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圓心角 、 圓周角及弦切角

圓心角 、 圓周角及弦切角. 主題一 : 圓心角與弧的度數. 主題二 : 圓周角. 主題三 : 弦切角. 主題一 : 圓心角與弧的度數. 圓心角. 你能看出下圖中各時針與分針的角度嗎 ?. 12. 12. 3. 8. 他們以 半徑. 我們將兩個鐘面都畫成圓 ，. 觀察  AOB 和 COD ，. 像這樣以頂點為圓心 ， 兩半徑為邊所. 為邊 ， 頂點在 圓心 上 ，. 組成的角 ，. 稱為 圓心角. C. A. O. D. O. B. 主題一 : 圓心角與弧的度數. 弧. A. 觀察右圖的扇形區域 ，. 圍出扇形區域的. O.

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圓心角 、 圓周角及弦切角

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Presentation Transcript

  1. 圓心角、圓周角及弦切角 主題一:圓心角與弧的度數 主題二:圓周角 主題三:弦切角

  2. 主題一:圓心角與弧的度數 圓心角 你能看出下圖中各時針與分針的角度嗎? 12 12 3 8 他們以半徑 我們將兩個鐘面都畫成圓， 觀察AOB和COD， 像這樣以頂點為圓心，兩半徑為邊所 為邊，頂點在圓心上， 組成的角， 稱為圓心角 C A O D O B

  3. 主題一:圓心角與弧的度數 弧 A 觀察右圖的扇形區域， 圍出扇形區域的 O 邊除了 半徑 和 外， 還有一段曲線 B AB， 這一段曲線AB是圓的一部分， 我們稱 為圓心角AOB所對的弧， 這一段曲線AB ( 簡稱AB弧，記為AB • 表示AB弧 ( AB的意義 2) 表示AB弧的度數 3) 表示AB弧的長度

  4. 主題一:圓心角與弧的度數 弧的度數 將兩個半圓的量角器拼成一個圓，我們 發現整個圓的圓周被分割成360等分， 每一等分所對應的圓心角是 ，此時 也就是說 我們說這個弧的度數是， 圓上一弧的度數就是它所對 圓心角的度 ， 所以圓周 數，整個圓周是360個 一圈是 。 A ( O AB的度數= AOB= ( AB的長度=圓周長 B

  5. 主題一:圓心角與弧的度數 例題1 如右圖，圓O的半徑10公分， 有一個圓心角 ，求 COD= D • COD所對弧CD的長度為多少? O C 10cm (2)COD所對弦 的長度 為多少? 所圍成扇形COD (3) 和CD 、 面積和周長各為多少?

  6. 主題一:圓心角與弧的度數 例題1解 D (1)COD=60 占整個圓周的 = 10 ( 所以CD =圓周長 = 2 10 60 O C = 公分 (2)因為ΔCOD中 COD=60 ，又 ，所以ΔCOD為正三角形， = 故 =10公分 圓面積 (3)扇形面積 = = 10 10 = 公分 ( 扇形周長= + +CD =10+10+ 20+ = 公分

  7. 主題一:圓心角與弧的度數 例題2 A ( ( 如右圖， 圓O中 AB 的度數 = CD 的度數， B 、弦 是否等長? 請問 弦 為什麼? C O 解: 、 COD所對 (1)圓心角AOB ( ( 的弧AB 、 CD 相等， 所以 COD AOB = D (2)因為在ΔAOB 和 ΔCOD中， = ， = (同圓半徑) 且 AOB =COD， (SAS)  ΔOABΔOCD = 

  8. 主題二:圓周角 圓周角 角的頂點在圓周上， 且角的兩邊都是弦， 我們稱這樣的角為圓周角。 P 如右圖，APB就是圓周角， AB就是 APB所對的弧。 A B ( 右圖的圓內有幾個圓周角?

  9. 主題二:圓周角 圓周角 是它所對弧度數的一半 是它所對弧圓心角度數 • 也就是說:圓周角的度數 • 性質:圓周角的度數 的一半 A ( APB = AB B o AOB = P 直徑或半圓所對的圓周角為幾度? ? ?

  10. 主題二:圓周角 圓周角 性質:圓周角的度數是它所對弧度數的一半 A 證明(1)當圓周角的一邊是直徑時 : 如右圖， 為圓O的直徑， ABC為圓周角， C B O ( ，連接 AC是這個角所對的弧  ABC = BAO 則 = 又AOC是ΔAOB外角  AOC = BAO + ABO =2 ABC ( AOC 為圓心角  AOC =AC=2 ABC  ABC= AOC = ( AC

  11. 主題二:圓周角 圓周角 且圓心在圓周角內 A 證明(2)當圓周角的兩邊都不是直徑， 如右圖， 過B作圓O的直徑 由證明(1)可知 B O D AOD， DOC ABD = DBC = ABC = ABD + DBC C = = AOD + DOC AOC ( = ( AC 又AOC  ABC= AC

