Bài toán vận tải

1. Bài toán vận tải 1. Mô hình bài toán • Một công ty có m kho hàng, tương ứng kho hàng Ai chứa lượng hàng ai. • Có n điểm bán hàng, tương ứng với điểm bán Bj bán được lượng hàng bj. • Khi chuyển một lượng hàng từ kho Ai sang điểm bán Bj, chi phí vận chuyển là cij. C={cij: i=1.m, j=1.n} • Theo phương án vận chuyển: xij là lượng hàng vận chuyển từ kho Ai sang Bj. X={xij:i=1.m,j=1.n} • Mục tiêu bài toán là chi phí vận chuyển thấp nhất

2. Bài toán vận tải • Phát biểu bài toán • f(x)= ∑∑ cijxij→ min (1) • ∑xij=aii=1.m (2) • ∑xij=bjj=1.n (3) • xij>=0, i=1.m, j=1.n (4) • xij (i=1.m, j=1.n ) Hàng từ Ai(i= 1.m) đến Bj(j=1.n ) • ∑ai=∑bj (i=1.m, j=1.n) cân bằng thu phát • ∑ai∑bj (i=1.m, j=1.n) Không cân bằng thu phát

3. Bài toán vận tải • Sự tồn tại nghiệm cực biên tối ưu (cân bằng thu phát) • Đây là bài toán tối ưu quy hoạch tuyến tính nên có lời giải sẽ là điểm cực biên tối ưu • Do cij ≥ 0, xij ≥ 0 i,j • Vậy hàm luôn bị chặn dưới

4. Bài toán vận tải • Sự tồn tại nghiệm cực biên tối ưu • Xây dựng phương án

5. Bài toán vận tải • Sự tồn tại nghiệm cực biên tối ưu • Vậy bài toán bị chặn dưới và có phương án nên bài toán có phương án tối ưu cực biên • Do tính đặc biệt sẽ thể hiện bài toán này ở dạng bảng

6. Bài toán vận tải 2. Mô hình dạng bảng Thu Phát

7. Bài toán vận tải

8. Bài toán vận tải • Mô hình bài toán vận tải • Ví dụ 1

9. Bài toán vận tải • Mô hình bài toán vận tải • Ví dụ 1: Cân bằng thu phát

10. Bài toán vận tải • Ví dụ 1: Cân bằng thu phát Phương án 1: hàm mục tiêu 91

11. Bài toán vận tải • Ví dụ 1: Cân bằng thu phát Phương án 2: hàm mục tiêu 86

12. Bài toán vận tải • Ví dụ 1: Cân bằng thu phát Phương án 3: hàm mục tiêu 84

13. Bài toán vận tải • Mô hình bài toán vận tải • Ví dụ 2: Không cân bằng thu phát

14. Bài toán vận tải • Ví dụ 2: Không cân bằng thu phát • Phương án 1: 91

15. Bài toán vận tải • Ví dụ 2: Không cân bằng thu phát • Phương án 1: 89

16. Bài toán vận tải • Ví dụ 2: Không cân bằng thu phát • Phương án 2: 84

17. Bài toán vận tải • Mô hình bài toán vận tải • Ví dụ 3: Không cân bằng thu phát

18. Bài toán vận tải • Ví dụ 3: Không cân bằng thu phát • Phương án 1: 95

19. Bài toán vận tải 2. Mô hình dạng bảng • Ô chọn: ô có giá trị x khác không • Ô loại: Là ô không có hàng, tức xij=0, ta có thể để trống ô đó • Dây chuyền: là một đoạn thẳng hay một dãy liên tiếp các đoạn thẳng gấp khúc mà hai đầu mút là hai ô chỉ nằm trên cùng một hàng hoặc một cột với một ô chọn khác thuộc dây chuyền của bảng vận tải • Chu trình: Là dây chuyền khép kín • Như vậy một hàng hoặc một cột mà chu trình đi qua thì chỉ đi qua hai ô và số ô. Do đó số ô ít nhất của một chu trình là 4.

20. Bài toán vận tải • Ví dụ 2: Không cân bằng thu phát (Dây chuyền)

21. Bài toán vận tải Ví dụ chu trình

22. Bài toán vận tải 2. Mô hình dạng bảng • Ma trận X = (xij)m.n thỏa mãn hệ (2) - (4) được gọi là một phương án của bài toán • Phương án: X = (xij)m.n thỏa mãn được gọi là phương án cực biên của bài toán vận tải nếu tập hợp các ô tương ứng với các thành phần dương của nó không tạo thành chu trình. • Phương án X = (xij)m.n được gọi là phương án cực biên không suy biến nếu số ô chọn của nó đúng bằng m+n-1 • Phương án X = (xij)m.n được gọi là phương án cực biên suy biến nếu số ô chọn của nó nhỏ hơn m+n-1

23. Bài toán vận tải • Mô hình dạng bảng • Một phương án thoả mãn yêu cầu (1) được gọi là phương án tối ưu (nghiệm) của bài toán, ký hiệu là Xopt

24. Cách chọn phương án xuất phát 3. Phương án xuất phát a. Phương pháp xuất phát góc tây bắc • Bước 1. Chọn ô nằm ở dòng 1, cột 1 của bảng vận tải. • Bước 2. Phân lượng hàng h = min{a1, b1} vào ô(1,1) • Bước 3. Đánh dấu hàng (cột), theo đó lượng hàng ở trạm phát (trạm thu) tương ứng đã hết (đã đủ). • Bước 4. Quay trở về bước 1 thực hiện công việc ở những ô còn lại.

