计算机组成原理讲义第2章数据表示、运算和运算器部件

计算机组成原理讲义第2章 数据表示、运算和运算器部件诀窍详细内容请参阅王诚主编 “计算机组成原理”

本章主要教学内容 ⒈围绕定点运算器的功能、组成、设计和实现来介绍。掌握各种数据在计算机内的表示、存储方式、完成运算所用的算法和实现这些算法所用的逻辑电路。 ⒉本章从数值化信息编码讲起，引出二进制编码，数制转换，插入部分检错纠错码知识。 ⒊介绍各种数据表示、数值数据算术运算的有关算法。 ⒋讲解在计算机中实现算术运算与逻辑运算所用的功能部件——运算器部件。

第2章数据表示、运算和运算器部件 2.1 数字化信息编码的概念和二进制编码知识 2.2 数据表示-采用的信息编码 2.3 二进制数值数据的编码与运算算法 2.4 运算器部件的组成与设计 2.5 浮点运算与浮点运算器

2.1 数字化信息编码的概念和二进制编码知识 2.1.1 数字化信息编码的概念 2.1.2 二进制编码和码制转换 2.1.3 检错纠错码

2.1.1 数字化信息编码的概念 ⒈所谓编码，就是用少量、简单的基本符号，选用一定的组合规则，以表示大量复杂多样的信息。 ⒉多重编码，是指当使用的基本符号较多时，往往还要采取措施，以便首先使用少量的简单符号来编码、以表示那些量大而复杂的基本符号，再用这些基本符号来表示信息。例如汉字编码。 ⒊二进制编码的优点： ①容易实现； ②运算简单； ③对应逻辑值。

2.1.2 二进制编码和码制转换 ⒈数制与进位记数法 ⑴基r数制：用r个基本符号通过排列起来的符号串表示数值，称为基r数制，称r为该数制的基。 ⑵有权基r数制：如果每一位的单位值都赋以固定的值Wi，则称Wi为该位的权，此时的数制为有权的基r数制。 ⑶r进位数制（r进制）：如果基r数制符合“逢r进位”的规则，则每位的权为ri，称为r进制。 ⒉二进制编码与二进制数据 ⑴二进制编码方法； ⑵二进制数值数据的计算（十进制展开）。

2.1.2 二进制编码和码制转换（续） ⒊数制转换 ⑴二（八和十六）进制与十进制数据转换： ①整数部分：除以基数，取其余数，倒序排列。 ②小数部分：乘以基数，取其整数，正序排列。 ⑵二进制与八进制或十六进制数据转换： ①原理：一位八(十六)进制数可表示成3(4)位二进制数。 ②方法：从小数点所在位置分别向左、右对每3 位或4位进行分组，写出每一组对应值（注意补零问题）。

2.1.2 二进制编码和码制转换（续） ⒋二进制数的运算规则：算术运算和逻辑运算 ⑴加法运算规则 ⑵减法运算规则 ⑶乘法运算规则 ⑷除法运算规则 ⑸逻辑或运算规则（运算符为∨） ⑹逻辑与运算规则（运算符为∧） ⑺逻辑非运算规则（运算符为▔） ⑻逻辑异或运算规则（运算符为≮）

2.1.3 检错纠错码 ⒈检错纠错的有关概念和实现思路 ⑴实现原理：在合法的数据编码之间加进一些不允许出现的编码，使合法编码出现某些错误时，就成为非法编码。 ⑵（最小）码距：任意两个合法编码之间至少有几个二进制位不相同， ⑶常用的数据校验码是奇偶校验码、海明校验码、循环冗余码。 ⑷纠错码是对校验码的更进一步的发展和应用。

2.1.3 检错纠错码（续） ⒉三种常用的检错纠错码 ⑴奇偶校验码： ①原理：使原来合法码距由1正加到2； ②方法：正加一个二进制位成奇(偶)个“1”； ③特点：只能发现一位或奇数个位出错。

2.1.3 检错纠错码(续) ⑵海明校验码： ①原理：在k个数据位之外加上r个校验位，形成k+r位的新的码字，使新的码字的码距比较均匀地拉大。把数据的每一位分配在几个不同的偶校验位的组合中，当某一位出错后，就会引起相关的几个校验位的值发生变化； ②方法：见表2.2和表2.3； ③特点：能发现并纠正一位出错或发现两位出错。

2.1.3 检错纠错码(续) ⑶循环冗余码 ①原理：在k个数据位之外拼接r个校验位，关键是如何从k位信息位简单地得到r位校验位编码。以及如何判断k+r位码字是否正确； ②方法：由信息表达式及生成表达式生成模２余数表达式，并拼接在信息表达式之后； ③特点：能发现并纠正一位、多位出错，用于串行通信。

