Εφαρμογές Χρονολογικών Σειρών και στις Προβλέψεις

1. Εφαρμογές Χρονολογικών Σειρών και στις Προβλέψεις Τα στοιχεία χρονολογικών σειρών συλλέγονται για την ίδια παρατηρήσιμη μονάδα, για πολλαπλές χρονικές περιόδους • Συνολική Κατανάλωση και ΑΕΠ μιας χώρας (π.χ., τριμηνιαίες παρατηρήσεις για 20 χρόνια = 80 παρατηρήσεις). • Συναλλαγματικές ισοτιμίες: Γιεν/δολάριο, αγγλική λίρα/δολάριο και Ευρώ/δολάριο: (ημερήσια στοιχεία για 1 χρόνο = 365 παρατηρήσεις). • Κατά κεφαλήν κατανάλωση τσιγάρων σε μία πόλη.

2. Στοιχεία χρονολογικών σειρών Παράδειγμα 1: ο ρυθμός πληθωρισμού των ΗΠΑ

3. Παράδειγμα 2: το ποσοστό ανεργίας στις ΗΠΑ

4. Γιατί χρησιμοποιούμε στοιχεία χρονολογικών σειρών; • Για την ανάπτυξη υποδειγμάτων πρόβλεψης: • Για την εκτίμηση δυναμικών αιτιωδών αποτελεσμάτων: • Άλλωστε, σε κάποιες περιπτώσεις δεν έχουμε άλλη επιλογή… • Ποιος αναμένεται να είναι ο ρυθμός πληθωρισμού τον επόμενο χρόνο; • Αν η Κεντρική Τράπεζα αυξήσει το επιτόκιο κατατεθειμένων διαθεσίμων σήμερα, πώς θα διαμορφωθούν τα επίπεδα πληθωρισμού και ανεργίας σε 3 μήνες από τώρα; σε 12 μήνες; • Ποιο είναι το διαχρονικό αποτέλεσμα στην κατανάλωση τσιγάρων από μια αύξηση της φορολογίας τσιγάρων; • Τα επίπεδα πληθωρισμού και ανεργίας στις ΗΠΑ, μπορούν να παρατηρηθούν μόνο διαχρονικά.

5. Από τα δεδομένα χρονολογικών σειρών προκύπτουν νέα, τεχνικού χαρακτήρα ζητήματα: • Χρονικές υστερήσεις. • Διαχρονική συσχέτιση (σειριακή συσχέτιση ή αυτοσυσχέτιση). • Υποδείγματα πρόβλεψης που δεν έχουν καμία αιτιώδη ερμηνεία (αποτελούν εξειδικευμένα εργαλεία για πρόβλεψη): • Συνθήκες υπό τις οποίες μπορούν να εκτιμηθούν τα δυναμικά αποτελέσματα, καθώς και οι τρόποι με τους οποίους αυτά εκτιμώνται. • Υπολογισμός των τυπικών σφαλμάτων, στην περίπτωση που αυτά εμφανίζουν αυτοσυσχέτιση. • Αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα (σχήματα) (AR) • Αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα κατανεμόμενων υστερήσεων(ADL)

6. Χρησιμοποίηση Υποδειγμάτων Παλινδρόμησης για τη Διενέργεια Προβλέψεων • Η πρόβλεψη και η εκτίμηση των αιτιωδών αποτελεσμάτων είναι δύο τελείως διαφορετικές εργασίες. • Όσον αφορά την πρόβλεψη, • ο διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού παίζει πολύ σημαντικό ρόλο! • η μεροληψία από παραλειπόμενες μεταβλητές δεν αποτελεί πρόβλημα! • στα υποδείγματα πρόβλεψης δεν μας απασχολεί να ερμηνεύσουμε τους συντελεστές. • η εξωτερική ισχύς είναι κυρίαρχη: το εκτιμηθέν με τα αρχικά στοιχεία υπόδειγμα θα πρέπει να ισχύει μέχρι το (εγγύς) μέλλον.