25. Bài toán vận tải a. Phương pháp xuất phát góc tây bắc 5000 1000 4000 1000 1000 1500

26. Bài toán vận tải a. Phương pháp xuất phát góc tây bắc 10 2 3 5

27. Bài toán vận tải a. Phương pháp xuất phát góc tây bắc

28. Bài toán vận tải a. Phương pháp xuất phát góc tây bắc

29. Bài toán vận tải b. Phương pháp min- cước • Bước 1. Chọn ô có cước phí thấp nhất để phân hàng giả sử là ô (i,j). • Bước 2. Phân lượng hàng h = min {ai, bj} vào ô(i,j) • Bước 3. Đánh dấu các ô thuộc hàng i, hoặc cột j nếu trạm phát Ai đã phát hết hàng, hoặc trạm thu Bj đã nhận đủ hàng. • Bước 4. Quay trở lại bước 1 thực hiện công việc ở những ô còn lại.

30. Bài toán vận tải b. Phương pháp min- cước 4000 1000 2500 2000 1500 2500

31. Bài toán vận tải a. Phương pháp xuất min cước 10 3 2 5

32. Bài toán vận tải a. Phương pháp xuất phát min cước

33. Bài toán vận tải a. Phương pháp xuất phát min cước

34. Bài toán vận tải 4. Thuật toán thế vị • Tiêu chuẩn tối ưu • Phương án cực biên không suy biến X=(xij)m.n được gọi là phương án tối ưu khi và chỉ khi tồn tại các số ui (i=1.m) cho các hàng và các số vj (j=1.n ) cho các cột của bảng vận tải sao cho: • ui + vj = cij, xij>0 (1) • ui + vj < cij, xij=0 (2) • ui (i=1.m), vj (j=1.n) gọi là hệ thống thế vị hàng và thế vị cột

35. Bài toán vận tải • Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải • Bước 1: Tìm phương án cực biên xuất phát X0= (xij)mxn • (Sử dụng một trong các phương pháp đã trình bầy ở trên để tìm phương án cực biên xuất phát - trong trường hợp suy biến cho thêm ô 0)

36. Bài toán vận tải • Phương án xuất phát 5000 1000 4000 1000 1000 1500

37. Bài toán vận tải • Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải • Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu của phương án. • Xây dựng hệ thống thế vị. Hệ (1) là hệ phương trình có (n+m) ẩn và (n + m-1) phương trình độc lập tuyến tính nên hệ (1) có vô số nghiệm. Nếu cho ui (i=1.m) hoặc vj (j= 1.n ) một giá trị a tuỳ ý thì mọi giá trị khác đều xác định được một cách duy nhất theo (1).

38. Bài toán vận tải • Tính ui và vj 0 4 6 -2 -1 3 1

39. Bài toán vận tải • Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải • Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu của phương án. • Tính các số kiểm tra. Dựa vào (2) ta đặt Δij= ui+ vj-cij (i=1.m, j=1.n ) gọi là ước lượng kiểm tra và tính Δij ứng với các ô loại. Có hai khả năng xảy ra: - Nếu mọi Δij≤ 0 (i = 1.m, j = 1.n ) thì phương án đang xét là tối ưu (thuật toán kết thúc). - Nếu tồn tại Δij>0 (i = 1.m, j = 1.n) thì phương án đang xét chưa tối ưu, chuyển sang bước 3

40. Bài toán vận tải • Tính Δij -7 -1 -9 0 7 2

41. Bài toán vận tải • Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải • Bước 3: Xây dựng phương án mới • + Chọn ô điều chỉnh: • Ô (r,s) gọi là ô điều chỉnh nếu: Δrs= max {Δij> 0 (i = 1.m, j = 1.n )}. • + Tìm chu trình điều chỉnh: Là chu trình với ô xuất phát là ô điều chỉnh, các ô còn lại là ô chọn. Gọi V là tập hợp các ô thuộc chu trình điều chỉnh. • + Đánh dấu các ô của chu trình, bắt đầu từ ô điều chỉnh đánh dấu (+) rồi xen kẽ nhau đánh dấu (-), • (+)... cho đến hết chu trình. Ký hiệu V+ là tập hợp các ô có dấu (+), V- là tập hợp các ô có dấu (-). Khi đó: • V= V+υV-.

42. Bài toán vận tải • Tìm chu trình - + - + 7

43. Bài toán vận tải • Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải • Bước 3: Xây dựng phương án mới • + Xác định lượng hàng điều chỉnh: • Đại lượng điều chỉnh: q = min{xij: (i,j)  V-}, q > 0. • Điều chỉnh sang phương án mới: X1 = (x1ij)mxn với: • xij = xij, xij V • xij = xij + q, xij V+ • xij = xij - q, xij V-

44. Bài toán vận tải Q=1000 • Tính phương án mới - + 0 2000 - + 0 7 1000 48500

45. Bài toán vận tải • Thực hiện cho vòng lặp thứ 2 0 6 -2 0 -3 -7 0 -1 2 0 3 8 5 6

46. Bài toán vận tải Q=1500 • Thực hiện cho vòng lặp thứ 2 - + 3500 1500 6 -2 0 - + 2500 1500 -7 + - 2500 0 2 0 39500

47. Bài toán vận tải • Thực hiện cho vòng lặp thứ 3

48. Bài toán vận tải • Thuật toán kết thúc • Không tìm được thế vị tốt hơn • Hàm mục tiêu đạt: 39500 • Ma trận vận tải:

49. Bài toán vận tải Ví dụ 1: 13 7 10 6 3 0 10 5 5 3 -1 3 2 5 4 2 -2 5 6 4 91

50. Bài toán vận tải 2 Ví dụ 1: 13 7 10 6 3 - + 0 10 8 1 2 + - 5 5 3 -1 3 2 5 0 5 4 2 -2 0 5 91 6 4