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题目： 如图 12 ，边长为 1 的正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF 、 GH 分割成四个小矩形， EF 与 GH 交于点 P ． （ 1 ）若 AG=AE ，证明： AF=AH ； （ 2 ）若 ∠ FAH=45° ，证明： AG+AE=FH ； （ 3 ）若 Rt △GBF 的周长为 1 ，求矩形 EPHD 的面积．. E. A. D. H. G. P. C. B. F. 图 12. 一、审题分析. ① 题目背景：
E N D
题目：如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段题目：如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段 EF、GH分割成四个小矩形，EF与GH交于点P． （1）若AG=AE，证明：AF=AH； （2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH； （3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积． E A D H G P C B F 图12 一、审题分析 ① 题目背景： 这题目来源于09年广州中考的第 24题，本题主要考查正方形、 矩形 、全等三角形等基础知识; 考查计算能力、 推理能力和空间观念; 考查学生运用所学知识寻找问题关键点的能力．
题目：如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段题目：如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段 EF、GH分割成四个小矩形，EF与GH交于点P． （2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH； 二、解题过程（二） 45° ①思路分析
45° H′F ①思路分析 二、解题过程（二） △ADH绕点A 顺时针旋转90° 转化成证： DH+BF=FH 要证： AG+AE=FH 转化成证： H′F=HF 即证：△AH′F≌△AHF 分析过程体现了转化思想
还需要证明： ∠H′AF= ∠HAF ①思路分析 二、解题过程（二） 1 45° 3 2 如何证明：△AH′F≌△AHF？ ★容易得到：AF=AF（公共边） ；AH′=AH（旋转的性质） ∠FAH=45° ∠1+ ∠2=45° ∠1+ ∠3=45° ∠1 = ∠3 ∠H′AF= ∠HAF=45°
△AE AG+AE=FH 二、解题过程（二） ③整理思路 AH’=AH;∠H’AF=∠HAF=45°；AF=AF △AH'F≌△AHF H 'F=HF
E A D H G P C F B M 24题（2）图 题目：如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段 EF、GH分割成四个小矩形，EF与GH交于点P． （2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH； 二、解题过程（二）
题目：如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段题目：如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段 EF、GH分割成四个小矩形，EF与GH交于点P． （2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH； 其他方法： ﹙1﹚ 转化成证：FH=HM ﹙2﹚转化成证：BF=FM,DH=MH
三、总结提升 ③变式训练: 针对问题2的变式1（弱化条件， 结论不变） 若将条件放宽， 如图 2 所示， 在四边形 ABCD中， AB = AD，∠B = ∠D = 90 °， ∠FAH = ∠BAD， 则结论 BF + HD = FH 是否仍然成立?
三、总结提升 ③变式训练: 针对上题的进一步变式 如图3， 进一步保留条件 在四边形 ABCD 中， AB= AD， ∠FAH = ∠BAD， ， 把 ∠B = ∠D = 90°换成 ∠B + ∠D = 180° ， 此时结论 BF + HD =FH还成立吗?
图2 图1 都可以证明：DH+BF=HF 条件的本质：
