Vandermonde Matrix

1. Vandermonde Matrix

2. จัดทำโดย นางสาวสิริรัตน์ตุ้นสกุล รหัสประจำตัว 43040989 เสนอ อาจารย์ พัชรี เลิศวิจิตรศิลป์ อาจารย์ที่ปรึกษา อาจารย์กรรณิกาคงสาคร

3. VandermondeMatrix เมื่อเราเรียนพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) เรามักจะพบเอกลักษณ์ที่เรียกว่า Vandermonde determinant ในรูป =

4. Vandermonde Matrix ตัวอย่าง det= (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) = 2 det = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2)) (-2-(-4))(-2-(-3))(-3-(-4)) = (3)(2)(1)(2)(1)(1) = 12

5. ในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียกVandermonde matrix เป็น … (1) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกและn 2 …(2)

6. พิสูจน์ กรณี n = 2 เห็นได้ชัดเจนว่า ….(3) สมมติให้ เป็นจริง เมื่อk เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ det V (x1,…xk,xk+1) ต้องการแสดงว่า เป็นจริง

7. พิจารณา det V (x,…xk,xk+1) = det …(4)

8. เมื่อกระจายตามหลักที่1ค่าของ det V(x,…,xk,xk+1) จะเป็นพหุนามดีกรีk ในx และถ้าแทนx ด้วย จะเห็นว่าค่าของตัวกำหนด(determinant) เป็นศูนย์ ดังนั้นสามารถเขียนได้ว่า det V(x,…,xk,xk+1) = A(x-x2) (x-x3)…(x-xk) (x-xk+1)….(5)

9. เมื่อ A เป็นค่าคงที่จาก (5) จะเห็นว่า A เป็นสัมประสิทธิ์ของ xk ดังนั้นจาก (4) ได้ว่า A = = det V(x2,…,xk+1) = (-1)k สรุปว่า (x-x2)(x-x3)…(x-xk)(x-xk+1) detV= =

10. เมื่อแทนxด้วยx1 det V (x1,…xk,xk+1) = (x1-x2) (x1-x3)…(x1-xk) (x1-xk+1) = = โดยหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้ว่า (2) เป็นจริงทุกๆ n ที่เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวกใดๆ

11. เรามักจะพบVandermonde matrix ในปัญหาดังต่อไปนี้ 1. การสร้างพหุนามค่าสอดแทรก(polynomial interpolation) 2. ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์(differential equation initial value problem) และ 3. การสร้างลำดับโดยกำหนดจากความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (recursively defined sequences) ในที่นี้จะกล่าวถึงเพียงปัญหาทั้ง3 อย่างที่กล่าวไว้แล้วข้างต้นและบทบาทของVandermonde matrix และเพื่อไม่ให้เกิดความสับสน จะเขียนV แทนV

12. 1. พหุนามค่าสอดแทรก(Polynomial interpolation) กำหนดให้พหุนามดีกรีn-1ผ่านจุด(x1, y1), (x2,y2),….,(xn,yn) ต่างกันn จุด เขียนในรูป q(x) =….(6) สัมประสิทธิ์ciหาได้จากระบบสมการ q(xj) = yj ; j = 1, 2 ,…,n

13. เมื่อแทนค่าj = 1, 2,…,n ในพหุนามq(x) จะได้ระบบสมการดังนี้ = y1 = y2 …(7) . . . . . . = yn

14. จากระบบสมการสามารถนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ดังนี้จากระบบสมการสามารถนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ดังนี้ … (8) = สังเกตว่า เมทริกซ์สัมประสิทธิ์จะเป็นตัวสลับเปลี่ยน(transposed) ของVandermonde matrix และตัวกำหนด(determinant) ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของ(7) จะเกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์(2) เห็นได้ชัดว่าเมื่อxi ต่างกันหมดตัวกำหนด(determinant) จะไม่เท่ากับศูนย์สัมประสิทธิ์ของq มีเพียงหนึ่งเดียว

15. q(x) จะสามารถหาได้โดยการปฏิบัติดังต่อไปนี้ กำหนดให้ Q(x) = det …(9)

16. เมื่อแทนxในหลักสุดท้ายด้วยxiจะได้เมื่อแทนxในหลักสุดท้ายด้วยxiจะได้ Q( xi) = det

