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第五讲 函数的连续性

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  1. 第五讲 函数的连续性

  2. 一、函数的连续性 1、函数在一点的连续性 1)自变量的增量△x 自变量x从初值 x0变到 终值x1,则称x1- x0为自变量x的改变量或增量。 即 △x = x1- x0→ x1= x0+△x

  3. 2)函数的增量△y 当 x: x0→x1 ,y=f(x)由 f(x0)→f(x1), 则 △y =f(x1)-f(x0) =f(x0+△x)-f(x0)

  4. 3)函数在x0点的连续性 所谓函数连续,直观上看图形是可以一 笔画成的一条曲线,否则就是不连续的。 如下图

  5. y△y y △y △x △x 0 x0x0+ △x x 0 x0x0+ △x x (1) (2) 图 (1)中, △x →0 B →A, △y →0 lim △y = 0 (a) 图(2)中, △x →0 B →C, B →A △y →0

  6. (a)式还可以写为下面两种形式: lim[f(x0+ △x)- f(x0 ) ]=0 ( b ) lim [f(x1)- f(x0 )]=0 lim f(x1)=f(x0) ( c ) (c)式实际上是书上定义的式子(p79) 注:由(c)式可以看出

  7. 函数f(x)在x0点连续必须满足3条: (1) lim f(x)存在 (2)f(x)在x0点有定义 (3)二者相等

  8. 即 : f(x)在x0点的极限值等于该点的函数值。 从上述定义可看出,连续性是用极限的方 法,由极限来定义的。

  9. 4) 连续的充要条件 既然是由极限来定义的,那么相应于左右 极限,这里就有左连续、右连续的概念 lim f(x)=f(x0),则f(x)在x0点左连续 limf(x) =f(x0),则f(x)在 x0点右连续

  10. 充要条件:函数在x0点连续即 limf(x)=f(x0) f(x)在x0点左连续且右连续 lim f(x)= lim f(x) = f(x0)

  11. 注: 与极限的充要条件同理,连续的充要条件 一般讨论x0点的左右两边函数表达式不同的情 况。

  12. 例1 讨论f(x) =∣x∣ 在 x0=0的连续性 解:f(x)= x x ≥0 -x x < 0 lim f(x)= lim x =0 lim f(x)= lim (-x)=0 则 lim f(x)=lim f(x)=0=f(0) 所以 f(x)在x=0连续 y y=-x y=x 0 x

  13. 例2 讨论f(x)= x≤1 x>1的连续性 解: 因为 limf(x)= lim(x2+1)=2=f(1) limf(x)= lim =1≠f(1) 从而 limf(x)≠limf(x) 左右极限存在但不相等,故极限不存在,更不会 等于f(1),或左连续但右不连续,故而不连续。 x2+1

  14. 2 、函数的间断点 简言之,函数不连续即间断。 函数不连续即 lim f(x) = f(x0) 不成立。

  15. 或者说 (1)lim f(x)不存在 (2)f(x0)无意义 (3)二者存在但是不相等 三条中只要有一条成立,则f(x)在x0间断。常 用的是第二条。

  16. 如 f(x) = 的间断点是 x=2,x=-2

  17. 3、函数在区间上的连续性 f(x) 在一个区间上每一点都连续,则称 f(x)在区间上连续。 如前例2, 在 x0 = 1不连续,但在区间(1,+ ∞ )和 ( -∞ ,1)上是连续的。

  18. 4、初等函数的连续性 连续函数经过四则运算仍为连续函数 (连续函数的四则运算法则)。 由此可推出如下常用结论:

  19. 1)多项式函数 在R连续。 2)分式函数除分母为零的点外,其他点都连续。 3)初等函数在其定义域内都是连续函数。 特别是结论(3)应熟记,该结论实际上给 出了一个结论: 初等函数的连续区间就是它的定义域 。

  20. 如y= 是初等函数, 则其连续区间为其定义域 (-∞,-2)、(-2,2)、(2,+∞)

  21. 例求f(x)= x-2 1 ≤ x ≤ 3 3 ≤ x ≤ 4的连续区间. 解:x-2 在(-∞,+ ∞)上是初等函数,是连续 的,所以[1,3]上连续的; 除 x = -1外(-∞,+ ∞)上都是连续的, 所以在[3,4]上是连续的;

  22. 而在分段点x=3有 lim f(x)= lim (x-2) =1 lim f(x)=lim = - 故在x=3处不连续, 所以,其连续区间为(1,3),(3,4)。

  23. 小结 无穷小 无穷小的阶的比较      limf(x)=0 无穷小    无穷大  极限(limf(x)=A) 无穷小是一个变量      求极限的方法(☆)(常用6种) 未定式 ( )    连续  间断点 limf(x)= f(x0) 充要条件       重要结论:初等函数在定义域内连续 ※ ☆

  24. ☆:求极限常用的方法: (1)利用四则运算法则 (2)利用无穷小与无穷大的倒数关系 (3)利用两个重要极限 (4)利用极限存在的充要条件 (5)利用函数的连续性 (6)利用罗必达法则(学习导数后)

  25. ☆“”“”“0·∞”、“∞-∞”等,经变化得解。☆“”“”“0·∞”、“∞-∞”等,经变化得解。 ※如lim =1 在x=0间断,但极限存在

  26. 思考: 设 f(x) = 求 (1)lim f(x) (2) lim f(x) (3) lim f(x) (4) lim f(x)

  27. 参考作业: