 관계의 표현 • (3) 방향 그래프(directed graph) • 정의 4-4 방향 그래프 • 정점(vertex)들의 집합 V와, V의 각 원소들로 구성된 순서쌍인 간선(edge)의 집합 E로 구성

20. 4.2 관계의 표현 • 【예제 4.9】 정점: a, b, c, d와 연결선: (a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (d, b)로 구성된 방향 그래프는 ? [풀이]

21. 4.2 관계의 표현 • 【예제 4.10】방향 그래프로 표시된 관계 R의 순서쌍 ? ◀ 책 그림 참조 ▶ [풀이] • R＝{(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 3) }

22. 4.2 관계의 표현 • 【예제 4.11】 집합 A＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, } 관계 {R＝(m, n)∈A×A|mod(m, n)＝0, m≠ n, 단, mod 연산은 n/m의 나머지를 구하는 연산자} 관계 R에 대한 방향 그래프 ? [풀이]

23. 4.3 관계의 합성 • 정의 4-5 합성 관계(composite relation) • 집합 A, B, C, • Rː A→B관계, S : B→C관계 • 합성 관계 R ◦ S 의 정의 • R ◦ S＝{(a, c)∈A×C | (a, b)∈R이고 (b, c)∈S인, b∈B 가 존재한다}

24. 4.3 관계의 합성 • 【예제 4.12】 A＝{2, 3, 8, 9}, B＝{4, 6, 18}, C＝{1, 4, 7, 9}이다. Rː A→B관계, S : B→C관계, R ◦ S를 구하라. • R＝{(a, b) | a∈A, b∈B, mod(b, a)＝0} • S＝{(b, c) | b∈B, c∈C, b≤c}

25. 4.3 관계의 합성 [풀이] • R＝{(2, 4), (2, 6), (2, 18), (3, 6), (3, 18), (9, 18)}, • S＝{(4, 4), (4, 7), (4, 9), (6, 7), (6, 9)} • ∴ R ◦ S＝{(2, 4), (2, 7), (2, 9), (3, 7), (3, 9)}

26. 4.3 관계의 합성 • 【예제 4.13】 A＝{1, 2}, B＝{3, 4}, C＝{5, 6}이고, 관계 R＝{(1, 3), (1, 4)}, S＝{(3, 5), (4, 5)}이다. 이 때 R ◦ S을 구하라. [풀이] • R ◦ S＝{(1, 5)}

27. 4.3 관계의 합성 • 【예제 4.14】 합성 관계 R ◦ S를 구하여 관계 행렬로 표현하라.

28. 4.3 관계의 합성 [풀이]

29. 4.3 관계의 합성 • ☞정리 4-1 • 집합 A, B, C, D, R⊆A×B, S⊆B×C, T⊆C×D 일때, R ◦ (S ◦ T)＝(R ◦ S) ◦ T 이다.

30. 4.3 관계의 합성 [증명] • R ◦ (S ◦ T)⊆(R ◦ S) ◦ T와 (R ◦ S) ◦ T⊆R ◦ (S ◦ T)를 동시에 만족함을 보인다. (1) R ◦ (S ◦ T)⊆(R ◦ S) ◦ T 증명 (x, y) ∈ R ◦ (S ◦ T)라 가정. (x, z) ∈ R, (z, y) ∈ S ◦ T, z ∈ B가 존재. (z, y)∈S ◦ T이므로, (z, w)∈S, (w, y)∈T, w∈C가 존재 (x, z)∈R, (z, w)∈S이므로 (x, w)∈R ◦ S (x, w)∈R ◦ S이고 (w, y)∈T이므로, (x, y)∈(R ◦ S) ◦ T ∴ R ◦ (S ◦ T)⊆(R ◦ S) ◦ T (2) (R ◦ S) ◦ T⊆R ◦ (S ◦ T)도 같은 방법으로 증명.

31. 4.3 관계의 합성 • ☞ 정리 4-2 • A, B, C가 집합이고, R⊆A×B와 S⊆B×C일 때, (R ◦ S) －1＝S－1◦ R－1이다.

32. 4.3 관계의 합성 [증명] • (R ◦ S) －1⊆S－1 R－1와 S－1 R－1⊆(R ◦ S) －1를 동시에 만족함을 보인다. (1) (R ◦ S)－1 ⊆S－1 R－1 증명 : (y, x)∈(R ◦ S) －1가정, (x, y)∈R ◦ S이므로 (x, z)∈R, (z, y)∈S인 z∈B가 존재 (x, z)∈R이므로 (z, x)∈R－1, (z, y)∈S이므로 (y, z)∈S－1 (y, z)∈S－1, (z, x)∈R－1이므로, (y, x)∈S－1 R－1 ∴ (R ◦ S) －1⊆S－1 R－1 (2) S－1 R－1⊆(R ◦ S) －1 : 같은 방법으로 증명

33. 4.3 관계의 합성 • 【예제 4.15】 집합 {1, 2, 3}에 대한 관계 R이 다음과 같을 때 R2을 관계 행렬과 방향 그래프로 표시하여라.