7. Στοιχεία Χρονολογικών Σειρών και Σειριακή Συσχέτιση: εισαγωγή Θα πρέπει, πρώτα, να εισαγάγουμε κάποια ορολογία, αλλά και κάποιους συμβολισμούς. Συμβολισμοί για τα στοιχεία χρονολογικών σειρών • Yt = η τιμή του Y την περίοδο t. • Σύνολο στοιχείων: Y1,…,YT = T παρατηρήσεις για την τ.μ.Y • Εξετάζουμε μόνο τις διαδοχικές, κατανεμημένες κατά ίσα χρονικά διαστήματα, παρατηρήσεις, π.χ., κατά μήνα, από το 1960 έως το 1999, δίχως να παραλείπουμε μήνες (διαφορετικά, η παλινδρόμηση, γίνεται ακόμα πιο περίπλοκη).

8. Μετασχηματίζουμε τις μεταβλητές χρονολογικών σειρών χρησιμοποιώντας χρονικές υστερήσεις, πρώτες διαφορές και ρυθμούς αύξησης.

9. Παράδειγμα: τριμηνιαία στοιχεία ρυθμού πληθωρισμού των ΗΠΑ σε ετήσια βάση. • Δείκτης Τιμών Καταναλωτή (ΔΤΚ) για το πρώτο τρίμηνο του 1999, 1999:I = 164.87 • ΔΤΚ για το δεύτερο τρίμηνο του 1999, 1999:II = 166.03 • Ποσοστιαία μεταβολή του ΔΤΚ μεταξύ πρώτου και δευτέρου τριμήνου του 1999, 1999:I - 1999:II • Ποσοστιαία μεταβολή του ΔΤΚ μεταξύ πρώτου και δευτέρου τριμήνου του 1999 σε ετήσια βάση, 1999:I - 1999:II(ποσοστό ανά έτος).

10. Το επίπεδο του πληθωρισμού συνηθίζεται να μετράται σε ετήσια βάση, όπως, άλλωστε, συμβαίνει και με το επίπεδο των επιτοκίων. • Εφαρμόζοντας τη λογαριθμική προσέγγιση στις ποσοστιαίες μεταβολές, παίρνουμε:

11. Παράδειγμα: ΔΤΚ και ρυθμός πληθωρισμού στις ΗΠΑ

12. Αυτοσυσχέτιση Όταν οι τιμές μιας χρονοσειράς συσχετίζονται με τις τιμές των χρονικών υστερήσεων της σειράς, εμφανίζεται το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης ή σειριακής συσχέτισης. • ·Η αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης τουYt είναι: corr(Yt,Yt–1). • ·Η αυτοσυνδιακύμανση πρώτης τάξης τουYt είναι:cov(Yt,Yt–1) • Άρα: • Αυτές είναι οι συσχετίσεις στον πληθυσμό – περιγράφουν την πληθυσμιακή από κοινού κατανομή των (Yt,Yt–1).

14. Δειγματικές αυτοσυσχετίσεις Ηjοστή δειγματική αυτοσυσχέτιση αποτελεί μια εκτίμηση της jοστής αυτοσυσχέτισης του πληθυσμού: όπου όπου είναι ο δειγματικός μέσος του Yt , υπολογισμένος με t = j+1,…,Tπαρατηρήσεις. Παρατήρηση: το άθροισμα είναι από t=j+1μέχρι T(γιατί;)

15. Παράδειγμα: οι αυτοσυσχετίσεις: (1) του τριμηνιαίου ρυθμού πληθωρισμού των ΗΠΑ. (2) της μεταβολής από τρίμηνο σε τρίμηνο του τριμηνιαίου ρυθμού πληθωρισμού των ΗΠΑ.

16. Ο ρυθμός πληθωρισμού εμφανίζει υψηλή σειριακή συσχέτιση(1= .85) • Ο ρυθμός πληθωρισμού του τελευταίου τριμήνου περιέχει σημαντική πληροφόρηση για το ρυθμό πληθωρισμού αυτού του τριμήνου. • Το διάγραμμα κυριαρχείται από πολυετείς μεταβολές. • Υπάρχουν, όμως, και μη αναμενόμενες μεταβολές!

