Институт Космических Исследований РАН

1. Численное моделирование течений вращающейся мелкой водыКарельский К.В. Петросян А.С.Славин А.Г. Институт Космических Исследований РАН Таруса 2009

2. Физическая постановка задачи z h(x,y,t) b(x,y) u(x,y,t) v(x,y,t) Вращающийся слой жидкости над неоднородной поверхностью

3. Конечно-разностное представление силы Кориолиса в численных моделях Годуновского типа для течений вращающейся мелкой воды. Разработан конечно-разностный метод для исследования течений вращающейся мелкой воды над подстилающей поверхностью сложного профиля. Такие течения характерны для крупномасштабных явлений в атмосфере и океане планет. Уравнения вращающейся мелкой воды: Сведение решения задачи о вращающейся «мелкой воде» над ровной подстилающей поверхностью к решению задачи о течениях мелкой воды над комплексной нестационарной границей:

4. Влияние силы Кориолиса на поток жидкости к Квази-двухслойное представление.

5. Конечно-разностная схема

6. Сравнение предложенного алгоритма с известными методами расчета течений вращающейся мелкой воды • Wave-propagation метод, основан на решении дополнительной задачи Римана в центре каждой ячейки, внутри которой разность потоков подбирается таким образом, чтобы в точности уравновесить влияние силы Кориолиса в стационарном случае. • Well-balancing метод, в основе которого лежит схема гидростатической реконструкции подсчета потоков на гранях ячеек, использующая решения стационарных состояний. Wave-propagation метод. Схема корректировки параметров потока Коррекция потоковых величин на гранях вычисляемой ячейки не зависит от значений гидродинамических величин в соседних ячейках. Wave-propagation метод (пунктирная линия) и well-balancing метод (штрих - пунктирная линия).

7. Конечно-разностные схемы для 1-D задачисо ступенчатой границей Wave-propagation метод: Well-balancing метод: Квази-двухслойный метод:

8. Результаты численного моделирования Классическая задача геострофической адаптации, известная как задача Россби: Начальное возмущение: Нормализованный профиль .

9. Результаты численного моделирования Эволюция глубины , в случае Эволюция распространения акустико-гравитационных волн, в результате воздействия начального возмущения при использовании квазидвухслойного метода.

10. Потенциальная завихренность Потенциальная завихренность в начальный (сплошная линия, ) и конечный (штрих-пунктирная линия, ) моменты времени. Наблюдается сохранение инварианта - потенциального вихря, со временем. Максимум функции сдвигается в антициклонную область, а минимум потенциальной завихренности со временем увеличивается.

11. Расчет вращающейся мелкой воды над подстилающей поверхностью параболического профиля Начальные параметры ветра:

12. Эволюция течения Характерное время одного оборота системы в целом было получено равным 25 часам, что, с достаточной точностью, соответствует природному феномену (характерное время одного оборота системы в целом для задач геофизической динамики составляет сутки). Эволюция течения жидкости/газа под влиянием силы Кориолиса над горой; верхние графики – поля скоростей, нижние – свободная поверхность.

13. Моделирование течений жидкости над неоднородным профилем дна в присутствии произвольной внешней силы Уравнения мелкой воды, для течений жидкости с учетом внешней силы над неоднородной подстилающей поверхностью в двумерном случае:

14. Задача о разрушении двумерной дамбы над наклонной подстилающей поверхностью с учетом гидравлического трения Схема расчетной области и расположения контрольных точек двумерного распада разрыва.

15. Задача о разрушении двумерной дамбы над наклонной подстилающей поверхностью с учетом гидравлического трения

16. Результаты численного моделирования Зависимость глубины жидкости от времени в различных контрольных точках. Сплошная черная линия – результат предложенного квазидвухслойного метода; сплошная серая линия – результат лабораторного эксперимента; пунктирная линия – результат численного WAF метода.

17. Результаты численного моделирования Зависимость глубины жидкости от времени в эксперименте с наклонной подстилающей поверхностью. Лабораторным измерениям соответствуют тонкие линии: пунктирная – точке Р2 , сплошная – точке О. Результаты вычислений квазидвухслойным методом показаны жирными линиями: серая линия – точка Р2, черная – точка О. Зависимость глубины жидкости от времени в эксперименте с наклонной подстилающей поверхностью. Результаты вычислений, полученные WAF методом: сплошная линия – в точке О, пунктирная – в точке Р2.

18. Результаты численного моделирования Зависимость скорости жидкости в направлении x от времени в точке Р5. Сплошная жирная серая линия – зависимость, полученная экспериментально; сплошная тонкая серая линия – зависимость, полученная численно на основе WAF метода; сплошная жирная черная линия – зависимость, полученная с помощью предлагаемого квазидвухслойного метода.

19. Выводы: • Разработано квазидвухслойное представление течений вращающейся мелкой воды, описывающее силу Кориолиса в численных методах Годуновского типа. • Определена структура вертикальной неоднородности течения под влиянием силы Кориолиса, представленной фиктивной подстилающей поверхностью. • Построена качественная интерпретация нелинейных процессов, вызванных таким представлением, и найдена соответствующая ей горизонтальная неоднородность трансверсальной составляющей скорости, определяющая консервативность силы Кориолиса. • Предложен численный алгоритм для изучения течений вращающейся мелкой воды для произвольной подстилающей поверхности. • Работоспособность алгоритма продемонстрирована на примере решения классической задачи геострофической адаптации, известной как задача Россби. • Осуществлено численное моделирование крупномасштабного течения атмосферы над подстилающей поверхностью параболического профиля и получено качественное согласие с представлениями геофизической гидродинамики. • Предложенный алгоритм обобщен на случай произвольной внешней силы.

20. Публикации по теме работы • Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Finite-difference presentation of the Coriolisforce in numerical Godunov-type models forflows of rotating shallow water// Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical modeling. 2009. Vol. 3. Принята в печать. • Карельский К.В, Петросян А.С, СлавинА.Г. Численный метод для исследования течений мелкой воды над сложным профилем дна в присутствии внешней силы, Математическое моделирование. 2009. Принята в печать. • Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Advanced numerical analysis of rotating shallow water equations on complex boundary. Eighth Annual Meeting of the European Meteorological Society, Amsterdam, 2008. • Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Finite-difference presentation of the Coriolis force in numerical Godunov-type models for flows of rotating shallow water. 2nd International Symposium on Shallow Flows, Hong Kong, 2008. • Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Numerical simulation of flows of a heavy nonviscous fluid with a free surface in the gravity field over a bed surface with an arbitrary profile. Euromech Colloquium 501, Mixing of coastal, estuarine and riverine shallow flows, Eindhoven, 2008. • К. V. Karelsky, A.S. Petrosyan, A. G. Slavin. Finite-difference presentation of the Coriolis force in numerical Godunov-type models for flows of rotating shallow water. International Conference "Mesoscale meteorology and air pollution", Odessa, Ukraine, 15-17 September 2008, pp 54-55. • Slavin A.G. Modeling of flows of rotating shallow water by Godunov-type method based on quasi-two-layer presentation, Proceedings of the V Conference of Young Scientists devoted to Cosmonautics Day, Moscow, 2008, p.40 • Slavin A.G. Finite-difference presentation of the Coriolis force in numerical Godunov-type models for flows of rotating shallow water, Proceedings of the XXX Conference of Young Scientists, Department of Mechanics and Mathematics, Moscow State University, 2008.