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第二十章 曲线积分

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第二十章 曲线积分. §1 第一型曲线积分. §2 第二型曲线积分. §2 第二型曲线积分. 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算 两类曲线积分的联系. (. =. ,. F. (. x. ,. y. ). P. (. x. ,. y. ). Q. (. x. ,. y. ). ). (1) 常力 ,质点沿直线从. A 移到 B , 所作的功. 1 、第二型曲线积分的概念. 1 )、实例 : 变力沿曲线所作的功.

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Presentation Transcript
slide1
第二十章 曲线积分

§1 第一型曲线积分

§2 第二型曲线积分

slide2

§2 第二型曲线积分

第二型曲线积分的定义

第二型曲线积分的计算

两类曲线积分的联系

slide3

(

=

,

F

(

x

,

y

)

P

(

x

,

y

)

Q

(

x

,

y

)

)

(1) 常力 ,质点沿直线从

A 移到 B, 所作的功

1、第二型曲线积分的概念

1)、实例:变力沿曲线所作的功

设一质点在 xoy 面内从点 A沿光滑曲线 L移动到点B,在移动过程中,这质点受到力

的作用,其中

在 L上连续,

求在上述移动过程中变力

所作的功 W。

slide4

(2) 是变力,且质点沿曲线 L移动。

D

yi

i

D

xi

i

x

h

(

,

)

i

i

(

h

)

=

x

,

x

h

F

)

P

(

,

Q

(

,

)

i

i

i

i

分割

用任意分割T,将曲线L分成n个有向小弧

其中M0=A,Mn=B

取近似

其中

为第i个有向小弧

Mn-1

Mi

C

的弦,

为Ai的坐标

Mi-1

M3

M2

在第i个有向小弧上任取一点

M1

在此点取

slide5

质点在力F作用下,沿第i个小弧从Ai-1到Ai所作的功的近似值质点在力F作用下,沿第i个小弧从Ai-1到Ai所作的功的近似值

作和

取极限

||T||表示小弧段的最大长度

slide6

定义1

设函数 P (x,y)与 Q(x,y) 定义在

平面有向可求长度曲线 L:

对 L的任一分割 T

它把 L分成 n个小曲线段:

其中 M0 = A, Mn = B . 记各小曲线段

的弧长为

分割 T的细度

分点 Mi的坐标为 ( xi , yi), 并记

在每个小曲线段

上任取一点

若极限

slide7

存在且与分割T及点(ξi,ηi)无关,则称此极限为函数 P(x, y), Q(x, y),沿有向曲线 L的第二型曲线积分,也称为对坐标的曲线积分,

记为

也记为

简记为

slide8

沿封闭曲线L的第二型曲线积分表示为

L

L取正向

边界曲线C的正向:当观察者沿曲线行走时,封闭曲线围成的区域D 总在他的左边.

L1

L2

slide9

向量形式的第二型曲线积分:

若记

则记

沿有向曲线 L

于是,力

对质点所作的功为

slide10

类似地,

沿空间有向可求长度曲线 L的第二型曲线积分记为

其中

slide11

第二型曲线积分与曲线 L的方向有关,对同一曲线,

当方向由 A到 B改为由 B到 A时,每一小曲线段的

方向都改变,从而小曲线段的投影

也随之

改变符号,故有

而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的

乘积,它与曲线 L的方向无关. 这是两类曲线积分的

一个重要区别.

第二型曲线积分与曲线的方向有关.

slide12

第二型曲线积分的性质:

1. 若第二型曲线积分

存在,则

其中

为常数.

slide13

2. 若 L可分成 k 条有向光滑曲线弧

说明:

  • 第二型曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
  • 定积分是第二类曲线积分的特例.
slide14
二、第二型曲线积分的计算

设曲线L的参数方程为

1)曲线L光滑,即

x(t),y(t)在以a及b为端点的闭区间上具有一阶连续导数,

2)当参数t单调地由a变到b时,点M (x , y )从L的起点A沿曲线L运动到终点B ,

f(x,y)

上有定义且连续,

3)设

在有向曲线L(A,B)

