מיון מחרוזות

1. מיון מחרוזות קטן קלט: מחרוזות מעל אלף-בית פלט: המחרוזות ממוינות בסדר עולה לקסיקוגרפי

2. 1 f s f v v c s s d 3 3 h j g j a n t 2 3 n זמן גישה לתו

3. חסם תחתון קריאת מחרוזת i קריאת nמחרוזת אם

4. מיון מחרוזות באורך מיון מחרוזות באורך

5. פתרון 1 QuickSort סיבוכיות השוואות כל השוואה סבוכיות מקום נוסף ? האם אפשר למיין בזמן

6. פתרון 2 RadixSort סיבוכיות מיונים כל מיון אם הוכח! סבוכיות מקום נוסף

7. מיון מחרוזות באורך מיון מחרוזות באורך

8. Trie פתרון 3 abb b a abcc b bbc b bb $ c c b abc $ $ c $ $

9. abb abcc b a bbc b b bb $ c abc c b $ $ c $ סיור preorder בעץ שורש – בן שמאלי ראשון - ימני $ abb abc abcc bb bbc

10. פתרון 3למיון למחרוזות באורך 1- לכל i הכנס si ל Trie b a 2- סיור preorder בעץ b b כל הכנסה $ c c b $ עוברים על כל קשת פעמיים $ c $ $

11. פתרון 3למיון מחרוזות באורך 1- לכל i הכנס si ל Trie b a 2- סיור preorder בעץ b b כל הכנסה $ c c b $ עוברים על כל קשת פעמיים $ c $ $

12. סבוכיות מקום נוסף b מספר הצמתים ב-Trie a יכול להגיע עד b b $ c c b למשל לסדרה $ aaaaaaaaaaaaa baaaaaaaaaaaa caaaaaaaaaaaa daaaaaaaaaaaa … $ c $ $

13. … d c b a a a a a aaaaaaaaaaaaa baaaaaaaaaaaa caaaaaaaaaaaa daaaaaaaaaaaa … a a a a 0000000000000 1000000000000 0100000000000 1100000000000 0010000000000 … a a a a a a a a

14. מיון מחרוזות באורך מיון מחרוזות באורך

15. דחיסתTrie b a bb ab b b $ c c c$ b $ b$ $ c $ c$ $

16. מספר העלים n לכל צמת פנימית לפחות 2 בנים bb ab מספר הצמתים הפנימיים < n $ c c$ b$ bb מספר הצמתים >2n $ bbc c$ abb abc במקום l nב- Trie לא דחוס abcc

17. משפט אם בעץ לכל צמת פנימית יש לפחות 2 בנים אזי מספר העלים > מספר הצמתים הפנמיים הוכחה באינדוקציה יהי T עץ עם n הצמתים פנמיים ו- l עלים n1<l1 n2<l2 n=n1+n2+…+1<l1+l2+…=l n1 l1 n2 l2 מספר הצמתים הפנמיים מספר העלים

18. מיון מחרוזות באורך מיון מחרוזות באורך

19. מבנה נתונים במחרוזות Insert Delete Search Hash פתרון 1 n ידוע וזמן ממוצעO(l) האם קיים פתרון עם זמן מדויקO(l)?

20. Trie פתרון 2 a Insert(ac) bb ab b c$ ac $ c c$ b$ bb $ bbc c$ abb abc abcc

21. Trie פתרון 2 Insert bb ab Delete Search $ c c$ b$ bb $ bbc c$ abb abc abcc

22. חיפוש מחרוזת בטקסט קלט: טכסט s מעל אלף-בית קטן וקבוצה של מחרוזות פלט: מוֹפָע של כל מחרוזת בטכסט חיפוש מחרוזת אחת למשל:

23. חיפוש מחרוזת בטקסט קלט: טכסט s מעל אלף-בית קטן וקבוצה של מחרוזות פלט: מוֹפָע של כל מחרוזת בטכסט חיפוש מחרוזת אחת חיפוש כל המחרוזות חסם תחתון

24. חסם תחתון האם אפשר לפתור את הבעיה ב- ? כן!!!!!!!

25. עץ סִיּוֹמוֹתSuffix tree s = xabxa$ $ 1 a$ 2 xa bxa$ a $ 3 xa$ $ bxa$ bxa$ bxa$ $ abxa$ |s| xabxa$ משפט קיים אלגוריתם שבונה עץ סִיּוֹמוֹת בזמן O(|s|2) |s|+1 (|s|+1)(|s|+2)/2

26. עץ סִיּוֹמוֹתSuffix tree רק לבנות את העץ צריכים O(|s|2) s = xabxa$ $ a$ xa bxa$ a $ xa$ $ bxa$ bxa$ bxa$ $ abxa$ xabxa$ משפט קיים אלגוריתם שבונה עץ סִיּוֹמוֹת בזמן O(|s|2)

27. דחיסת עץ סִיּוֹמוֹת s = xabxa$ 123456 (4,5) xa bxa$ (3,6) (5,5) a (6,6) $ (3,6) (6,6) $ bxa$ (6,6) (3,6) bxa$ $ משפט ללא הוכחה קיים אלגוריתם שבונה עץ סִיּוֹמוֹתדחוס בזמן O(|s|)

28. קיים אלגוריתם שבונה עץ סִיּוֹמוֹתדחוס בזמן O(|s|) s = xabxa$ 123456 הטכסט סבוכיות O(|s|+l) בונים עץ סִיּוֹמוֹת (4,5) xa bxa$ (3,6) (5,5) a (6,6) $ s1 = xa (3,6) (6,6) $ bxa$ (6,6) (3,6) bxa$ $ s2 = xabx 5-4+1=2 6-3+1=4 6 - 6 +1=1 +