34. 4.3 관계의 합성 [풀이] • R2＝{(1, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

35. 4.3 관계의 합성 • 【예제 4.16】 R＝{(1, 1), (3, 1), (2, 3), (4, 2)}일 때, R2, R3, R4을 구하라. [풀이] • R2＝R ◦ R＝{(1, 1), (2, 1), (4, 3), (3, 1)} • R3＝R2◦ R＝{(1, 1), (3, 1), (2, 1), (4, 1)} • R4＝R3◦ R＝{(1, 1), (3, 1), (2, 1), (4, 1)}

36. 4.3 관계의 합성

37. 4.3 관계의 합성 • ☞ 정리 4-3 • R이 A에 대한 관계이고, m, n이 자연수일 때 다음 식이 성립한다. (1) Rm ◦ Rn＝R m＋n (2) Rm ◦ Rn＝Rn ◦Rm (3) (Rm)n＝Rmn

38. 4.4 동치 관계 • 4.4.1 관계의 성질 • (1) 반사 관계(reflexive relation) • 정의 4-6 반사 관계 • A의 모든 원소 a가, (a, a)∈R이면, R은 반사적 또는 반사 관계 (R 은 집합 A에 대한 관계)

39. 4.4 동치 관계 • 【예제 4.17】 집합 {1, 2, 3, 4}에 대한 다음의 방향 그래프로 표시된 관계들은 반사적인가? • [풀이] (1) 반사적, (2) 반사적이 아니다.

40. 4.4 동치 관계 • 【예제 4.18】 다음의 관계들은 집합 {1, 2, 3, 4}에 대해 반사적인가? • R1＝{(1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} • R2＝{(1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} • R3＝{(1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} • R4＝ ø • R5＝{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} • R6＝{(3, 2), (4, 4), (2, 1), (1, 1), (4, 2), (3, 3), (3, 1), (2, 2)} • [풀이] R2, R5, R6 : 반사적, R1, R3, R4 : 반사적이 아니다

41. 4.4 동치 관계 • 【예제 4.19】 양의 정수들의 집합에서 관계 "나누기"는 반사적인가? [풀이] • 반사적

42. 4.4 동치 관계 • (2) 대칭관계 • 정의 4-7 대칭 관계 • R은 집합 A에 대한 관계, • 모든 a, b∈A에 대해 (a, b)∈R일 때 반드시 (b, a)∈R인 관계가 존재하면, R은 대칭적 또는 대칭 관계

43. 4.4 동치 관계 • 【예제 4.20】 [예제 4.18]의 관계는 집합 {1, 2, 3, 4} 에 대해 대칭적인가? [풀이] • R3, R4, R5 : 대칭적, • R1, R2, R6: 대칭이 아니다

44. 4.4 동치 관계 • 【예제 4.21】 대칭 관계는 관계 행렬로 표현하면 쉽게 파악할 수 있다. 다음과 같이 관계 행렬로 표현된 관계는 대칭적인가? [풀이] • (1), (2), (3) : 대칭적

45. 4.4 동치 관계 • 【예제 4.22】 다음의 관계들은 대칭적인가? 단, Z는 정수의 집합이다. (1) R1＝{(m, n)∈Z×Z : m＝n} (2) R2＝{(m, n)∈Z×Z : m ≥ n} (3) R3＝{(m, n)∈Z×Z : m＝n 또는 m＝－n} (4) R4＝{(m, n)∈Z×Z : n＝m＋1} (5) R5＝{(m, n)∈Z×Z : m < n} (6) R6＝{(m, n)∈Z×Z : m＋n ≤ 0} [풀이] R1, R3, R6 : 대칭적 R2, R4, R5 : 대칭이 아니다.

46. 4.4 동치 관계 • (3) 반대칭 관계 (antisymmetruc relation) • 정의 4-8 반대칭 관계 • R은 집합 A에 대한 관계, 모든 a, b∈A에 대해, 다음의 조건을 만족하면 반대칭적 또는 반대칭 관계 • (a, b)∈R (b, a)∈R ⇒ a＝b

47. 4.4 동치 관계 • 【예제 4.23】 다음 관계들은 반대칭적인가?

48. 4.4 동치 관계 [풀이] (1) 반대칭적, (2) 대칭적, 반대칭적이 아니다. (3) 영관계이므로 반대칭적, 대칭적이다. 반사적은 아니다

49. 4.4 동치 관계 • 【예제 4.24】 다음의 관계들은 집합 1, 2, 3, 4에 대해 반대칭적인가? • R1＝{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} • R2＝{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} • R3＝{(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} • R4＝{(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} • R5＝{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4),(3, 3), (3, 4), (4, 4)} • R6＝{(3, 4)}

50. 4.4 동치 관계 [풀이] • R4, R5, R6: 반대칭적 • R2 : 반대칭적, 동시에 대칭적 ( 대칭적과 반대칭적은 서로 반대가 아님) • R1, R3: 반대칭적이 아니다