2.2 数据表示-采用的信息编码 2.2.1 逻辑数据的表示 2.2.2 字符数据的表示 2.2.3 数值型数据的表示

2.2.1 逻辑数据的表示 ⒈用来表示二值逻辑中的“是”与“否”或称“真”与“假”两个状态的数据。 ⒉在计算机中可用一个基二码、一个字或一个字节来表示单个逻辑数。

2.2.2 字符数据的表示 ＊用一定位数的基二码为每一个字符指定一个确定的编码。 ⒈ASCII码和EBCDIC码 ⑴ASCII码：7位基二码表示的字符，见表2.8。 ⑵EBCDIC码：8位编码，主要用在IBM计算机中。

2.2.2 字符数据的表示（续） ⒉字符串的表示 ⑴连续的一串字符，占用主存中连续的多个字节，每个字节存一个字符。 ⑵注意其存放顺序（P.68 图2.4）。

2.2.2 字符数据的表示（续） ⒊中文（汉字）的编码表示 ⑴用两个字节表示一个汉字。将两个字节的最高位设定为1。128 * 128个。 ⑵注意与ASCII码的奇偶校验码有冲突。

2.2.3 数值型数据的表示 * 表示数量多少、数值大小的数据。 ⑴表示方法： ①带正负符号的十进制数形式，用于输入/输出。 ②二-十进制编码，即用4为基2码编码一位十进制数，多位十进制数表示成编码的数串。 ③二进制原、反、补码表示数据。 ⑵注意： ①数值数据有一定的表示范围和表示精度。 ②二进制数主要分成定点小数、整数与浮点数三类。

2.2.3 数值型数据的表示（续） ⒈定点小数的表示方法 ⑴指小数点准确固定在数据某个位置上的小数，实用上都把小数点固定在最高数据位的左边，小数点前边再设一位符号位。 N = NS.N-1N-2…N-m ⑵主要用在早期计算机中，在本课中主要通过定点小数讨论数值数据的不同编码方案，而且定点小数也被用来表示浮点数的尾数部分。

2.2.3 数值型数据的表示（续） ⒉整数的表示方法 ⑴小数点定位在数值最低位右面的一种数据。 ⑵整数被分成带符号和不带符号的两类。 ①带符号数： N = NS.NnNn-1…N2 N1 N0 ②不带符号数：N = Nn+1NnNn-1…N2 N1 N0 ⑶在计算机中，整数所占用的存储空间和所表示数值范围是不同的，如8位、16位、32位或64位。

2.2.3 数值型数据的表示（续） ⒊浮点数的表示方法 ⑴浮点数是指小数点在数据中的位置可以左右浮动的数据。表示成：N = M * RE ⑵在计算机中，表示浮点数要有符号位；而R规定位2、8或16，是确定常量不必表示出来。浮点数表示成：MS(1位) E(m位) M(n位) ⑶浮点数的规格化表示及处理：规定计算机内浮点数的尾数部分用纯小数形式给出，而且尾数的值不为0时，其绝对值应大于或等于0.5。

2.2.3 数值型数据的表示（续） ⒊浮点数的表示方法（续） ⑷浮点数的规格化处理：规格化的过程称为规格化处理。 ⑸常用浮点数的格式：P.71 ⑹隐藏位技术：对短浮点数和长浮点数，在存储时，去掉最高位（规格化后必为1）的技术称为隐藏位技术。对临时浮点数，不使用隐藏位技术。

2.2.3 数值型数据的表示（续） ⒋十进制数的编码与运算 * 采用基二码对每个十进制数位进行重编码。 ⑴十进制有权码：每一位基2码有确定的权。 ①8421码（BCD码）：运算简单；转换方便；结果需修正。 ②其它有权码：见表2.9 ⑵十进制无权码：每一位基2码没有确定的权。 ①余三码：每个二进制代码都加上0011得到。 ②格蕾码：任两个相临代码只有1位状态不同。

2.2.3 数值型数据的表示（续） ⒋十进制数的编码与运算（续） ⑶十进制数的其它编码方法：见表2.11 ⑷数字串在计算机中的表示余存储 ①字符串形式：一个字节存放一个十进制的数位或符号位。不便于算术运算。 ②压缩的十进制数串形式：一个字节存放两个十进制的数位。便于算术运算。注意符号位的表示以及所占位数必为偶数。 ③每种表示都需知道其起始地址和长度。

2.3 二进制数值数据的编码与运算算法 2.3.1 原码、反码、补码的定义 √ 2.3.2 补码加、减运算规则 √ 2.3.3 原码一位乘法的实现算法 √ 2.3.4 定点补码一位乘法的实现算法 2.3.5 原码一位除法的实现算法 √ 2.3.6 定点补码一位除法的实现算法 2.3.7 加速乘除法运算的有关算法介绍

