第 14 章多尺度图象技术

第14章多尺度图象技术 14.1多尺度表达 14.2相邻尺度联系 14.3高斯和拉普拉斯金字塔 14.4多尺度信号分解和重建 14.5基于多尺度小波的处理 14.6多尺度变换技术章毓晋 (TH-EE-IE)

14.1 多尺度表达 • 一个共有n + 1层的完整的2-D图象金字塔，其中单元（有的代表象素，有的代表象素集合）的总数为 • 给定一个每个方向上有N个象素的k-D图象，如果考虑用亚采样因子2来构建金字塔，则金字塔总的单元数为章毓晋 (TH-EE-IE)

14.1多尺度表达 • 尺度空间 • 空间分辨率（原维数） • 当前分辨率层次（新维数） • 尺度空间：g(x, s) 包含一系列有不同分辨率的图象的数据结构在s → ∞的极限情况下，尺度空间会收敛到一个具有其平均灰度的常数图象章毓晋 (TH-EE-IE)

14.2相邻尺度联系 • 要对多尺度表达的图象进行处理，需要把握多尺度表达之间的关系，特别是相邻尺度间的联系 14.2.1 组合联系 14.2.2 分解联系章毓晋 (TH-EE-IE)

14.2.1组合联系 • 两个尺度之间的组合联系将给定尺度上的尺度函数和小波函数与相邻且高一个尺度上的尺度函数联系在一起 • 存在两个序列{huh[k]}和{hvh[k]}满足章毓晋 (TH-EE-IE)

14.2.1组合联系 • 对任意的整数j，Uj和Vj与Uj+1的联系由下两式确定： • 取傅里叶变换章毓晋 (TH-EE-IE)

14.2.1组合联系 huh[0] = huh[1] = 1，hvh[0] = – hvh[1] = 1，huh[k] = hvh[k] = 0 章毓晋 (TH-EE-IE)

14.2.1组合联系 • 尺度函数具有低通滤波器的特性（U(0) = 1）所有的系数{huh[k]}加起来为2 • 小波函数具有带通滤波器的特性（V(0) = 0）所有的系数{hvh[k]}加起来为0 章毓晋 (TH-EE-IE)

14.2.2分解联系 • 分解联系给出在任意尺度上的尺度函数与在下一个低尺度上尺度函数和小波函数的联系 • 存在两个序列{hul[k]}和{hvl[k]}满足章毓晋 (TH-EE-IE)

14.2.2分解联系 hul[0] = hul[–1] = 1/2，hvl[0] = – hvl[–1] = 1/2，hul[k] = hvl[k] = 0 章毓晋 (TH-EE-IE)

14.3 高斯和拉普拉斯金字塔 14.3.1 高斯金字塔 14.3.2 拉普拉斯金字塔 14.3.3 原始图象的重建章毓晋 (TH-EE-IE)

14.3.1 高斯金字塔 • 高斯金字塔 • 平滑和亚采样的过程可借助压缩平滑算子 C(↓2)的单个操作用下式来表示 • 下标“↓”后数字为亚采样率；C表示用于压缩平滑的卷积模板，可看作压缩平滑算子 • 最小的图象具有最好的平滑，对应图象的最粗尺度章毓晋 (TH-EE-IE)

14.3.1 高斯金字塔 • 高斯金字塔构建过程章毓晋 (TH-EE-IE)

14.3.2 拉普拉斯金字塔 • 拉普拉斯金字塔 • 包含一系列带通滤波的图象。在金字塔的每一层中仅包含与在每个频率少数几个采样匹配的尺度，所以拉普拉斯金字塔是一种有效的数据结构，与不确定性所给出的极限（等于波长和空间分辨率的乘积）相适应 • 与傅里叶变换不同，拉普拉斯金字塔仅能产生比较粗的频率分解而没有方向分解章毓晋 (TH-EE-IE)