17. นำหลักสูตรท้ายลบด้วยหลักที่i จะได้ว่าสมาชิกในหลักสุดท้ายเป็น0ยกเว้นสมาชิกตัวสุดท้ายมีค่าเป็น-yi และ Q( xi) = det = -yi det V(x1,…,xn) หรือyi = -….(10)

18. สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุกi = 1, 2, 3…,nและเพราะว่าq(xi) = yi ดังนั้นจะได้ว่าq(x) =….(11) ในที่นี้Vandermonde determinant มีความสำคัญอย่างเห็นได้ชัดในการสร้างพหุนามค่าสอดแทรก(polynomial interpolation) ผ่านจุดต่างกันn จุด

19. ตัวอย่าง กำหนดให้พหุนามกำลัง2ที่ผ่านจุด(-3, 4), (0, 1), (2, 9) คือq(x) = เมื่อแทนค่า(x1, y1) =(-3,4) , (x2 y2) = (0,1) และ (x3, y3) = (2,9) ลงในสมการ จะได้ = 4 = 1 = 9

20. จากระบบสมการสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ดังนี้จากระบบสมการสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ดังนี้ = VTC = Y det V(x1,x2,x3) = det = (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0) = (5) (3) (2) = 30

21. จาก(9) ; กำหนดให้ Q(x) = det = - จะได้Q(x) = -30 + (-60)x -30 x2 จาก(11) ; q(x) = ดังนั้น q(x) = 1 + 2x + x2 #

22. 2. ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์(Differential equation initial value problems) พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ ….(12) เมื่อa0,a1,…an เป็นค่าคงที่และD แทนการหาอนุพันธุ์เทียบกับt พร้อมด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น Djy(0) = yj ; j = 0, 1, 2,…,n-1 ….(13) สมการ(12)มีพหุนามลักษณะเฉพาะ (characteristic polynomial)

23. จากสมการ(12)จะมีผลเฉลยyi = ; i = 1, 2,…,n และเมื่อผลเฉลยทั้งn ผลเฉลยจะเป็นอิสระเชิงเส้นดังนั้นผลรวมเชิงเส้น(linear combinations) ของyi = คือ y = เป็นผลเฉลยของ(12)ด้วย Dy และ … เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้นจาก(13)จะได้ระบบสมการ = yj ; j = 0,1,2,…,n-1

24. ระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็นระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น = VC = Y…(14) เมื่อV =, C = , Y = ถ้าxiต่างกันผลเฉลยของ(14)มีหนึ่งเดียว จะเห็นว่าVandermonde matrixมีบทบาทในการหาค่าคงที่Cของผลเฉลยของปัญหา

25. ตัวอย่าง = 0 ; y0= 1,y1 = 9, y2= 17 ( D3 - 3D2 – D + 3 )y = 0 พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(D) = D3 - 3D2 – D + 3 = (D + 1)(D – 1)(D – 3) วิธีทำ ผลเฉลยคือ เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้น(13)จะได้ = 1 = 9 =17

26. จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็นจากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น = V C = C = #

27. 3.ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด3.ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (Recursively defined sequences) ให้เป็น n พจน์แรกของลำดับที่มีความสัมพันธ์กันตามสมการ ….(15) เมื่อ aiไม่ขึ้นกับ k จะเรียกลำดับนี้ว่าrecurrent sequence ตัวอย่างของลำดับนี้ที่รู้จักกันดีคือ Fibonaci sequence ซึ่งเริ่มจาก 0,1,1,2,3,… และแต่ละพจน์จะเป็นผลรวมของ 2 พจน์ที่อยู่ข้างหน้า

28. ในอีกทางหนึ่งเรากำหนดให้ {yj} เป็นลำดับที่มี n + 1 พจน์ซึ่งสอดคล้องกับสมการในรูปแบบข้างต้นเป็น ….(16) ซึ่ง y0, y1 ,y2, …, yn-1เป็นค่าเริ่มต้นที่กำหนดไว้แน่นอนสมการที่(16)จะเรียกว่าสมการเชิงผลต่าง (difference equations) และสมการนี้เป็นสมการที่สำคัญในการสร้างแบบจำลองปัญหาต่างๆ

