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反比例函数的图象的性质之“面积不变性”

反比例函数的图象的性质之“面积不变性”. 反比例函数的图象的性质. 形状. 图象是双曲线. 当 k>0 时 , 双曲线分别位于第一、三象限内 当 k<0 时 , 双曲线分别位于第二、四象限内. 位置. 双曲线无限接近于 x 、 y 轴 , 但永远不会与坐标轴相交. 变化趋势. 对称性. 双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. 有 2 条对称轴，分别是一、三和二四象限的角平分线 即直线 y=x 和直线 y=–x. P. 0. Q. y. P. y. x. 0. x. 的面积不变性. 注意： （ 1 ） 面积与 P 的位置无关.

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反比例函数的图象的性质之“面积不变性”

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  1. 反比例函数的图象的性质之“面积不变性”

  2. 反比例函数的图象的性质 形状 图象是双曲线 当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内 当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内 位置 双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交 变化趋势 对称性 双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. 有2条对称轴，分别是一、三和二四象限的角平分线 即直线y=x和直线y=–x

  3. P 0 Q y P y x 0 x 的面积不变性 注意：（1）面积与P的位置无关 （2）在没图的前提下须分类讨论

  4. 一、千里之行，始于足下（基础篇 ） y S△POD =OD·PD = = P o x D 1.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为. 1 (m,n)

  5. 2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是.2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是. y P x O

  6. (2005宁波）3.如图，A、B是函数 的图象上的点，且A、B 关于原点O对称，AC⊥x轴于C,BD ⊥x轴于D,如果四边形ADBC 的面积为S,则（ ） D A.S=1 B.1<S<2 C.S>2 D.S=2 y S△AOC= S△BOD= S△AOD= S△BOC A D ∟ x ∟ o C B

  7. (X>0) 4、在双曲线 上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。 y ∵︳K︱ ＝12 ∴k=±12 x O 分类讨论

  8. 二、趁热打铁，大显身手（提高篇） 5.如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点 P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是： S1____ S2. = y P s1 ∟ Q ∟ s2 ∟ ∟ x O

  9. y A B O x 6.(2009年牡丹江市)如图 点 是双曲线 、 、 上的点，分别经过 两点向 轴、 4 轴作垂线段，若 则 ．

  10. y P1 P2 P3 P4 x O 1 2 3 4 7、（2008福建福州）如图，在反比例函数 的图象上，有点 ，它们的横坐标依次为1，2，3，4． 轴的垂线，图中所构成的阴影 分别过这些点作 轴与 部分的面积从左到右依次为 ，则 （x>0) ． 思考：1.你能求出S2和S3的值吗？ 2.S1呢？ 1

  11. 8、（2008年湖北省咸宁市）两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点P在 的图象上，PC⊥x轴 于点C，交 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交 的图象于点B，当点P在 的图象上运动时，以下结论： ①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化； ③PA与PB始终相等； ④当点A是PC的中点时，点B一定 是PD的中点． 其中一定正确的是_________ (把你认为正确结论的序号都填上， 少填或错填不给分）． ①②④

  12. ③PA与PB始终相等；不成立 B′ p′ A′

  13. y P B D A x O C

  14. P B( , ) 即B是DP的中点

  15. 三、百尺竿头，更进一步（能力篇） （2009包头改编)如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 、B，与 轴相交于点 的图象在第一、三象限相交于点 C,连结AO、BO,过点A作AD⊥x轴于点D, △AOD的面积为1. 2 y （1）求K的值 （2）求A、B、C三点的坐标 （1，2） A （3）求S△AOB的面积 （0，1） （4）利用函数图象直接回答， X为何值时，一次函数的值大于 反比例函数的值。 （-1，0） ∟ C ， x O D （-2，-1） B -2<x<0,或x>1 数缺形时少直观，形缺数时难入微 数形结合

  16. 总结提高 一个性质：反比例函数的面积不变性 两种思想：分类讨论和数形结合

  17. Good Bye！

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