29. s2 s = xabxa$ 123456 הטכסט s xa bxa$ 5-4+1=2 6-3+1=4 6 - 6 +1=1 + s2 = xabx (4,5) xa bxa$ (3,6) (5,5) a (6,6) $ (3,6) (6,6) $ bxa$ (6,6) (3,6) bxa$ $

30. פתרון 2 s = xabxa$ 123456 2 (4,5) 4 xa bxa$ (3,6) 1 (5,5) a (6,6) $ 3=6-3+1 3 1 1 (3,6) (6,6) $ bxa$ 6 4 1 4 (6,6) (3,6) bxa$ $ 1 + 5 2 =6-5+1

31. פתרון 2 s = xabxa$ 123456 מופע ראשון של xa 1 1 = min(4,1) (4,5) 4 xa 1 bxa$ (3,6) 1 (5,5) a (6,6) $ 4 3 1 1 (3,6) 2 (6,6) $ bxa$ 6 4 1 4 (6,6) (3,6) bxa$ $ 1 5 2

32. פתרון 2 s = xabxa$ 123456 1 xa 1 bxa$ a $ 3 2 $ bxa$ 6 4 1 bxa$ $ 5 2 פלט: כל הַמּוֹפָעִים s1 = xa s2 = ab s3 = a פלט: מוֹפָע הראשון של כל מחרוזת בטכסט

33. דחיסה i=12 S[1..m]= aabcbbabbsbabcbbbbabbabcbbabbabbsb… aabcbbabbsb(2,5)bbabbabcbbabbabbsb… (s 12,L12) נגדיר Priori=S[i..i+Li-1] הרישה S[i..i+Li-1] הארוכה ביותר אשר מופיעה כתת מחרוזת ב- S[1..i-1] Prior12=abcbb L12=5 s12=2

34. אלגוריתם דחיסה Ziv-Lempel Input S[1..m] For (i=1 ; i<=m ;;) {Compute (si,Li) if Li>1 {output(si,Li); i=i+Li}; else {output(S[i]); i=i+1}} aabcbbabbsbabbbbbabbabcbbabbabbsb… aabcbb bs איך לחשב Compute (si,Li) (2,2) (6,4)

35. פתרון עץ סִיּוֹמוֹת s = xabxa$ 123456 1 xa 1 bxa$ a $ 3 2 $ bxa$ 6 4 xa b xa $ 1 bxa$ $ 5 2 לא תת-מחרוזת קודמת סבוכיות (1,2) O(|s|) 4<1 תת-מחרוזת קודמת

36. מציאת תת-מחרוזת ארוכה משותפת קלט: מחרוזות s1 ו- s2 פלט: תת-מחרוזת ארוכה ביותר משותפת דוגמא: s1=superiocalifornialives s2=sealiver m =|s1|+|s2| נסמן: Ω(m) חסם תחתון:

37. בונים עץ סִיּוֹמוֹת ל- פתרון s=s1$1s2 $2 סבוכיות O(|s|)=O(m) s2 s1 |s| =|s1|+|s2| $2$2$2 $2$2 $1 $1 $1 $1 עץ סִיּוֹמוֹת מוכלל $2 $2 $2 $2

40. 1,2 סבוכיות O(m) 1,2 1,2 1 1,2 1 2 $1$2$2$1 $1$2 $2$1$2$1$2$2$1$1$2 $2 תת-מחרוזת ששייכת רק למחרוזת s1 צהוב 1 תת-מחרוזת ששייכת רק למחרוזת s2 כחול 2 ירוק תת-מחרוזת ששייכת למחרוזת s1ו- s2 1,2

41. סבוכיות 1,2 O(m) 1,2 1,2 1 1,2 1 2 $1$2$2$1 $1$2 $2$1$2$1$2$2$1$1$2 $2 תת-מחרוזת ארוכה ביותר המשותפת היא זאת המיוצגת ע"י המסלול הארוך ביותר בתת-עץ עם צמתים 1,2

43. מועד א חורף 2011

44. פתרון עץ סִיּוֹמוֹת s = xabxa$ 123456 empty string 1 x,xa xa 1 bxa$ a $ 3 2 $ bxa$ a b,bx,bxa,bxa$ 6 xab, xabx, xabxa, xabxa$ 4 1 $ bxa$ $ xa$ 5 2 סיור preorder בעץ a$ ab,abx,abxa,abxa$

45. סוף

46. נחזור ל- עץ סִיּוֹמוֹתלא דחוסSuffix tree s = xabxa$ $ a$ xa bxa$ a $ xa$ $ bxa$ bxa$ |s|+1 bxa$ $ abxa$ xabxa$ משפט קיים אלגוריתם שבונה עץ סִיּוֹמוֹת בזמן O(|s|2) |s|+1 האם קיים אלגוריתם לעץ סִיּוֹמוֹתלא דחוס שרץ בזמן O(|s|) ?

47. s=000001010011100101110111 s=000 001 010 011 100 101 110 111 עץ סִיּוֹמוֹת |s| = 3 x 23 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 000 001 010 011 100 101 110 111 (|s|-3) + (|s|-6) + (|s|-9) + … גודל העץ לפחות

48. s=(0…000) (0…001) (0…010) (0…011) … k גודל העץ