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Approximationsalgorithmen

Approximationsalgorithmen. …liefern in polynomieller Zeit Lösungen für Optimierungsprobleme, die nur um einen festen Faktor (die Güte des Appr. Algo) vom Optimum entfernt sind. TSP : Falls in (G, w) die kürzeste Rundreise Länge k hat,

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Approximationsalgorithmen

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  1. Approximationsalgorithmen • …liefern in polynomieller Zeit Lösungen für Optimierungsprobleme, die nur um einen festen Faktor • (die Güte des Appr. Algo) vom Optimum entfernt sind. • TSP: Falls in (G, w) die kürzeste Rundreise Länge k hat, • muss ein Appr. Alg. mit Güte c eine Rundreise • der Länge liefern. • [Minimierungsproblem, c > 1] • Rucksack: Falls G, g, W eine Lösung mit Gewicht k erlaubt, • muss ein Appr. Algo mit Güte c eine Lösung mit • Gewicht liefern. • [Maximierungsproblem, c < 1]

  2. Bsp 1: Max-Cut • Ein Schnitt (Cut) eines Graphen G = (V, E) • ist definiert durch eine Menge • w(S):= # Kanten zwischen S und V-S in G. • Max Cut: Berechne zu Graph G einen Max-Cut, d.h. • Zugehöriges Entscheidungsproblem: • Eingabe: (G, k) • Frage : Ist Max-Cut • ist NP-vollständig.

  3. Appox. Algo für Max-Cut • Eingabe: G = (V, E) • S := • Solange v 2 V existiert, so dass w(S M {v}) > w(S) ist, • setze S := S M {v} • Ausgabe w(S), S • Laufzeit: O(E) pro Schleifendurchlauf, · E Schleifen- • durchläufe polynomielle Laufzeit • Appr. Güte: Algo liefert Lösung mit Güte ¸ ½ • d.h. Für jeden Graphen G liefert er eine Lösung • w(S) ¸ ½ Optimum

  4. Bsp. 2: Metrisches TSP (MTSP) • Eingabe: vollst. Graph G mit Kantengewichten • w(e) 2 , so dass die Dreiecksungleichung • gilt: w(a,c) · w(a, b) + w (b,c). • Ausgabe: minimale Rundreise (Permutation  ) • Spezialfall: Euklidisches TSP: • V µ , w(a,b) = ||a-b|| • Die Entscheidungsprobleme zum metrischen und zum • Euklidischen TSP sind NP-vollständig. • (ETSP ist Spezialfall von MTSP)

  5. Appr. Algo für MTSP • Eingabe: G = (V,E) vollständig, Kantengewichte • die die Dreiecksungleichung erfüllen. • Berechne Minimalen Spannbaum T in (G, w). • Durchlaufe T in Preorder (Start bei beliebigen Knoten), • gebe diese als Rundreise aus. • Laufzeit: polynomiell • Approximationsgüte: gefundene Rundreise ist höchstens um Faktor 2 länger als optimale Rundreise.

  6. Grenzen der Approximierbarkeit • Satz: Falls NP P gilt, gibt es kein polynomiellen Appr. Algo • für TSP mit konstanter Güte c.

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