29. สมการ(16)หาคำตอบได้โดยการให้ yjอยู่ในรูปฟังก์ชันของ j ซึ่งเหมือนกับที่กล่าวมาในสมการเชิงอนุพันธ์ กำหนดตัวดำเนินการ L โดยที่ L {yj} = {yj+1} , j=0,1,2,… เรียกตัวดำเนินการนี้ว่า ตัวดำเนินการเลื่อน (Shifting Operator) ซึ่งเลื่อนลำดับy0, y1, y2,… ไปทางซ้ายเป็นลำดับ y1, y2, y3,… สมการ(16)เขียนใหม่ได้เป็น Ln{yj}+ an-1Ln-1{yj}+…+a1L{yj}+a0L{yj}={0}….(17)

30. ซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(L) = Ln+an-1Ln-1+…+ a0 = (L-x1)(L-x2)…(L-xn) ถ้า x1, x2,…, xnต่างกันหมดผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของลำดับนี้จะเป็นผลเฉลยของสมการ(17)ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของ(17)คือ

31. เมื่อใช้ค่าเริ่มต้นพบว่าสัมประสิทธิ์ cjจะสอดคล้องกับ(14)คือ

32. จะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็นจะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น เมื่อV = V(x1,…,xn) , C = [c1c2…cn]T , Y = [y0y1…yn-1]T

33. ตัวอย่าง พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง yn+2 - 5yn+1+ 6 yn = 0 ; y0=9 , y1 = 23 เขียนในรูปตัวดำเนินการ L ได้เป็น (L2 – 5L + 6)yn = 0 พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(L) = L2 + 5L+6 = (L-2)(L-3) ดังนั้นผลเฉลยคือ yn = c12n + c23n เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้นจะได้ c1 + c2 = 9 2c1 +3c2 = 23

34. จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็นจากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น C = V-1Y0 # เห็นได้ชัดว่า Vandermonde determinant จะครอบคลุมการแก้ของปัญหาต่างๆตามที่กล่าวมา

35. แต่ละกรณีข้างต้น Vandermonde matrix เกี่ยวข้องกับปัญหาของการหาค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น ในปัญหาพหุนามค่าสอดแทรกปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์และของสมการเชิงผลต่างสามารถหาสูตรของผลเฉลยที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ V(x1,…,xn) โดยตรงโดยหลีกเลี่ยงการเกี่ยวข้องกับการใช้ผลรวมเชิงเส้น (linear combinations)

36. พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์(12)พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์(12) หรือ มีพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ

37. เมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดยกำหนดเมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดยกำหนด

38. เขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็นเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น ….(18) หรือDY = AY….(19) เมื่อYเป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยสมาชิก Aเป็นเมทริกซ์ขนาดn x nซึ่งอยู่ทางขวาของสมการ(18)

39. ผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง(18)ทำได้โดยหาค่าเจาะจงจากสมการผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง(18)ทำได้โดยหาค่าเจาะจงจากสมการ กระจายตัวกำหนดตามแถวที่ n จะได้สมการ

40. สำหรับ หาเวกเตอร์เจาะจงC1จาก ดังนั้น

41. เลือกc1 = 1 จะได้และ

42. ทำนองเดียวกัน 

43. ผลเฉลยทั่วไปคือ

44. จัดเป็น … (20) เมื่อ=

45. เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้นDjy(0) = yj ; j = 0,1,2,…,n-1จะแทนด้วย Y(0) = Y0….(21) ทำให้ได้ว่า Y0= VIC = VCหรือC = V-1Y0 สุดท้ายจะได้ผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ(19)และ(21)จะอยู่ในรูป ….(22)

46. สังเกตว่า ถ้า แล้ว ดังนั้น….(23)

47. ในทำนองเดียวกันจาก(22 )กำหนดเมทริกซ์ exponential ดังนั้นผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์คือ ….(24)

48. ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของสมการ วิธีทำ พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ ดังนั้น กำหนดให้ และ

49. ผลเฉลยของสมการคือ นั่นคือ และ #

50. พิจารณาสมการเชิงผลต่าง(17)พิจารณาสมการเชิงผลต่าง(17) Ln{yj}+an-1Ln-1{yj}+….+a1L{yj}+a0{yj}= {0} จะเปลี่ยนรูปเป็นระบบสมการในวิธีทำนองเดียวกันโดยเราจะพิจารณาลำดับของเวกเตอร์{yj} สมการ(17)จะกลายเป็น L{Yj} = {AYj}….(25) เมื่อ A คือเมทริกซ์ที่เคยกล่าวถึง เมื่อL{Yj} = {Yj+1}แล้วสมการ(25)จะสมมูลกับ Yj+1 = AYj….(26)