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결 합 확 률 분 포

3. 결 합 확 률 분 포. 결합확률분포. 1. 2. 조건부확률분포. 3. 결합분포에 대한 기대값. 1. 결합확률분포. 결합확률분포 , 주변확률분포 및 결합확률분포함수의 개념과 2 변량 확률 계산 방법을 알아본다. A 와 B 두 회사에 대한 투자액 ( 단위 ; 백만 원 ) X 와 Y 의 비율. A 와 B 두 회사에 각각 1 백만 원씩 투자할 비율 : 0.02 A 회사에 3 백만 원 그리고 B 회사에 2 백만 원을 투자할 비율 : 0.06

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결 합 확 률 분 포

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Presentation Transcript

  1. 3 결 합 확 률 분 포 결합확률분포 1 2 조건부확률분포 3 결합분포에 대한 기대값

  2. 1 결합확률분포 결합확률분포, 주변확률분포 및 결합확률분포함수의 개념과 2변량 확률 계산 방법을 알아본다.

  3. A와 B두 회사에 대한 투자액(단위; 백만 원) X와 Y의 비율 A와 B두 회사에 각각 1백만 원씩 투자할 비율 :0.02 A회사에 3백만 원 그리고 B회사에 2백만 원을 투자할 비율 :0.06 회사에 동시에 4백만 원씩 투자할 비율 :0.00 투자자들이 회사 A와 회사 B에 투자한 투자액에 대한 확률 : P(X=1, Y=1) = 0.02, P(X=3, Y=2) = 0.06, P(X=4, Y=4) = 0.00

  4. P(X=x, Y=y) , x ∈ SX , y ∈ SY 0 , 다른 곳에서 f(x, y) = 결합확률분포(joint probability distribution) :두 개 이상의 확률변수에 의하여 결합된 확률분포 ▶ ▶ 결합확률질량함수(joint p.m.f.) :이산확률변수 X와 Y에 대하여, 상태공간 안의 (x, y)에서 확률 P(X=x, Y=y)에 대응 하고, 상태공간 밖의 (x, y)에서 0으로 대응하는 함수 SX = { x1, x2, … , xn } , SY = {y1, y2, …, ym}에 대하여

  5. 모든 x, y에 대하여 0 ≤ f(x, y) ≤ 1이다. • Sf(x, y) = 1 • P(a< X≤ b, c< Y ≤ d ) = S Sf(x, y) c< y ≤ d a<x≤ b ☞ 결합확률질량함수의 성질 X와 Y의 결합상태공간 S = { (x, y) : x = x1, x2, … , xn , y = y1, y2, … , ym } 에 대하여

  6. 동전 3번 던지는 게임 X와 Y의 결합질량함수 f(x, y) 앞면의 수 :X,뒷면의 수 :Y 확률 P(X ≥ 1 , Y ≥ 2) 동전 3번 던지는 게임 X:관찰된 H의 수 Y:관찰된 T의 수 X와 Y의 상태공간 : SX = { 0, 1, 2, 3 }, SY = { 0, 1, 2, 3 }

  7. 3 8 1/8 , (x, y) = (0,3), (3,0) 3/8 , (x, y) = (1,2), (2,1) 0 , 다른 곳에서 3 f(x, y) = 8 X와 Y의 결합확률표 : 결합확률질량함수 : 구하고자 하는 확률 : P(X ≥ 1 , Y ≥ 2) = f(1,2) + f(2,2) + f(3,2) + f(1,3) + f(2,3) + f(3 3) = + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 =

  8. (0,0) (0,0) (0,1) (0,1) (0,2) (0,2) (0,3) (0,3) (1,0) (1,0) (1,1) (1,1) (1,2) (1,2) (1,3) (1,3) (2,0) (2,0) (2,1) (2,1) (2,2) (2,2) (2,3) (2,3) (3,0) (3,0) (3,1) (3,1) (3,2) (3,2) (3,3) (3,3) 예제 1에서 결합상태공간의 분할 S (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3)

  9. 동전을 세 번 던져서 나온 앞면의 수에 대한 확률분포 사건 [X=0]일 확률 사건 [X=1]일 확률 사건 [X=2]일 확률 사건 [X=3]일 확률

