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流形学习问题. 杨 剑 中国科学院自动化研究所 2004 年 12 月 29 日. 维数约简. 增加特征数. 提高准确性. 增加信息量. 增加训练分类器的难度. 维数灾难. 解决办法:选取尽可能多的 , 可能有用的特征 , 然后根据需要进行特征约简. 特征约简. 依据某一标准选择性质最突出的特征. 特征选择. 特征约简. 经已有特征的某种变换获取约简特征. 特征抽取. 试验数据分析,数据可视化(通常为 2 维或 3 维)等也需要维数约简. Outline. 线性维数约简方法 流形和维数约简 . 流形学习的一些数学基础 .

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Presentation Transcript

国科学院自动化研究所

流形学习问题

杨 剑

中国科学院自动化研究所

2004年12月29日


国科学院自动化研究所

维数约简

增加特征数

提高准确性

增加信息量

增加训练分类器的难度

维数灾难

解决办法:选取尽可能多的, 可能有用的特征, 然后根据需要进行特征约简.


特征约简

中国科学院自动化研究所

依据某一标准选择性质最突出的特征

特征选择

特征约简

经已有特征的某种变换获取约简特征

特征抽取

试验数据分析,数据可视化(通常为2维或3维)等也需要维数约简


国科学院自动化研究所

Outline

  • 线性维数约简方法

  • 流形和维数约简.

  • 流形学习的一些数学基础.

  • 几种流形学习算法简介:LLE, Isomap, Laplacian Eigenmap.

  • 流形学习问题的简单探讨.


国科学院自动化研究所

  • 线性约简方法

  • 通过特征的线性组合来降维.

  • 本质上是把数据投影到低维线性子空间.

  • 线性方法相对比较简单且容易计算.

  • 两种经典且广泛使用的线性变换的方法:

  • 主成分分析 (PCA);

  • 多重判别分析 (MDA).


Principal

component

中国科学院自动化研究所

主成分分析 ( PCA )

  • PCA的目的:寻找能够表示采样数据的最好的投影子空间.

  • PCA的求解:对样本的散布矩阵进行特征值分解, 所求子空间为过样本均值, 以最大特征值所对应的特征向量为方向的子空间.


国科学院自动化研究所

主成分分析

  • PCA对于椭球状分布的样本集有很好的效果, 学习所得的主方向就是椭球的主轴方向.

  • PCA 是一种非监督的算法, 能找到很好地代表所有样本的方向, 但这个方向对于分类未必是最有利的.


国科学院自动化研究所

线性判别分析(LDA)1

  • LDA是一种监督的维数约简方法.

  • LDA的思想: 寻找最能把两类样本分开的投影直线.

  • LDA的目标: 使投影后两类样本的均值之差与投影样本的总类散布的比值最大 .

Best projection direction for classification


国科学院自动化研究所

线性判别分析(LDA)2

  • LDA的求解: 经过推导把原问题转化为关于样本集总

    类内散布矩阵和总类间散布矩阵的广义特征值问题.


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多重判别分析 (MDA)

  • MDA把LDA推广到多类的情况.

  • 对于c-类问题, MDA把样本投影到 c-1 维子空间.

  • 目标和解法与LDA相似,只是类内散布矩阵的定义

    更为复杂, 求解的广义特征值问题也更为复杂.


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线性方法的缺点

  • 线性方法对于很多数据不能进行有效的处理.

  • 现实中数据的有用特性往往不是特征的线性组合.

R


国科学院自动化研究所

流形学习和维数约简

  • 流形是线性子空间的一种非线性推广.

  • 流形是一个局部可坐标化的拓扑空间.

  • 流形学习是一种非线性的维数约简方法.


国科学院自动化研究所

流形学习的可行性

1 许多高维采样数据都是由少数几个隐含变量所决定的, 如人脸采样由光线亮度, 人离相机的距离, 人的头部姿势, 人的脸部肌肉等因素决定.

2 从认知心理学的角度, 心理学家认为人的认知过程是基于认知流形和拓扑连续性的.