17. Περισσότερα παραδείγματα χρονολογικών σειρών και μετατροπών:

18. Περισσότερα παραδείγματα χρονολογικών σειρών και μετατροπών (συνέχεια):

19. Στασιμότητα: η βασική ιδέα για εξωτερική εγκυρότητα της παλινδρόμησης χρονολογικών σειρών. Η στασιμότητα υποδηλώνει ότι το παρελθόν είναι σαν το παρόν και το μέλλον, τουλάχιστον υπό μία πιθανοθεωρητική έννοια. Θα επικεντρώσουμε την ανάλυσή μας στην περίπτωση που η Yt είναι στάσιμη.

20. Αυτοπαλίνδρομα σχήματα Λογικό σημείο αφετηρίας σε ένα υπόδειγμα πρόβλεψης θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε παρελθούσες τιμές του Y (δηλαδή, Yt–1, Yt–2,…) για να προβλέψουμε το Yt. • Ως αυτοπαλίνδρομο σχήμα ορίζεται ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης στο οποίο η εξαρτημένη μεταβλητή παλινδρομείται επάνω στις τιμές των δικών της χρονικών υστερήσεων, δηλαδή αυτοπαλινδρομείται. • Το πλήθος των υστερήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής του υποδείγματος, αποτελούν τις ερμηνευτικές του μεταβλητές, και καλείται τάξη του αυτοπαλίνδρομου σχήματος. • Σε ένα αυτοπαλίνδρομο σχήμα 1ης τάξης, το Yt παλινδρομείται επάνω στο Yt–1. • Σε ένα αυτοπαλίνδρομο σχήμα τάξηςp, τοYt παλινδρομείται επάνω στα Yt–1,Yt–2,…,Yt–p.

21. Αυτοπαλίνδρομο σχήμα 1ης τάξης: AR(1) Το υπόδειγμα AR(1) στον πληθυσμό, είναι: • Οι συντελεστές του υποδείγματος 0 και 1 δεν έχουν αιτιώδεις ερμηνείες. • Αν 1 = 0, τότε το Yt–1 δεν είναι χρήσιμο για την πρόβλεψη της τιμής του Yt. • Το AR(1) μπορεί να εκτιμηθεί αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο OLS για την παλινδρόμηση του Yt στοYt–1. • Αν θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση ότι το Yt–1 δεν είναι χρήσιμο για την πρόβλεψη της τιμής του Yt, προβαίνουμε στον παρακάτω έλεγχο:

22. Παράδειγμα: Αυτοπαλίνδρομο σχήμα 1ης τάξης για τη μεταβολή του πληθωρισμού (ΔInf). Στοιχεία από το Α΄ Τρίμηνο του 1962 έως το Δ΄ Τρίμηνο του 1999, 1962:I – 1999:IV: Μπορεί η υστέρηση πρώτου βαθμού της μεταβολής του πληθωρισμού να προβλέψει την τιμή της τρέχουσας μεταβολής του πληθωρισμού; • t = .211/.106 = 1.99 > 1.96 • οπότε, απορρίπτουμε την H0: 1 = 0 στο 5% επίπεδο σημαντικότητας. • Άρα, η υστέρηση πρώτου βαθμού της μεταβολής του πληθωρισμού είναι χρήσιμη στην πρόβλεψη της τιμής της τρέχουσας μεταβολής του πληθωρισμού (η τιμή του , όμως, είναι χαμηλή!)

23. Παράδειγμα: το υπόδειγμα AR(1) για τον πληθωρισμό – STATA

24. Παράδειγμα: το υπόδειγμα AR(1) για τον πληθωρισμό – STATA (συνέχεια)

25. Παράδειγμα: το υπόδειγμα AR(1) για τον πληθωρισμό – STATA (συνέχεια)

26. Πρόβλεψη και σφάλματα πρόβλεψης Παρατηρήσεις αναφορικά με την ορολογία: • Η προβλεπόμενη τιμή αναφέρεται στην τιμή του Y που προβλέφθηκε (από την παλινδρόμηση) για μια παρατήρηση στο δείγμα, το οποίο χρησιμοποιήθηκε για να εκτιμήσει την παλινδρόμηση– αυτός είναι ο συνήθης ορισμός. • H πρόβλεψη αφορά το μέλλον και, άρα, δε γίνεται να έχει χρησιμοποιηθεί στην εκτίμηση της παλινδρόμησης.