  10. 주변확률질량함수(marginal p.m.f.) :이산확률변수 X,Y와 결합확률질량함수 f(x, y)에 대하여 X의 주변확률질량함수 :fX(x) = P(X=x) = Sf(x, y), x=x1,…,xn Y의 주변확률질량함수 :fY(y) = P(Y=y) = Sf(x, y), y=y1,…,ym y x 0 1 2 3 0 0 0 0 1/8 1 0 0 3/8 0 2 0 3/8 0 0 3 1/8 0 0 0 ▶ 뒷면의 수Y X의 주변확률질량함수 앞면의 수X Y의 주변확률질량함수

  11. X, Y의 결합확률표 (1) X와 Y의 주변확률질량함수 (2) P(X≤ 2) = ? (1) X, Y의 결합확률질량함수의 그림

  12. X의 주변확률 : P(X=1) = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) + f(1,4) = 0.02 + 0.04 + 0.08 + 0.15 = 0.29 P(X=2) = f(2,1) + f(2,2) + f(2,3) + f(2,4) = 0.04 + 0.05 + 0.06 + 0.10 = 0.25 P(X=3) = f(3,1) + f(3,2) + f(3,3) + f(3,4) = 0.08 + 0.06 + 0.05 + 0.01 = 0.20 P(X=4) = f(4,1) + f(4,2) + f(4,3) + f(4,4) = 0.15 + 0.10 + 0.01 + 0.00 = 0.26 Y의 주변확률 : P(Y=1) = f(1,1) + f(2,1) + f(3,1) + f(4,1) = 0.02 + 0.04 + 0.08 + 0.15 = 0.29 P(Y=2) = f(1,2) + f(2,2) + f(3,2) + f(4,2) = 0.04 + 0.05 + 0.06 + 0.10 = 0.25 P(Y=3) = f(1,3) + f(2,3) + f(3,3) + f(4,3) = 0.08 + 0.06 + 0.05 + 0.01 = 0.20 P(Y=4) = f(1,4) + f(2,4) + f(3,4) + f(4,4) = 0.15 + 0.10 + 0.01 + 0.00 = 0.26

  13. 0.29 , x=1 0.25 , x=2 0.20 , x=3 0.26 , x=4 0.29 , y=1 0.25 , y=2 0.20 , y=3 0.26 , y=4 fX(x) = P(X=x) = fY(y) = P(Y=y) = Y의 주변확률질량함수 : X의 주변확률질량함수 : (2) 구하고자 하는 확률 : P(X≤ 2) = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) + f( 1,4) + f(2,1) + f(2,2) + f(2,3) + f( 2,4) = 0.02 + 0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.04 + 0.05 + 0.06 + 0.10 = 0.54 또는 P(X≤ 2) = fX(1) + fX(2) = 0.29 + 0.25 = 0.54

  14. f(x, y) ≥ 0 for all x, y ∞ ∞   f(x, y) dxdy = 1 -∞ -∞ 결합밀도함수의 개형 ▶ 결합확률밀도함수(joint p.d.f.):연속확률변수 X와 Y에 대하여, 다음 조건을 만족하는 함수 f(x, y)

  15. b d   P[(X,Y) ∈A] = f(x, y) dydx = f(x, y) dydx A a c   ☞ 연속형 결합확률 구하는 방법 A={ (x, y)|a ≤ X ≤ b , c ≤ Y ≤ d }에 대하여 확률 P[(X, Y) ∈ A]의 기하학적 의미 영역 A와 결합밀도함수 f(x, y)로 둘러싸인 입체의 부피

  16. 주변확률밀도함수(marginal p.d.f.):연속확률변수 X,Y와 결합확률밀도함수 f(x, y)에 대하여 X의 주변확률밀도함수 : fX(x) = f(x, y) dy Y의 주변확률밀도함수 : fY(y) = f(x, y) dx ∞ ∞   -∞ -∞ ▶

  17. x + y , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 0 , 다른 곳에서 f(x, y) = ∞ 1   X의 주변확률밀도함수 : fX(x) = f(x, y) dy = (x + y) dy -∞ 0 [ ] 1 = xy + y2 = x + , 0 ≤ x ≤ 1 y=0 ∞ 1   Y의 주변확률밀도함수 : fY(y) = f(x, y) dx = (x + y) dx -∞ 0 [ ] 1 = x2 + xy = y + , 0 ≤ y ≤ 1 1 2 1 2 1 2 1 2 x=0 결합확률밀도함수 : (1) X와 Y의 주변확률밀도함수 (2) P(0≤ X ≤ ½, ½ ≤ Y ≤ 1) , P(0≤ X ≤ ½) , P(½ ≤ Y ≤ 1) , (1)

