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第六章 时变电磁场和平面电磁波

第六章 时变电磁场和平面电磁波. Time-varying Electromagnetic fields and plane wave. §6.1  时谐电磁场 时谐场中场量的表示 复数形式的麦克斯韦方程 复坡印廷矢量与复坡印廷定理 §6.2 理想介质中的平面波 §6.3 导电媒质中的平面波 §6.4 等离子体中的平面坡 §6.5 电磁波的极化 §6-6 相速和群速. 为时间因子，它反映了电场强度随时间变化的规律。. §6-1. 时谐电磁场. Time harmonic electromagnetic fields.

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第六章 时变电磁场和平面电磁波

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  1. 第六章 时变电磁场和平面电磁波 Time-varying Electromagnetic fields and plane wave • §6.1  时谐电磁场 • 时谐场中场量的表示 • 复数形式的麦克斯韦方程 • 复坡印廷矢量与复坡印廷定理 • §6.2理想介质中的平面波§6.3导电媒质中的平面波§6.4等离子体中的平面坡§6.5 电磁波的极化 • §6-6 相速和群速

  2. 为时间因子，它反映了电场强度随时间变化的规律。为时间因子，它反映了电场强度随时间变化的规律。 §6-1. 时谐电磁场 Time harmonic electromagnetic fields 时谐电磁场又称为正弦电磁场，在这种形式的场中，激励源以单一频率随时间作正弦变化，在线性系统中，一个正弦变化的源，在系统中所有的点产生的场随时间做正弦变化 在线性媒质中，以任意规律随时间变化的的电磁场，都可分解为一系列正弦场的叠加。 • 时谐电磁场场中物理量的表示 时谐场的相量表示法 电场强度复振幅矢量 它只是空间坐标的函数，与时间t无关。

  3. 其他场分量的表示形式

  4. 复矢量的运算 • 麦克斯韦方程的复数形式

  5. 上式表明这些复数的实部相等，且等式两边都有时间因子 ，故意味着相应的复数相等，即

  6. 为了方便，约定不写出时间因子e j t，去掉下标m且不加点，即得 电流连续性原理 麦克斯韦方程的复数形式为 本构关系 方程中的场量与原来的形式有何不同

  7. 则无源空间的波动方程变为： 亥姆霍兹方程 • 亥姆霍兹方程 在时谐场中，由于场量随时间呈正弦规律变化，则 若令： ，则亥姆霍兹方程变为 说明：亥姆霍兹方程的解为时谐场（正弦电磁波）。

  8. 例 在自由空间某点存在频率为5 GHz的时谐电磁场, 其磁场强度复矢量为 (1)求磁场强度瞬时值H(t); (2)求电场强度瞬时值E(t)。 解：

  9. （2）

  10. 时谐场中的动态位函数 复数形式的洛仑兹规范 动态位函数满足的微分方程的复数形式

  11. 、 为场量的复数表达式； 为对场量 取共轭运算。 • 时谐场中的坡印廷矢量和平均坡印廷矢量 瞬时坡印廷矢量： 复坡印廷矢量 平均坡印廷矢量：

  12. 证明：

  13. 边界条件的复数形式 • 边界条件的复数形式与瞬时形式相同, 只是各物理量不是瞬时值而是复数值:

  14. 例:两无限大理想导体平板相距d, 坐标如图6-2所示。在平行板间存在时谐电磁场, 其电场强度为 (1)求磁场强度H(t); (2)求坡印廷矢量S(t)及平均功率流密度; (3)求导体表面的面电流分布。

  15. 解: (1)

  16. (2)

  17. (3) x=0板： x=d板：

  18. §6-2 理想介质中的平面波 Plane wave in a perfect dielectric 理想介质：均匀、线性、各向同性、无耗、无源 一、平面波的解 (solution for plane wave) 假定平面波的传播方向为z向，等相位面为X-Y平面,电场为X轴方向，且它仅为z的函数，则电场和磁场可表示为： 其中 推导