14.3.2 拉普拉斯金字塔 • 拉普拉斯金字塔中的图象可用对高斯金字塔中相邻两层图象的相减而近似得到 • 需先将图象在较粗的尺度（较高的层次）上扩展。这个操作可用扩展插值算子E(↑2)来进行 • 扩展比减少尺寸的压缩困难，因为缺少的信息需要通过插值来得到 • 所生成拉普拉斯金字塔的第k层图象可写成章毓晋 (TH-EE-IE)

14.3.2 拉普拉斯金字塔 • 拉普拉斯金字塔构建过程章毓晋 (TH-EE-IE)

14.3.3 原始图象的重建 • 借助高斯金字塔和拉普拉斯金字塔可以将原始图象很快地从两个金字塔的图象序列中通过反复扩展图象并将结果加起来而重建出来 • 在一个具有k + 1层的拉普拉斯金字塔中，其第k层（从0开始算）既是拉普拉斯金字塔的最粗的一层也与高斯金字塔最粗的一层相同。而高斯金字塔的第k 1层可如下重建章毓晋 (TH-EE-IE)

14.3.3 原始图象的重建 • 高斯和拉普拉斯金字塔章毓晋 (TH-EE-IE)

14.4 多尺度信号分解和重建 多尺度的操作要涉及到对多尺度信号的分解和重建 14.4.1多取一采样 14.4.2多点插值 14.4.3 缩放空间中的信号表达章毓晋 (TH-EE-IE)

14.4.1 多取一采样 • M 取一采样（M-point decimation） • f (x)和一个单位脉冲序列的乘积章毓晋 (TH-EE-IE)

14.4.1 多取一采样 • 令g(x) = u(xM)，则g(x)的Z变换为 • g(x)的离散傅里叶变换（z = exp(jw)） • 对信号点的M取一采样的频谱输出包含M个输入频谱的复制，各个复制的幅度减为1/M，而每个复制的带宽扩展了M倍章毓晋 (TH-EE-IE)

14.4.1 多取一采样 • 对M = 2的情况章毓晋 (TH-EE-IE)

14.4.2多点插值 • 增加M个采样章毓晋 (TH-EE-IE)

14.4.2多点插值 • 插值器的频谱输出 • 对插值输出的Z变换为章毓晋 (TH-EE-IE)

14.4.2多点插值 • 输出序列比输入序列多M倍的点，同时输出频谱以M因子沿w-轴收缩 • 插值时没有混叠的问题？章毓晋 (TH-EE-IE)

14.4.2多点插值 • 卷积后多取一 • 插值后卷积在时域中进行章毓晋 (TH-EE-IE)

14.5基于多尺度小波的处理 1、多尺度小波特点多尺度小波的尺度变化使得对图象的小波分析可以聚焦到间断点、奇异点和边缘 • 保真度因子（fidelity factor）滤波器的带宽除以中心频率，是相对带宽的倒数小波变换可看作是一种常数Q的分析{P.380} 章毓晋 (TH-EE-IE)