  18. 1   P(0 ≤ X ≤ 1/2, 1/2 ≤ Y ≤ 1) = (x + y) dydx 0 1/2 1 [ ] 1 4 1 2 1/2 ( ) 1/2   = xy + y2 dx = dx = + 0 y=1/2 0 [ ] 1/2 ( ) 1/2  P(0 ≤ X ≤ 1/2) = x + dx = x2 + x = 0 0 1 2 1 2 1 2 x 2 1 2 5 8 1 2 3 8 1 2 3 8 (2) 구하고자 하는 확률 : 1/2 [ ] 1 ( ) 1  P(1/2 ≤ Y ≤ 1) = y + dy = y2 + y = 1/2 1/2

  19. , X :이산확률변수인 경우 FX(x) = = S S S fX(t) f(t, y) x ∞ x    fX(t)dt f(t, y)dydt , X :연속확률변수인 경우 t≤x t≤x 모든 y -∞ -∞ -∞ ▶ 결합분포함수(joint d.f.) :임의의 실수 x,y에 대하여 F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y ) X의 주변분포함수:FX(x) = P(X ≤ x ) Y의 주변분포함수:FY(y) = P(Y ≤ y )

  20. (1) FX(x) = lim F(x, y) , FY(y) = lim F(x, y) x→∞ y→∞ (2) A={ (x, y)|a < X ≤ b , c < Y ≤ d }에 대하여 확률 P[(X, Y) ∈ A] P(a < X ≤ b , c < Y ≤ d ) = F(b,d) – F(a,d) - F(b,c) + F(a,c) 2 (3) f(x, y) = F(x, y) xy fX(x) = d d FY(y) FX(x) , (4) dy dx fY(y) = ☞ 결합분포함수의 성질 연속확률변수X와 Y에 대하여

  21. f(x, y) = F(x, y) 2 xy = (1 – e-x ) (1 – e-2y ) = (e-x) (2e-2y) = 2e-(x+2y) , 0 < x < ∞ , 0 < y < ∞ 2 xy FX(x) = lim F(x, y) = lim (1 – e-x ) (1 – e-2y ) = 1 – e-x , 0 < x < ∞ FY(y) = lim F(x, y) = lim (1 – e-x ) (1 – e-2y ) = 1 – e-2y , 0 < y < ∞ y→∞ y→∞ x→∞ x→∞ 결합분포함수 :F(x, y) = (1-e-x ) (1- e-y ) , 0 < x < ∞ , 0 < y < ∞ (1) X와 Y의 결합확률밀도함수 :f(x, y) = ? (2) X와 Y의 주변확률밀도함수 :fX(x) = ? , fY(y) = ? (3) P(1 < X ≤ 2 , 1 < Y ≤ 2) = ? (1) X와 Y의 결합확률밀도함수 : X와 Y의 주변분포함수 :

  22. d dx d dx d dy d dy fX(x) = FX(x) = (1 – e-x) = e-x , 0 < x < ∞ (2)X와 Y의 주변확률밀도함수 : fY(y) = FY(y) = (1 – e-2y) = 2e-2y , 0 < y < ∞ (3) P(1 < X ≤ 2, 1 < Y ≤ 2) = F(2, 2) – F(1, 2) – F(2, 1) + F(1, 1) = (1 - e-2) (1 - e-4) - (1 - e-1) (1 - e-4) - (1 - e-2)2 - (1 - e-1) (1 - e-2) = 0.0272

  23. 결합확률질량함수 : 결합분포함수 : F(x, y) Y X 0 1 2 3 0 0.01 0.05 0.04 0.01 1 0.10 0.05 0.05 0.30 2 0.04 0.15 0.10 0.10 F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y )이므로

  24. 2 조건부 확률분포 조건부 확률분포, 확률변수의 독립성과 종속성 및 항등분포에 대하여 알아본다.