  19. 式中: 、 为待定常数（由边界条件确定）. • 电磁场满足的微分方程为 • 波动方程平面波解 • 通解的实数表达形式为：

  20. Ex   2π kz 3π π 0 不同时刻 的波形 • 表示向+z方向传播的均匀平面波； • 表示向-z方向传播的均匀平面波； • 通解的物理意义： 随时间t增加，波形向+z方向平移。故： • 亥姆霍兹方程通解的物理意义：表示沿z向(+z,-z)方向传播的均匀平面波的合成波。

  21. 二、无界空间中的平面波 • 场量 ， 的关系 Plane wave in free space • 在无界空间中波只会沿一个方向传播，没有反射波 • 平面波的解为 • 平面波的参数 传播特性 • 能量密度和能流密度

  22. 平面波的解为  t称为时间相位。kz称为空间相位。空间相位相等的点组成的曲面称为波面或等相位面。 由上式可见，z =常数的平面为波面。因此，这种电磁波称为平面波。 因 Ex(z)与 x, y无关，在 z =常数的波面上，各点场强相等。因此，这种波面上场强均匀分布的平面波又称为均匀平面波。

  23. 波数k、波长与波矢量 波数k:长为 距离内包含的波长数。 • 平面波的参数 • 波的频率和周期 角频率(Angular frequency)： 周期(period)： 波长(wavelength):

  24. 即为表示波传播方向的单位矢量。 式中：k即为波数 波矢量: • 说明：平面波的频率是由波源决定的，它始终与源的频率相同，但是平面波的相速与媒质特性有关。因此，平面波的波长与媒质特性有关。  自由空间的波长： 媒质中波长：  平面波在媒质的波长小于真空中波长

  25. Ex  2π z 3π π 0 相位： • 相位速度(phase speed)（波速）vp 如图所示电磁波向+z方向传播，从波形上可以认为是整个波形随着时间变化向+z方向平移。 两边对时间t取导数，得：

  26.  真空中电磁波的相位速度： 真空中电磁波相位速度为光速。  电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关。考虑到一切媒质相对介电常数 r>1，又通常相对磁导率r<1，因此，理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速 。  相速度即等相位面移动的速度，与观察方向有关，通常指沿传播方向的相速度，不代表能量的传播速度

  27. 场量 ， 的关系 Ex z Hy 式中 • 在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场相位相同，且两者空间相位均与变量 z有关，但振幅不会改变。 左图表示 t = 0时刻，电场及磁场随空间的变化情况。

  28. 说明： 、 、 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。 波阻抗(wave impedance): 指与传播方向垂直的横平面上电场与磁场的振幅之比。 真空中的波阻抗

  29. 实数表达形式 电场能量密度： 磁场能量密度： 电磁波的能量密度： • 能量密度和能流密度 • 结论：理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。 电磁波的能流密度：

  30. 三、均匀平面波的特点 是 TEM波  • 是行波。行波因子 或 反映了波的传播方向和传播速度。 • 电场、磁场和传播方向两两垂直，且满足右手定则 • 电场和磁场相位相同，波阻抗为纯电阻性。 • 在等相位面上电场和磁场均等幅，且任一时刻，任一处能量密度相等. • 电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减。 • 波的传播速度（相速度）仅与媒质参数有关，而与频率无关（非色散）

  31. 例 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿+Z方向传播，介质的特性参数为 。设电场沿x方向，即 。已知：当t=0, z=1/8 m时，电场等于其振幅值 。 试求:（1）波的传播速度、波长、波数；（2）电场和磁场的瞬时表达式； （3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。 解：由已知条件可知：频率: 振幅: (1)