2.3.1 原码、反码、补码的定义 ⑴编码方法是指如何能统一地表示正数、零和负数，并尽可能地有利于简化对它们实现算术运算用到的规则。 ⑵数据的正负符号用一位二进制0和1两个状态表示。 ⑶通常称表示一个数值数据的机内编码机器数，而把它所代表的实际值称为机器数的真值。 ⑷用定点小数引出数值的3种编码（原码、补码和反码）是最方便的。

2.3.1 原码、反码、补码的定义（续） ⒈定点小数的编码方法 ⑴原码表示法：用机器数的最高一位代表符号，以下各位给出数值绝对值的表示方法。定义见P.75 (2.9)，其性质为： ①[x]原 = 符号位 + |X| ②零有两种表示:[+0.0]原=0000,[-0.0]原=1000 ③优缺点：乘除运算规则简单；加减运算不方便。

2.3.1 原码、反码、补码的定义（续） ⑵补码表示法：用机器数的最高一位代表符号，以下各位给出数值按2取模结果的表示方法。定义见P.76 (2.10)，其性质为： ①[x]补 = 2 * 符号位 + X ②零有唯一表示：[+0.0]补 = [-0.0]补 = 0000 ③[X + Y]补 = [X]补 + [Y]补 MOD 2 （重要）

2.3.1 原码、反码、补码的定义（续） ⑵补码表示法：（续） * 由补码求真值： ①正数：X=[X]补； ②负数：数值部分求补，并加上符号。 * 补码的算术移位：将符号位与数值位一起右移一次并保持原符号位的值不变，可实现除法。 * 由原码求补码： ①对正数或零：[X]补 = [X]原。 ②对负数：符号位不变，数值位变反末尾加1。

2.3.1 原码、反码、补码的定义（续） ⑵补码表示法：（续） * 变形补码：模4补码或双符号位补码。定义见P.77 (2.13)，其性质为： ①数值与模2补码相同；符号位为00或11，若为01或10时表示溢出，01表正数相加产生上溢；10表负数相加产生下溢。 ②零有唯一编码，且能表示负1。 ③存储模4补码时，只存储一位符号位即可。

2.3.1 原码、反码、补码的定义（续） ⑶反码表示法：用机器数的最高一位代表符号，数值位是对负数值各位取反、对正数与原补码具有相同的表示方法。其定义见P.78 (2.14)，其性质为： ①[x]反 = （（2 - 2-n) + X） MOD（2 - 2-n) ②零有两种表示:[+0.0]反=0000,[-0.0]反=1111 ③实现算术运算不方便，0有两个编码，不常用。

2.3.1 原码、反码、补码的定义（续） ⒉整数的编码方法 * 整数也用原、补和反码表示。 * 与小数有如下异同： ⑴小数点设在最低一位的右边，最高位为符号位。数值的范围及编码的取模值与所用的位数有关。 ⑵编码的定义、特性和相互转换方法均与定点小数类似，只是补码的取模值为2k或2k+1，k为二进制整数数值的位数。

2.3.1 原码、反码、补码的定义（续） ⒊浮点数的编码方法：Ms E M ⑴符号位Ms仍采用0表正、1表负的规则。 ⑵尾数M采用定点小数表示，可用原（补）编码。 ⑶阶码E多采用整数形式的移码表示： ①定义：P.79 (2.15) ②与补码的关系：变补码的符号为其反码。 ③性质：a.符号位与原、补码相反； b.只用于整数（浮点数阶码）； c.移码加减运算结果需变符号修正； d.零有唯一编码1000…0（-2n）。

2.3.2 补码加、减运算规则 ⒈加减法运算规则： [X+Y]补=[X]补+[Y]补,[X-Y]补=[X]补-[Y]补=[X]补+[-Y]补 ⑴补码直接参与运算：包括符号与数值。 ⑵已知补码求其负数的补码：按位求反末尾加1。 ⒉运算溢出的表达方式： ⑴同符号补码相加，和的符号与加数符号相同； ⑵最高位向符号位的进位与符号位向更高位进位不同； ⑶双符号位运算时，两个符号位不同。

2.3.3 原码一位乘法的实现算法 ⒈乘积的符号为两数符号的异或值，数值为两数绝对值之积。 ⒉乘法算法实现： ⑴运算器只能完成对两个数的求和操作； ⑵用N位加法器实现两个N位数的乘法：每求得一次部分积之后使其右移一位。 ⑶加零或加被乘数的判断：每求一次部分积，使放乘数的寄存器执行一次右移操作，并使其最高位接收加法器最低位的移位输出。 ⑷乘积的符号为两数符号的异或值（半加和）。

2.3.4 定点补码一位乘法的实现算法 * 直接用补码相乘实现乘法运算。 ⒈方案一：乘数为正数： [X*Y]补 = [X]补 * [Y]补乘数为负数：用[X]补乘[Y]补的数值位，再将乘积加上[-X]补。 ⒉方案二：比较法