  25. P(A∩B) P(B) , P(B) > 0 P(A|B) = f(x, y) : 이산확률변수 X와 Y의 결합확률질량함수 f(x, y) = P(X = x, Y = y) fX(x) : 이산확률변수 X의 주변확률질량함수 fX(x) = P(X = x) fY(y) : 이산확률변수 Y 의 주변확률질량함수 fY(y) = P(Y = y) A = { X=x }, B = { Y=y } A∩B = { X = x, Y = y } P(A∩B) f(x, y) P(A|B)=P(X=x|Y=y) = = P(B) fY(y) 조건부 확률 Review P(A) = P(X=x) = fX(x) P(B) = P(Y=y) = fY(y) P(A∩B) = P(X=x, Y=y) = f(x, y)

  26. 조건부확률질량함수(conditional p.m.f.) :이산확률변수 X와Y에 대하여, P(Y=y) > 0일 때 를 Y=y일 때 X의 조건부확률질량함수라 하고, f(x|y)로 나타낸다. P(X=x|Y=y) = f(x, y) fY(y) f(x, y) fY(y) f(y|x)= f(x, y) f(x|y) = fX(x) 조건부확률밀도함수(conditional p.d.f.) :연속확률변수 X와Y에 대하여, fY(y) > 0일 때 ▶ X=x일 때 Y의 조건부확률질량함수: ▶

  27. P(X=x,Y=y) P(X=x, Y=y) P(X=x) P(Y=y) y x ☞ 조건부 확률분포의 의미

  28. , x = 1, 2, 3, y = 1, 2, 3 f (x, y) = 0 , 다른 곳에서 x + y 36 y + 2 12 3 3 S S fY(y) = f(x, y) = = , y = 1, 2, 3 f(x, y) fY(y) , x = 1, 2, 3 x=1 x=1 f(x|y) = = = 5 12 (x + y) /36 (y + 2) / 12 x + y 3(y + 2) x + y 36 f(x|y = 2) = , x = 1, 2, 3 x + 2 12 3 + 2 12 P(X=3|Y=2) = f(3|2) = = X와 Y의 결합확률질량함수 : (1) Y의 주변확률질량함수 :fY(y) = ? (2) Y=y인 X의 조건부확률질량함수 : f(x|y) = ? (3) Y=2인 X의 조건부확률질량함수 :f(x|y=2) = ? (4) 조건부 확률 :P(X=3|Y=2) = ? (1) (2) (3) (4)

  29. S S f(y|x) f(x|y) = = P(X ∈ A, Y = y) P(Y = y) P(X = x, Y ∈ B) P(X = x) y∈ B x∈ A P(Y ∈B|X = x) = P(X ∈A|Y = y) = ☞ 조건부 확률 구하는 방법

  30. f(y|x)dy f(x|y)dx = P(Y ∈B|X = x) = P(X ∈ A, Y = y) fY(y) P(X = x, Y ∈ B) fX(x) P(X ∈A|Y = y) = = d b   c a

  31. 0.21 , y = 1 0.24 , y = 2 0.30 , y = 3 0.25 , y = 4 0.32 , x = 1 0.57 , x = 2 0.11 , x = 3 fX(x) = fY(y) = X, Y의 결합확률 : (1) X와 Y의 주변확률질량함수 (2) Y=2인 X의 조건부 확률질량함수 (3) Y=2인 조건 아래서 X=1또는X=3 일 확률 (1)X와 Y의 주변확률질량함수 :

  32. f(1|y = 2) = = 0.333 f(3|y = 2) = = 0.042 f(2|y = 2) = = 0.625 0.333 , x = 0 0.625 , x = 1 0.042 , x = 2 0 , 다른 곳에서 f(x|y) = 0.01 0.24 0.08 0.24 0.15 0.24 f(x|y = 2) = f(x, 2) fY(2) f(x, 2) 0.24 , x = 1, 2, 3 = (2) Y=2인 X의 조건부 확률질량함수 : 조건부 확률질량함수의 정의로부터 X의 조건부 확률질량함수 : (3)구하고자 하는 확률 : P(X = 1 또는 X = 3|Y = 2) = f(1|y = 2) + f(3|y = 2) = 0.333 + 0.042 = 0.375

  33. 독립 사건 Review P(A) = P(A|B) , P(B) > 0 이산확률변수 X와 Y에 대하여 A = { X = x }, B = { Y = y } P(A) = P(X = x) = fX(x) P(A|B)=P(X = x|Y = y) = f(x|y) f(x|y) = fX(x) ?