R


国科学院自动化研究所

流形学习的一些数学基础

  • 参考文献:

  • 陈省身, 陈维桓, 微分几何讲义. 北京大学出版社, 1983

  • M Berger, B Gostiaux. Differential Geometry: Manifolds, Curves and Surfaces, GTM115. Springer-Verlag, 1974

  • 陈维桓, 微分流形初步(第二版). 高等教育出版社, 2001


国科学院自动化研究所

拓扑

  • 集合 上的拓扑 是 的满足以下性质的子集族:

  • 对属于它的任意多元素的并集是封闭的;

  • (ii) 对属于它的有限多元素的交集是封闭的;

  • 且 ,

  • 称 是一个拓扑空间.


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Hausdorff 空间

如果对空间 中的任意两点 存在 和 使得 称 是一个Hausdorff 拓扑空间.


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流形的定义

设 M 是一个Hausdorff 拓扑空间, 若对每一点 都有

P 的一个开领域 U和 的一个开子集同胚, 则称 M 为 n

维拓扑流形, 简称为 n 维流形.


M

z

x: coordinate for z

R2

x2

x

x1

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坐标卡

假定 是同胚, 其中 是 中的开集,

则称 为流形 M 的一个坐标卡, 并且把 在

中的坐标 称为点 的坐标,

流形在本质上是局部可坐标化的拓扑空间.


国科学院自动化研究所

相关

设 是 n 维流形 M 的两个坐标卡. 若当

时,

和它的逆映射都是 次可微的, 则称 是

相关的.


国科学院自动化研究所

微分结构

  • 设 M 是 n 维流形, 假定 是 M 上

  • 坐标卡的一个子集合, 且满足以下条件:

  • 构成 M 的一个开覆盖;

  • (2) 属于 的任意两个坐标卡都是 相关的;

  • 是极大的,

  • 则称 是 M 上的一个 微分结构.


国科学院自动化研究所

微分流形

设 M 是 n 维流形, 若在 M 上指定了一个 微分结构 ,

则称 为一个 n 维 微分流形. 属于 的坐标卡

称为该微分流形的容许坐标卡.

当 时, 称 M 为光滑流形.


国科学院自动化研究所

光滑函数

设 是定义在光滑流形 M 上的连续函数. 若在点

, 存在 M 的一个容许坐标卡 使得 ,

是在点 处光滑的函数, 则称函数

在点 处是光滑的.


国科学院自动化研究所

光滑映射

设 M, N 分别是 m 维, n 维光滑流形, 是连续映

射. 设 , 若存在 M 在点 x 处的容许坐标卡 及

N 在点 处的容许坐标卡 , 使得

是在点 处光滑的映射, 则称映射 在点 处是光滑

的.

处处光滑的映射称为光滑映射.


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切向量

  • 光滑流形M在点 x 的切向量 是一个满足下列条件的映

  • 光滑流形的切向量是曲线的切向量的一种推广.


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切空间

设 M 是 m 维光滑流形, 用 表示 M 在点

处的全体切向量的集合, 则在 中有自然的线性结

构, 使得 成为 m 维向量空间, 称其为 M 在点 的切空间.


国科学院自动化研究所

Riemann 流形

黎曼流形就是以光滑的方式在每一点的切空间上指

定了欧氏内积的微分流形.

R


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与流形学习有关的参考文献

  • 与机器学习, 统计学等相关的各种杂志和会议论文

  • http://www.cse.msu.edu/~lawhiu/manifold/


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流形学习问题

设 是一个低维流形, 是一个光滑嵌入,

其中 D>d . 数据集 是随机生成的, 且经过 f 映射为观

察空间的数据 流形学习就是在给定观察样本

集 的条件下重构f和 .

V. de Silva and J. B. Tenenbaum. Global versus local methods in nonlinear dimensionality reduction . Neural Information Processing Systems 15 (NIPS'2002), pp. 705-712, 2003.


国科学院自动化研究所

几种流形学习算法

  • 局部线性嵌入(LLE).