2.3.5 原码一位除法的实现算法 ⒈原码恢复余数法和加减交替法实现，商的符号为两数符号的异或值，数值为两数绝对值之商。 ⒉除法算法实现： ⑴左移被除数（余数）； ⑵上商要根据减法运输结果确定，为正上1，为负上0，且恢复余数（两种不同实现方法）。 ⑶上商是将商存入寄存器，并使其左移。寄存器的初始值可以是双倍字长被除数的低位部分，在实现部分余数左移时，将它的最高位移入部分余数的最低位。

2.3.6 定点补码一位除法的实现算法 * 运输规则见P.90

2.3.7 加速乘除法运算的有关算法介绍 ⒈定点双位乘法的实现方案 ⒉阵列乘法器 ⒊跳0跳1除法 ⒋用快速乘法器实现快速除法器

2.4 运算器部件的组成与设计 2.4.1 运算器部件的功能与组成概述 2.4.2 位片结构的运算器芯片Am2901 2.4.3 教学计算机运算器的设计与实现 2.4.4 教学计算机的运算器使用事例

2.4.1 运算器部件的功能与组成概述 ⒈运算器的功能： ⑴首要功能是完成数据的算术和逻辑运算。由ALU实现：给出运算结果和结果的某些特征。 ⑵第二项功能是暂存运算数据和中间结果。由通用寄存器实现：区别于专用寄存器。 ⑶第三项功能是用硬件完成乘除指令运算。由乘商寄存器实现：能自行左右移位（专用）。 ⑷第四项功能是作为处理机内传送数据的通路。

2.4.1 运算器部件的功能与组成概述 ⒉运算器的控制与操作： ⑴正确地向运算器提供控制信号，解决正确向运算器提供参加运算数据的种种问题。 ⑵给出正确的数据来源何正确的控制信号，运算器就执行规定的操作功能。 ⑶在计算机整机运行过程中，运算器用到的控制信号是由计算机的控制器部件提供的。

2.4.2 位片结构的运算器芯片Am2901 ⒈Am2901的内部组成 ⒉Am2901的控制与操作

2.4.3 教学计算机运算器的设计与实现 ⒈Am2901的管脚信号 ⒉8位教学机的运算器部件的主体部分的设计与实现 ⒊16位教学机的运算器部件的主体部分的设计与实现 ⒋教学机的运算器部件的辅助组成部分的设计与实现 ⒌运算器的控制与操作

2.4.4 教学计算机的运算器使用实例 ⒈8位教学机的运算器部件实验 ⒉16位教学机的运算器部件实验

2.5 浮点运算与浮点运算器 ⒈浮点运算器是主要用于对计算机内的浮点数进行运算的部件。 ⒉浮点数通常由阶码和尾数两部分组成，阶码是正数形式，尾数是定点小数形式，执行的操作不相同。 ⒊浮点运算器总是由处理阶码和处理尾数的两部分逻辑线路组成。

2.5.1 浮点数的运算规则 * 浮点数形式：X = MX * 2EX * MX为浮点数的尾数，一般为小于1的规格化的二进制小数，机器中多用原码（或补码）形式表示。 * EX为浮点数的阶码，一般为二进制整数，机器中多用移码（或补码）形式表示，给出的是一个指数的幂，其底数常用2，8或16。

2.5.1 浮点数的运算规则 ⒈浮点加减法的运算步骤：X=Mx*2Ex,Y=My*2Ey ⑴对阶操作：比较两个浮点数阶码的大小。 ⑵尾数加(减)运算。 ⑶规格化处理。 ⑷舍入操作：“0”舍“1”入或最低位置“1”。 ⑸判断结果的正确性：检查阶码是否溢出。

2.5.1 浮点数的运算规则 ⒉浮点乘除法的运算步骤： ⑴两个浮点数相乘，其乘积的阶码为相乘两数阶码之和，其尾数为相乘两数尾数之积。 ⑵两个浮点数相除，商的阶码为被除数阶码减去除数阶码之差，其尾数为被除数尾数除以除数之商。 ⑶乘除运算都可能出现结果溢出，或结果不满足规格化的问题，浮点数运算也有精度处理要求。

2.5.1 浮点数的运算规则 ⒉浮点乘除法的运算步骤（续） ⑴浮点数的阶码运算 ①移码运算：[X]移+[Y]移 = 2n+[X+Y]移 ②移码补码运算：[X]移+[Y]补 = [X+Y]移 [X]移+[-Y]补 = [X-Y]移 ⑵浮点数的尾数处理 ①截断处理：无条件去掉某些位。 ②舍入处理：按规则（例：P.124）修正尾数。 ⑶注意原码运算与补码运算的区别。

计算机组成原理讲义 第2章 数据表示、运算和运算器部件