存在,

第二型曲线积分

slide15

存在,

第二型曲线积分

slide16

曲线L:

把x,y的参数形式代入积分

注意:

a

b

;

定积分的下限

不一定要小于上限

slide17

特殊情形

(1)

L:

y=y(x)

,终点为b

起点为a

=

L :

dx

dx

,

slide18

x=x(y)

(2)曲线L:

,y起点为c ,终点为d,则

slide19

第二型曲线积分的计算公式

1. 曲线L:

2. 曲线L

y=y(x)

,终点为b,

x起点为a

x=x(y)

3.曲线L:

,y起点为c ,终点为d,则

slide20
二、第二型曲线积分的计算

在有向光滑曲线

上连续, t =α对应曲线 L的起点 t =β对应于曲线 L的

终点,则

slide21

例1 计算

其中 L分别

沿如图所示路线

⑴ 直线 AB

解 直线 AB 的参数方程为

所以

slide22

例1 计算

其中 L为

⑵ ACB (抛物线:y = 2( x – 1)2 + 1 )

解 抛物线 ACB 的方程为

y = 2( x – 1)2 + 1

所以

slide23

例1 计算

其中 L为

⑶ ADBA (三角形周界)

解 直线 AD 的参数方程为

所以

直线 DB 的参数方程为

所以

slide24

被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同积分结果不同.被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同积分结果不同.

沿直线 BA 的线积分:

所以

slide25

这里 L:

例2 计算

⑴ 沿抛物线 y = 2x2 , 从 O 到 B

⑵ 沿直线段 OB: y = 2x ;

⑶ 沿封闭曲线OABO

解 ⑴

被积函数相同,起点和终点也相同,但积分结果相同.

slide26

2)计算

a

b

t

,

起点

终点

slide27

对空间有向光滑曲线 L:

参数 t =α对应曲线 L的起点 t =β对应于曲线 L的

终点,则

slide30

=

=

ⅱ)

=

=

注:这里不同路径积分值不同.

slide31

例3 计算第二型曲线积分

L是螺旋线:x = a cos t , y = a sin t , z = b t

从 t = 0 到 t =π上的一段.

slide32

例4. 设在力场

作用下, 质点由

沿L移动到

其中L为

试求力场对质点所作的功.

解: (1)

(2) L的参数方程为

slide34

练习4

AB 所在直线的方向向量

直线方程:

参数方程:

slide35
三、两类曲线积分的联系

设L为从A到B的有向光滑曲线, 以弧长 s为参数,

的参数方程为

其中 l为曲线L的长度.

设曲线L上每一点的切线方向

指向弧长增加的一方.

则L切向量的方向余弦为

slide36

(可以推广到空间曲线上 )

(4) 两类曲线积分之间的联系:

其中

slide37

可用向量表示

有向曲线元;

slide38

两类曲线积分之间的联系

其中,

为在G点的切线GT的方向余弦为

注:1)

表示沿曲线方向的切线GT与x轴、y轴,z轴

正向的夹角,当曲线改变方向时,切线方向也改变,从而方向余弦也变号。

2)P、Q、R及方向余弦均为(x,y,z)的函数

slide40

2、XY平面上,两类曲线积分的关系

规定:法线的正向与切线的正向按右手螺旋系

为x轴的正向与法线的正向的夹角

y

T

在XY 平面上,

x

slide41

y

T

x

slide42

y

T

x

XY 平面上,两类曲线积分的关系式:

其中,

为切线与x轴正向的夹角

其中,

为法线与x轴正向的夹角

slide43

a

b

M

(

x

,

y

)

,

L上点

处的切向量的方向角为

补例

化为第一类曲线积分

2

=

C

y

x

o

(

0

,

0

)

A

(

1

,

1

)

.

其中

是沿

从点

到点

的弧段

其切向量为

y

A

y=x2

M

o

x

slide45

于是两类曲线积分有如下联系

其中

是曲线 L 切向量的方向余弦.

slide46

在三维空间上,有

其中

是曲线 L 切向量的方向余弦.