  34. ▶ 독립(independent) :임의의 실수 x와y에 대하여, fX(x) > 0, fY(y) > 0일 때 fX(x) = f(x|y) 또는 fY(y) = f(y|x) 이면, 두 확률변수 X와 Y를 독립이라 하고, 독립이 아닌 경우에 종속(dependent)이라 한다. ☞ 독립 확률변수의 성질 확률변수 X와Y가 독립이면, f(x, y) = fX(x) fY(y)

  35. ∞ 1 [ ] 1   fX(x) = f(x, y) dy = 6xy2 dy = (2x)y3 = 2x , 0 ≤ x ≤ 1 0 y=0 -∞ 1 ∞ [ ] 1   fY(y) = f(x, y) dx = 6xy2 dx = (3y2)x2 = 3y2 , 0 ≤ y ≤ 1 0 x=0 -∞ 결합확률밀도함수 :f(x, y)=6xy2 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 (1) X의 주변확률밀도함수 : fX(x) = ? (2) Y=1/2인 조건 아래서 X의 조건부 확률밀도함수 : f (x|y=1/2) = ? (3) Y=1/2인 조건 아래서 확률 :P(1/2 ≤ X ≤ 1) = ? (4) X와 Y의 독립성 (1) X의 주변확률밀도함수 : (2) Y의 주변확률밀도함수 :

  36. f(x, ½) fY(½) f(x|y = ½) = = = 2x , 0 ≤ x ≤ 1 (3/2)x 3/4 ( ) ( ) P ≤ X ≤ 1 , Y = fY(1/2) P ≤ X ≤ 1|Y = = 1 = 2x dx = x2 = 1/2 1  1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1/2 fY(1/2)=3/4이므로 Y=1/2인 조건 아래서 X의 조건부 확률밀도함수 : (3) (4) 모든0 ≤ x ≤ 1에 대하여 fX(x) = 2x = f(x|y ) X와Y는 독립

  37. 1/8, (x, y) = (0, 3), (3, 0) 3/8, (x, y) = (1, 2), (2, 1) 0 , 다른 곳에서 f(x, y) = ∞ 1   fX(x) = f(x, y) dy = (x + y)dy = xy + y2 = x + , 0 ≤ x ≤ 1 f(x, y) = x + y ≠ fX(x) fY(y) = x + y + -∞ 0 1 [ ] ( ) ( ) • y=0 ∞ 1   fY(y) = f(x, y) dx = (x + y)dx = x2 + xy = y + , 0 ≤ y ≤ 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 -∞ 0 1 [ ] x=0 다음 결합분포에 대한 X와 Y의 독립성 (1) f(x, y) = x + y , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (2) f(x, y) = 2e-(x+2y) , x > 0, y > 0 (3) (1) X와 Y의 주변확률밀도함수 : 모든 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1에 대하여 X와 Y는 종속

  38. ∞ [ ] ∞  fX(x) = 2e-(x+2y) dy = e-x e-2y = e-x , x > 0 0 y=0 [ ] ∞ ∞  fY(y) = 2e-(x+2y) dx = 2e-2y e-x = 2e-2y , y > 0 0 x=0 1/8, x = 0, 3 3/8, x = 1, 2 0 , 다른 곳에서 1/8, y = 0, 3 3/8, y = 1, 2 0 , 다른 곳에서 fX(x) = fY(y) = 9 64 3 8 3 8 = f(1, 1) = 0 ≠fX(1) fY(1) = • (2) X와 Y의 주변확률밀도함수 : f(x, y) =2e-(x+2y) = fX(x) fY(y) , x > 0, y > 0 X와 Y는 독립 (3) X와 Y의 주변확률질량함수 : X와 Y는 종속

