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直 线 与 圆

直 线 与 圆. 南京五中 张志超. 一 . 考试内容与要求. 二 . 解题方法. 1. 直线方程有五种形式，它含有两个基本量 . 求直线方程的常用方法是待定系数法 ， 求直线方程的特殊方法主要是几何法 . 2. 圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，它含有三个基本量 . 求圆方程常用方法是待定系数法 . 求圆方程的特殊方法主要是几何法. 三 . 典型例题. 例题 1. 若直线与圆相交于 P 、 Q 两点，∠ POQ ＝ 120° （其中 O 为原点），则 k 的值为 _______. 解：如图，因为∠ POQ ＝ 120° ，

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  1. 直 线 与 圆 南京五中 张志超

  2. 一.考试内容与要求

  3. 二.解题方法 1.直线方程有五种形式，它含有两个基本量.求直线方程的常用方法是待定系数法，求直线方程的特殊方法主要是几何法. 2.圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，它含有三个基本量.求圆方程常用方法是待定系数法.求圆方程的特殊方法主要是几何法.

  4. 三.典型例题 例题1.若直线与圆相交于P、Q两点，∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为_______. 解：如图，因为∠POQ＝120°， 由OP=OQ，得∠QPO＝30°， 所以∠PAO＝60°, ∠PBC＝120°. . C 所以k=tan600 = ,k= tan1200=－

  5. 例题2.过点P（1， ）的直线l 将圆 (x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k＝． 解：如图，当劣弧所对的圆心角 最小时，得弦AB最小. 因为 所以当直线与CP垂直时，满足条件. 由C(2,0), P（1， ）,得 检验得 符合条件.

  6. 例题3．设直线过点(1, a)其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为_______ . 分析：直线与圆相切问题，有两种解决方法：一是通过方程组去求唯一解;二是利用圆心到直线的距离等于半经去求解.本题可用方法二. 解：由题意可设直线方程为y=x+a,因为直线 与圆相切，得 ， 解得a=±2,检验得a=±2符合条件.

  7. 例题4．设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相切于A、B两点，且弦AB的长为2 ，则a=___． 解：因为圆心坐标为（1，2），半经=2， 所以圆心到直线d= ， 即 ， 解得a=0. 检验得a=0符合条件.

  8. 例题5. 由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为_____ .解：设P为直线y=x+1上的一点，A为切点， 切线长为PA = , 圆心C为 （3，0）,半径为1. 所以当PC取最小值＝ 切线长PA取最小值=

  9. 例题6.已知圆的方程为x2+(y-1)2=1，P为圆上任意一点（不包括原点）,直线OP的倾斜角为θ弧度， OP =d，则d=f(θ)的图象大致为_____. 解：由题意得∠POD=θ, ∠POE= , OP=OBcos( )=2sinθ,所以 d=f(θ)=2sinθ.图象大致为正弦函数.

  10. 例题7.在直角坐标系中，以O为圆心的圆与直 线 相切. （1）求圆的方程； （2）圆O与x轴相交于A,B两点，圆内的动点P使 成等比数列，求 的取值范围．

  11. 解:（1）由题意,得 圆的方程为x2+y2=4. （2）设A(x1,0)，B(x2,0), x1＜x2．由x2=4得 A(-2,0)，B (2,0),设P(x, y)，由 成等比数列，得 化简,得x2-y2=2. 故 =x2+y2-4= 2y2-2. 因为点P在圆内,故 得0≤y2 ＜1， 所以 的范围是[-2，0） .

  12. 例题8. 已知圆C过定点A(0,p)(p>0),圆心C在抛物线x2=2py上运动.M，N为圆C与x轴的交点. （1）当C点运动时，︱MN︱是否变化？请证明你的结论. （2 ）设︱AM︱=l1,︱AN︱=l2 , 求 的最大值，并求此时圆C的方程.

  13. 解：(1)因为点C在抛物线上，故设C( ), 所以 圆的方程为： 当y=0时，得 ， 所以 当C点运动时，︱MN︱的长为定值2p.

  14. 所以 解（2）设 得 由 = ＝ =2 。 =2

  15. 当且仅当 时取等号. 所以 的最大值为 . 此时圆的方程为

  16. 四. 小 结 1. 解决直线与圆的问题时，用几何法要比代数方法简捷容易.特别是在解答填空题时更是如此. 2.复习时要注重本节内容与方程，不等式，向量，三角，数列等其它知识的联系.提高综合应用知识的能力.

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