  • S. T. Roweis and L. K. Saul. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, vol. 290, pp. 2323--2326, 2000.

  • 等距映射(Isomap).

  • J.B. Tenenbaum, V. de Silva, and J. C. Langford. A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction. Science, vol. 290, pp. 2319--2323, 2000.

  • 拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmap).

  • M. Belkin, P. Niyogi, Laplacian Eigenmaps for Dimensionality Reduction and Data Representation. Neural Computation,Vol. 15, Issue 6, pp. 1373 –1396,2003 .


国科学院自动化研究所

局部线性嵌入(LLE)

  • 前提假设:采样数据所在的低维流形在局部是线性的,即每个采样点可以用它的近邻点线性表示.

  • 学习目标:在低维空间中保持每个邻域中的权值不变, 即假设嵌入映射在局部是线性的条件下, 最小化重构误差.

  • 求解方法:特征值分解.


国科学院自动化研究所

LLE算法

1 计算每一个点 的近邻点, 一般采用K 近邻或者 邻域.

2 计算权值 使得把 用它的K个近邻点线性表示

的误差最小, 即通过最小化 来求出 .

3 保持权值 不变, 求 在低维空间的象 , 使

得低维重构误差最小.


国科学院自动化研究所

LLE算法示意图


国科学院自动化研究所

LLE算法的求解

1 计算每一个点 的近邻点.

2 对于点 和它的近邻点的权值 ,

3 令 , 低维嵌入

是 M 的最小的第 2到第 d+1 个特征向量.


国科学院自动化研究所

LLE算法的例子(1)


国科学院自动化研究所

LLE算法的例子(2)


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LLE算法的优点

  • LLE算法可以学习任意维的局部线性的低维流形.

  • LLE算法中的待定参数很少, K 和 d.

  • LLE算法中每个点的近邻权值在平移, 旋转,伸缩变换下是保持不变的.

  • LLE算法有解析的整体最优解,不需迭代.

  • LLE算法归结为稀疏矩阵特征值计算, 计算复杂度相对较小, 容易执行.


国科学院自动化研究所

LLE算法的缺点

  • LLE算法要求所学习的流形只能是不闭合的且在局部是线性的.

  • LLE算法要求样本在流形上是稠密采样的.

  • LLE算法中的参数 K, d 有过多的选择.

  • LLE算法对样本中的噪音很敏感.

R


国科学院自动化研究所

多维尺度变换 (MDS)

  • MDS 是一种非监督的维数约简方法.

  • MDS的基本思想: 约简后低维空间中任意两点间的距离

    应该与它们在原高维空间中的距离相同.

  • MDS的求解: 通过适当定义准则函数来体现在低维空间

    中对高维距离的重建误差, 对准则函数用梯度下降法求解,

    对于某些特殊的距离可以推导出解析解法.


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MDS的准则函数


国科学院自动化研究所

MDS的示意图


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MDS的失效


国科学院自动化研究所

等距映射(Isomap)的基本思想

建立在多维尺度变换(MDS)的基础上, 力求保持数据

点的内在几何性质, 即保持两点间的测地距离.


国科学院自动化研究所

Isomap的前提假设

1 高维数据所在的低维流形与欧氏空间的一个子集是整

体等距的.

2 与数据所在的流形等距的欧氏空间的子集是一个凸集.


国科学院自动化研究所

Isomap算法的核心

估计两点间的测地距离:

1 离得很近的点间的测地距离用欧氏距离代替.

2 离得较远的点间的测地距离用最短路径来逼近.


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测地距离估计


国科学院自动化研究所

Isomap算法

1 计算每个点的近邻点 (用K近邻或 邻域).

2 在样本集上定义一个赋权无向图 如果 和 互为近邻点, 则边的权值为

3 计算图中两点间的最短距离, 记所得的距离矩阵为

.

4 用MDS求低维嵌入流形 ,

低维嵌入是 的第2小到第 d+1小的特征值所对应的特征向量.