  39. (2) (1) x x y y     F(x, y) = f(u, v)dvdu = fX(u)fY(v)dvdu -∞ -∞ -∞ -∞ ( ) = fX(u) fY(v)dv du = fX(u) FY(y)du ∂ ∂y ( ) = FX(x) FY(y) = FX(x)fY(y) = FY(y) fX(u)du = FX(x)FY(y) 2 x y 2 ∂x ∂y ∂ ∂x ∂ ∂x f(x, y) = F(x, y) = FX(x)FY(y) x x x ∂ ∂x    ( ) = fY(y) FX(x) = fX(x)fY(y) y  -∞ -∞ -∞ -∞ 정리 1 임의의 두 확률변수 X와 Y에 대하여 다음은 동치이다. (1) X, Y : 독립 (2) 모든 x, y에 대하여 F(x, y) = FX(x) FY(y) (3)P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d ) = P(a < X ≤ b ) P(c < Y ≤ d ) 증명 X와 Y가 연속확률변수인 경우 (1) (2)

  40. (1) X, Y : 독립 식 (3)이 성립 P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d ) = F(b, d) – F(a, d) – F(b, c) + F(a, c) 이고, X, Y가 독립이면, F(x, y) = FX(x) FY(y)이므로 P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d ) = FX(b)FY(d) – FX(a)FY(d) – FX(b)FY(c) + FX(a)FY(c) = (FX(b) - FX(a)) (FY(d) - FY(c)) = P(a < X ≤ b ) P(c < Y ≤ d ) 식 (3)이 성립 X, Y : 독립 a, b, c, d가 임의의 수이므로 a = -∞ , c = -∞ , b = x, d = y라 하면, F(x, y) = P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d ) = P(a < X ≤ b ) P(c < Y ≤ d ) = FX(x) FY(y) 이고, 따라서 X와Y는 독립이다.

  41. ▶ 항등분포(identical distribution) :임의의 실수 x에 대하여 fX(x) = fY(x) 일 때, 확률변수 X와 Y는 항등분포를 이룬다 하고, 항등적으로 독립인 분포를 이루는 확률변수를 간단히 i.i.d(independently, identically distributed)로 나타낸다.

  42. f(x, y) = F(x, y) = 6e-(2x+3y) , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞ ∞  fX(x) = 6e-(2x+3y) dy = 2e-2x , 0 < x < ∞ 0 ∞  fY(y) = 6e-(2x+3y) dx = 3e-3y , 0 < y < ∞ 0 ∂2 ∂x ∂y 모든 x >0 , y >0에 대하여 f(x, y) = fX(x) fY(y) X,Y : 독립 모든 x >0 에 대하여 fX(x) = 2e-2x≠ fY (x) = 3e-3x X,Y : 항등분포가 아니다. X와 Y의 결합분포함수 : F(x, y) = (1-e-2x)(1-e-3y) , x >0 , y >0 X와 Y는 i.i.d. ? X와 Y의 결합밀도함수와 주변밀도함수 : X,Y : i.i.d. 가 아니다.

  43. 1/8, (x, y) = (0, 3), (3, 0) 3/8, (x, y) = (1, 2), (2, 1) 0 , 다른 곳에서 f(x, y) = 1/8, y = 0, 3 3/8, y = 1, 2 0 , 다른 곳에서 fY(y) = 모든 x =0, 1, 2, 3 에 대하여 fX(x) = fY (x) X,Y : 항등분포 X와 Y의 결합확률함수 : X와 Y :i.i.d. ? X와 Y의 주변확률질량함수 : 1/8, x = 0, 3 3/8, x = 1, 2 0 , 다른 곳에서 fX(x) = 예제 4에서 X,Y : 종속 X,Y : i.i.d.가 아니다.

  44. 3 결합분포에 대한 기대값 결합분포의 기대값과 공분산, 상관관계 등에 대하여 알아본다.

  45. S g(x) f(x) x E(Y) = E[g(X)] = ∞  g(x) f(x)dx -∞ S S u(x, y) f(x, y) , (X, Y) : 이산확률변수인 경우 모든 x 모든 y E[u(X, Y)] = ∞ ∞   , (X, Y) : 연속확률변수인 경우 u(x, y) f(x, y)dydx -∞ -∞ 확률변수의 함수에 대한 기대값 Review 확률변수의 함수Y = g(X)의 기대값 : ☞ 2변량 확률변수의 함수 u(X, Y)의 기대값 f(x, y) : X와Y의 결합확률함수 u(x, y) : X와Y의 함수