  32. (2)设 由条件，可知： 由已知条件，可得：

  33. (3) 另解：

  34. (3) 另解：

  35. §6-3 导电媒质中的平面波 • 导电媒质的典型特征是电导率 ≠ 0。 • 电磁波在其中传播时，有传导电流 存在，同时伴随着电磁能量的损耗，电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同。 Plane wave in a conducting medium 一、导电媒质中的麦克斯韦方程 二、导电媒质中的波动方程的解 三、导电媒质中的平面波的传播特性 四、媒质导电性对场的影响

  36. 一、导电媒质中的麦克斯韦方程 称为复介电常数或等效介电常数 • 在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为 第一个方程可以改写为 • 引入等效复介电常数后的麦克斯韦方程组

  37. 其中： ，仅与媒质本身介电常数有关； ，与媒质本身导电率和波的频率有关； • 损耗角正切 为了方便描述导电媒质的损耗特性，引入媒质损耗角正切 • 复介电常数

  38. 二、导电媒质中的波动方程的解 • 导电媒质中的波动方程为： 式中： 称为复波数。 比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程可知：方程形式完全相同，差别仅在于 式中： ，为复数。 • 在损耗媒质中波动方程对应的沿+z方向传播的均匀平面波解为：

  39. 损耗媒质中波动方程解为： 写成实数形式（瞬时形式），得： 令 , 幅度因子，衰减常数(attenuation constant)；(Np/m) 相位因子；相位常数(phaseconstant):(rad/m) 与k相同，即为损耗媒质中的波数。

  40. 幅度因子和相位因子

  41. 三、导电媒质中的平面波的传播特性 在损耗媒质中： 传播因子： 波为均匀平面波（行波）。 振幅： 随着波传播(z增加)，振幅不断减小。 在理想媒质中： • 波的振幅和传播因子 • 相位速度（波速） • 损耗媒质中波的相速与波的频率有关。

  42. 色散现象(dispersion)：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的现象。具有色散效应的波称为色散波(dispersive wave) • 结论：导电媒质（损耗媒质）中的电磁波为色散波。 • 导电媒质中平面波的波长 • 波长不仅与媒质特性有关，而且与频率的关系是非线性的

  43. 场量 ， 的关系 可以推知：在导电媒质中，场量 ， 之间关系与在理想介质中场量间关系相同，即： 为波传播方向 为导电媒质本征阻抗 四、媒质导电性对场的影响 磁场的振幅也不断衰减，且磁场强度与电场强度的相位不同

  44. Ex z Hy • 特性阻抗 电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；

  45. 、 、 三者满足右手螺旋关系 • 电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位 ； • 无限大导电媒质中电磁波的特性： • 为横电磁波（TEM波）， • 电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小； • 是色散波。波的相速与频率相关。 • 是衰减波。频率越高，电导率越大，衰减越快

  46. 五、良导体中的平面波(Plane wave in a good conductor) 对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由 决定。 在良导体中， ，则前面讨论得到的 ， 近似为 • 媒质的分类 媒质是良导体还是弱导体，与电磁波的频率有关，是一个相对的概念。 • 良导体中的电磁波

  47. 重要性质1：在良导体中，电场相位超前磁场相位重要性质1：在良导体中，电场相位超前磁场相位 • 在良导体中，衰减因子 。对于一般的高频电磁波(GHz)，当媒质导电率较大时， 往往很大，电磁波在此导电媒质中传播很小的距离后，电、磁场场量的振幅将衰减到很小。 • 重要性质2：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良导体内激励的高频电流也只存在于导体表层附近，这种现象成为趋肤效应(skin effect)。 我们用趋肤深度(skin depth)(穿透深度)来表征良导体中趋肤效应的强弱。

  48. 趋肤深度 ：电磁波穿入良导体，当波的幅度下降为表面处振幅的 时，波在良导体中传播的距离，称为趋肤深度。 在弱导体中， ，则前面讨论得到的 ， 近似为 • 弱导体中的电磁波 在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近似等于理想媒质中波的相位常数，

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