国科学院自动化研究所

图距离逼近测地距离

M. Bernstein, V. Silva, J.C. Langford, J.B. Tenenbaum 证明了如下的渐进收敛定理.

假设采样点是随机均匀抽取的, 则

渐进收敛定理 给定则只要样本集充分大且适当选择K , 不等式

至少以概率 成立.


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Isomap 算法的例子(1)


国科学院自动化研究所

Isomap 算法的例子(2)


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Isomap算法的特点

  • Isomap是非线性的, 适用于学习内部平坦的低维流形,

    不适于学习有较大内在曲率的流形 .

  • Isomap算法中有两个待定参数K, d .

  • Isomap算法计算图上两点间的最短距离, 执行起来比

    较慢 .

R


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拉普拉斯算子

设 M 是光滑的黎曼流形, f 是 M 上的光滑函数,

是 f 的梯度, 则称线性映射

为 M 上的拉普拉斯算子, 其中div是散度算子.


国科学院自动化研究所

图上的拉普拉斯算子

设 G 是一个图, v 是它的顶点, 是 v 的自由度, w(u,v)

是连接顶点u,v 的边的权值,令

其中 T是对角矩阵,对角线的元素为

, 则称 L为图 G 上的拉普拉斯算子.


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拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmap)

基本思想:在高维空间中离得很近的点投影到低维空间

中的象也应该离得很近.

求解方法:求解图拉普拉斯算子的广义特征值问题.


国科学院自动化研究所

Laplacian Eigenmap 算法

1 从样本点构建一个近邻图, 图的顶点为样本点, 离得

很近两点用边相连 (K近邻或 邻域).

2 给每条边赋予权值 如果第个点和第 j 个点不相连,

权值为0,否则 ;

3 计算图拉普拉斯算子的广义特征向量, 求得低维嵌入.

令D为对角矩阵 L是近邻图上的

拉普拉斯算子, 求解广义特征值问题 .


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Laplacian Eigenmap算法的例子(1)


国科学院自动化研究所

Laplacian Eigenmap算法例子(2)

300 most frequent words of the Brown corpus represented

in the spectral domain


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Laplacian Eigenmap算法例子(2)

The first is exclusively infinitives of verbs, the second contains prepositions and the third mostly modal and auxiliary verbs. We see that syntactic structure is well-preserved.


国科学院自动化研究所

Laplacian Eigenmap算法的特点

  • 算法是局部的非线性方法.

  • 算法与谱图理论有很紧密的联系.

  • 算法中有两个参数 k,d.

  • 算法通过求解稀疏矩阵的特征值问题解析地求出整体最优解.

  • 算法使原空间中离得很近的点在低维空间也离得很近, 可以用于聚类.

R


国科学院自动化研究所

LLE, Isomap, Laplacian Eigenmap 有效的原因

  • 它们都是非参数的方法, 不需要对流形的很多的参数假

  • 设.

  • 它们是非线性的方法, 都基于流形的内在几何结构, 更

  • 能体现现实中数据的本质.

  • 它们的求解简单, 都转化为求解特征值问题, 而不需要

  • 用迭代算法.


国科学院自动化研究所

流形学习问题探讨1

  • 对嵌入映射或者低维流形作出某种特定的假设, 或者以

  • 保持高维数据的某种性质不变为目标.

  • 将问题转化为求解优化问题.

  • 提供有效的解法.


国科学院自动化研究所

流形学习问题探讨2

  • 为流形学习提供更为坚实和易于接受的认知基础.

  • 如何确定低维目标空间的维数.

  • 当采样数据很稀疏时, 怎样进行有效的学习.

  • 将统计学习理论引入流形学习对其泛化性能进行研究.


国科学院自动化研究所

流形学习问题探讨3

  • 流形学习作为一种非线性降维或数据可视化的方法

    已经在图像处理如人脸图像,手写数字图像, 语言处理

    方面得了利用.

  • 将其作为一种监督的学习方法用于模式识别, 虽然

    有研究者涉足, 但是目前在这方面的工作还很有限.


国科学院自动化研究所

Thanks!


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