  46. ∞ ∞ ∞    -∞ -∞ -∞ S S S S S  S S S S ∞ ∞ ∞    mX = x f(x, y)dydx = x fX(x)dx 모든 x 모든 x 모든 x 모든 x 모든 y 모든 x 모든 x 모든 y 모든 y 모든 y -∞ -∞ -∞ 2 sX = E[(X - mX)2] = (x - mX)2 f(x, y) [ ] = (x - mX)2 f(x, y) = (x - mX)2 fX(x) 2 sX = (x - mX)2 f(x, y)dydx = (x - mX)2 fX(x)dx ☞ 2변량 기대값의 성질 E[au(X, Y ) + bv(X, Y )] = aE[u(X, Y )] + bE[v(X, Y)] mX = E(X)= x f(x, y) X의 기대값 : [ ] = x f(x, y) = x fX(x) X의 분산 :

  47. Y X 0 1 2 3 0 0.08 0.10 0.11 0.15 1 0.05 0.07 0.09 0.10 2 0.04 0.05 0.07 0.09 2 2 3 3 S S S S mX = E(X)= x f(x, y) mY = E(Y)= y f(x, y) x=0 x=0 y=0 y=0 = 0•(0.08) + 0•(0.10) + 0•(0.11) + 0•(0.15) + 1•(0.05) + 1•(0.07) + 1•(0.09) + 1•(0.10) + 2•(0.04) + 2•(0.05) + 2•(0.07) + 2•(0.09) = 0.81 = 0•(0.08) + 0•(0.05) + 0•(0.04) + 1•(0.10) + 1•(0.07) + 1•(0.05) + 2•(0.11) + 2•(0.09) + 2•(0.07) + 3•(0.15) + 3•(0.10) + 3•(0.09) = 1.78 결합확률질량함수 : (1) E(X) = ? (2)E(Y) = ? (3)E(X + Y) = ? (4)E(X Y) = ?

  48. 2 3 S S E(X + Y)= (x + y) f(x, y) y=0 x=0 = 0•(0.08) + 1•(0.10) + 2•(0.11) + 3•(0.15) + 1•(0.05) + 2•(0.07) + 3•(0.09) + 4•(0.10) + 2•(0.04) + 3•(0.05) + 4•(0.07) + 5•(0.09) = 2.59 2 3 S S E(X Y)= xy f(x, y) x=0 y=0 = 0•(0.08) + 0•(0.10) + 0•(0.11) + 0•(0.15) + 0•(0.05) + 1•(0.07) + 2•(0.09) + 3•(0.10) + 0•(0.04) + 2•(0.05) + 4•(0.07) + 6•(0.09) = 1.47

  49. E(X Y)= xy f(x, y) = xy fX(x)fY(y) [ ] [ ] = x fX(x) y fY(y) = E(X)E(Y) 주 의 S S S S S S ∞ ∞ 정리 2의 역은 성립하지 않는다. ∞ ∞  모든 x 모든 x 모든 y 모든 x 모든 y 모든 y    E(X Y)= xy f(x, y)dydx = xy fX(x)fY(y)dydx -∞ -∞ -∞ -∞ ( ) ( ) ∞ ∞   = xfX(x)dx yfY(y)dy = E(X)E(Y) -∞ -∞ 정리 2 임의의 두 확률변수 X와 Y가 독립이면. 다음이 성립한다. E(X Y ) = E(X ) E(Y ) X와 Y가 이산확률변수인 경우 : 증명 X와 Y가 연속확률변수인 경우 :

  50. fX(x) = 2x , 0 ≤ x ≤ 1 , fY(y) = 3y2 , 0 ≤ y ≤ 1 1 mX = xfX(x)dx = 2x2dx = x3 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 mY = yfY(y)dy = 3y3dy = y4 = 0 E(X Y) = xyf(x, y)dydx = 6x2y3dydx ( ) 1 1 = 6x2 y4 dx = x2 dx = x3 = 2 3 1 4 3 2 1 2 2 3 3 4 3 4 1 2 0 0 결합확률밀도함수 :f(x, y) = 6xy2 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 E(X), E(Y ), E(X Y ) = ? E(X Y ) = E(X)E(Y ) = ? X, Y 의 주변확률밀도함수 : E(X Y ) = E(X)E(Y)가 성립한다.

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