  12. 主題二:圓周角 圓周角 證明(3)當圓周角的兩邊都不是直徑， 且圓心不在圓周角內 A 如右圖， 過B作圓O的直徑 C AOD， COD ABD = CBD = B D O - ABC = ABD CBD AOD - = = COD AOC ( ( = AC  ABC= AC 又AOC

  13. 主題二:圓周角 圓內接四邊形 性質:圓內接四邊形對角互補 為圓周上四點， 連接 如右圖， A 、B 、 C 、D 、 、 、 得到四邊形ABCD A D 求證: = 180 BAD + BCD 證明 BAD = BCD ， BCD = BAD C B BAD + BCD = BCD + BAD = (BCD+BAD) = = 180 360

  14. 主題二:圓周角 平行線截等弧 如右圖， 已知 平行 ， A B ( ( 求證: AC=BD 1 C 2 D 連接 ，  平行 證明  1 =2 (內錯角相等) ( ( 又 AC=2 1 且 BD=2 2 ( (  AC=BD

  15. 主題二:圓周角 圓內角 其所形成的角，稱為圓內角。 意義:當兩弦在圓內相交時， 性質:圓內角的度數等於此角及其對頂角所對之兩弧度數和 的一半。 如右圖， 、 兩弦交於圓內一點P 求證: ( ( APC = (AC+BD) A D 證明 連接 ， 在ΔADP中 　 3 2 1 P 2+ 3 1 = (外角定理) C B = ( ( AC+ BD = ( ( (AC+BD)

  16. 主題二:圓周角 圓內角 例題1 D 如右圖， ADB = 30 ， A 30 50 DEC =80 ， 則: E ( (1)CD =________ B C (2) ACB =_______ 解: (1) ( = AB 2 ADB =60 (2) ACB與ADB ( ( DEC = (AB+CD) ( 同對AB ( 80 = ( 60 +CD )  ACB =ADB=30 ( 160 = 60 + CD ( CD=100

  17. 主題二:圓周角 圓外角 其所形成的夾角，稱為圓外角。 意義:當兩割線相交在圓外時， 性質:圓外角的度數等於其所對兩弧度數差的一半。 如右圖， 兩割線 相交於圓外一點P 、 P B 求證: ( ( APC = (AC-BD) D 2 證明 連接 ， 在ΔADP中 　 A 1 1- 2 (外角定理) APC = = ( ( AC- BD C ( ( = (AC-BD)

  18. 主題二:圓周角 圓外角 例題2 ( 如右圖， 若AC = 120 ， A ( B BD = 50 ， 則: E 50 120 F (1) E =________度 D (2) AFB =_______ 度 C ( ( 解:(1) E = (AC-BD) (2) ( ( AFC = (AC+BD) (120 –50 ) = = (120 +50 ) =35 =85 AFB =180-85=95

  19. 主題三:弦切角 弦切角 意義:一切線與過切點的弦所形成 的角，稱為 弦切角。 如右圖， ( 稱為弦切角的夾弧， 為弦， 為切線， AB B為切點， 為弦切角。 則稱ABC A 如下圖， 如果A在圓周上移動， 弦切角ABC 可以發現， AB越大時， ( B C A 就越大。 為直徑時， 當 ABC =90 = ( 半圓AB C B

  20. 主題三:弦切角 弦切角 性質:弦切角的度數等於 它所夾弧度數的一半。 [已知] 切圓O於P點， ( 是弦切角APC的夾弧 。 CP [求證] ( APC = CP 。 [證明] (1)如右圖， 弦切角APC為直角時: 當 C  APC =90 ， 即  為直徑，  ( =180 ， CP O  ( APC =90 = CP 。 B A P

  21. 主題三:弦切角 弦切角 性質:弦切角的度數等於 它所夾弧度數的一半。 [已知] 切圓O於P點， ( 是弦切角APC的夾弧 。 CP [求證] APC = CDP 。 [證明] (2)如右圖， 弦切角APC為鈍角時: 當 過P點作直徑 ， 由(1)的證明結果可知 D APC = CPD + APD C O = ( + ( CD DP = CDP B A P

  22. 主題三:弦切角 弦切角 性質:弦切角的度數等於 它所夾弧度數的一半。 [已知] 切圓O於P點， ( 是弦切角APC的夾弧 。 CP [求證] ( APC = CP 。 [證明] (3)如右圖， 弦切角APC為銳角時: 當 過P點作直徑 ， 由(1)的證明結果可知 D APC = APD -CPD C ( = - O DC DCP ( = CP B A P

  23. 主題三:弦切角 弦切角 例題1 P X Y 如右圖， 切圓於P ，若 ABP=44 ， ACB=140，則: A (1)XPA =_______ 度 44 (2) YPB =_______ 度 B 140 C 解:(1)  ( XPA = AP (2)  APB= ACB 且ABP = ( AP = 140 =70  XPA= ABP=44  XPB= 180 –70 - 44 =66

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