14.5 基于多尺度小波的处理 2、基于小波的噪声消除 (1) 确定小波和分解级数（对应尺度S），对有噪声的图象进行小波变换，获得不同尺度的子图象 (2) 在尺度J-1到J-S上对细节系数取阈值硬阈值：将绝对值小于阈值的系数置为0 软阈值：先将绝对值小于阈值的系数置为0 然后将非零系数缩放到零值附近 (3) 根据在尺度J-S的近似系数和从尺度J-1到J-S的取阈后的细节系数进行小波反变换重建章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6 多尺度变换技术 • 14.6.1三类多尺度技术 • 尺度-空间 • 时间-频率 • 时间-尺度 • 14.6.2多尺度技术比较 • 显示 • 对比 • 分析章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6.1 三类多尺度技术 1. 尺度-空间分析 • 信号中的重要特征往往与一些极值点相关联 • u(t)的局部极值点对应其导数u'(t)的零交叉点 • 因为微分会增强噪声，所以使用u‘(t)时需要滤除噪声，如用高斯滤波器 • 对u(t)极值点的检测：检测卷积结果的零交叉点章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6.1 三类多尺度技术 1. 尺度-空间分析 • 高斯函数的宽度是用标准方差来控制的，如果将其定义为尺度参数，则大的方差对应大的尺度，小的方差对应小的尺度。对每个尺度，都可确定一组平滑后的u(t)的极值点。这样，u(t)的尺度-空间就可定义为随尺度参数变化的一组极值点 • 设ga(t)是一个标准方差为a（a > 0）的高斯函数章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6.1 三类多尺度技术 1. 尺度-空间分析 • 信号u(t)与高斯函数ga(t)的卷积 • 在一个给定的观察尺度a0，U(t, a0)是u(t)平滑的结果。U(t, a)的极值点就是U'(t, a0)的零交叉点 • 信号u(t)的尺度-空间可定义为U'(t, a0)的零交叉点的集合（R为实数集合）章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6.1 三类多尺度技术 2. 时间-频率分析和Gabor变换 • 傅里叶变换 • 短时傅里叶变换 • Gabor变换：窗函数g(t)为高斯函数（实函数） • 考虑核hf(t) = g(t)exp[–j2pft] 章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6.1 三类多尺度技术 3. 时间-尺度分析和小波变换 • 考虑连续小波变换 • 对实函数u(t)来说，如果它的傅里叶变换U( f )满足下列容许性条件 • 那么就称u(t)为“基小波”（basic wavelet） • 根据U( f )的有限性，可知U(0) = 0 • 小波是具有振荡性和迅速衰减的波章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6.2 多尺度技术比较 1. 显示 • U(b, a)：一个取值为实数或复数的2-D函数 (1) 尺度-空间：信号和高斯微分的卷积，实/复数 (2) Gabor变换：信号和用高斯调制的复指数函数间的内积，复数 (3) 小波变换：母小波/信号的不同，实/复数 • U(b, a)取实数值： (1) 曲面：(b, a)给出平面坐标，U(b, a)给出Z轴高度 (2) 灰度图象：(b, a)对应象素坐标，U(b, a)代表象素灰度章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6.2 多尺度技术比较 2. 对比 • 要分析的信号左边部分和右边部分均为单频率的正弦波。中间部分为一段频率线性增加的正弦波（chirp），可用cos[(mt + n)t]表示，其中m随时间线性增加。另在中间部分的中段还加了一个脉冲章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6.2 多尺度技术比较 2. 对比 • 尺度-空间变换U(b, a)局部极值曲线对应高频率的小尺度细节部分随着尺度的增加而消失，这是由于它们与有较大方差的高斯函数卷积的结果。另外，尺度-空间变换检测出原信号中的三个奇异点章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6.2 多尺度技术比较 2. 对比 • 时间-频率变换 |U(b, a)|局部极值曲线由于Gabor变换可以调整到信号的局部频率，所以在奇异点有比较明显的响应另外，Gabor变换在平面中部随频率变化的斜线上也有较强的响应章毓晋 (TH-EE-IE)

14.6.2 多尺度技术比较 2. 对比 • 时间-尺度变换 |U(b, a)|局部极值曲线由于小波变换中核的尺寸是随频率变化的（低频时的频率分辨率高），所以在每个奇异点， |U(b, a)|的局部极值呈现一个随尺度减小指向奇异点的漏斗状（频率沿纵轴向上增加）章毓晋 (TH-EE-IE)

联系信息 • 通信地址：北京清华大学电子工程系 • 邮政编码：100084 • 办公地址：清华大学东主楼，9区307室 • 办公电话：(010)62781430 • 传真号码：(010)62770317 • 电子邮件：zhangyj@ee.tsinghua.edu.cn • 个人主页：www.ee.tsinghua.edu.cn/~zhangyujin/ • 实验室网：image.ee.tsinghua.edu.cn 章毓晋 (TH-EE-IE)

第 14 章 多尺度图象技术