27. Προβλέψεις: συμβολισμοί • Yt|t–1 = πρόβλεψη για το Yt με βάση τις τιμές των Yt–1,Yt–2,…, χρησιμοποιώντας τους (πραγματικούς, αλλά άγνωστους) συντελεστές του πληθυσμού. • = πρόβλεψη για το Yt με βάση τις τιμές των Yt–1,Yt–2,…, χρησιμοποιώντας τους εκτιμημένους με στοιχεία μέχρι την περίοδοt–1 συντελεστές. Για ένα υπόδειγμα AR(1), ισχύουν ότι: • Yt|t–1 = 0 + 1Yt–1 και • ,όπου τα καιεκτιμήθηκαν με στοιχεία μέχρι την περίοδοt–1.

28. Σφάλματα πρόβλεψης Σφάλμα πρόβλεψης για μια περίοδο μπροστά = Η διάκριση ανάμεσα στο σφάλμα πρόβλεψης και στα κατάλοιπα είναι η ίδια με αυτή μεταξύ της πρόβλεψης και της προβλεπόμενης τιμής: • το κατάλοιπο είναι «στο δείγμα». • το σφάλμα πρόβλεψης είναι «εκτός δείγματος»

29. Η τετραγωνική ρίζα του μέσου τετραγωνικού σφάλματος πρόβλεψης (RMSFE) • Το RMSFE μετρά το εύρος της κατανομής του σφάλματος πρόβλεψης. • Το RMSFE μπορεί να συγκριθεί με την τυπική απόκλιση του ut, αν εξαιρέσουμε, όμως, ότι αυτό εστιάζει ξεκάθαρα στο σφάλμα πρόβλεψης χρησιμοποιώντας εκτιμημένους συντελεστές, και όχι τη γραμμή παλινδρόμησης του πληθυσμού. • Το RMSFE μετρά το μέγεθος ενός τυπικού «λάθους» στην πρόβλεψη.

30. Παράδειγμα:χρησιμοποιούμε ένα AR(1) υπόδειγμα για να προβλέψουμε τον πληθωρισμό Εκτιμούμε το υπόδειγμα AR(1) χρησιμοποιώντας στοιχεία από το Α΄ Τρίμηνο του 1962 έως το Δ΄ Τρίμηνο του 1999, 1962:I – 1999:IV: Inf1999:III = 2.8 (οι μονάδες μέτρησης εκφράζονται σε ποσοστά σε ετήσια βάση) Inf1999:IV = 3.2 Inf1999:IV = 0.4 Άρα, η πρόβλεψη για το Inf2000:Iείναι, οπότε

31. Αυτοπαλίνδρομο σχήμα τάξης p: AR(p) • Το υπόδειγμα AR(p) χρησιμοποιεί pυστερήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής Y ως ερμηνευτικές μεταβλητές. • Το υπόδειγμα AR(1) αποτελεί μια ειδική περίπτωση. • Οι συντελεστές δεν έχουν αιτιώδη ερμηνεία. • Για τον έλεγχο της υπόθεσης ότι η σειρά Yt–2,…,Yt–p , πέρα από το Yt–1, δε βοηθά περαιτέρω στο να προβλέψουμε το Yt, χρησιμοποιούμε ένα F-test. • Χρησιμοποιούμε είτε t- είτε F-tests για να καθορίσουμε το βαθμό υστέρησης p. • Ή, καλύτερα, καθορίζουμε το p χρησιμοποιώντας ένα «κριτήριο πληροφορίας».

32. Παράδειγμα: ένα υπόδειγμα AR(4) για τον πληθωρισμό • Η τιμή τηςF-στατιστικής για τον έλεγχο των υστερήσεων 2,3,4 ισούται με 6.43 (p-value < .001). • Ο διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού αυξήθηκε από .04 σε .21 μετά την πρόσθεση στο υπόδειγμα των υστερήσεων 2, 3, 4. • Πέρα από την πρώτη υστέρηση, οι υστερήσεις 2, 3, 4 (από κοινού) βοηθούν στο να προβλέψουμε τη μεταβολή του πληθωρισμού.

33. Παράδειγμα: το υπόδειγμα AR(4) για τον πληθωρισμό – STATA

34. Παράδειγμα: το υπόδειγμα AR(4) για τον πληθωρισμό – STATA (συνέχεια) Παρατήρηση: κάποια από τα χαρακτηριστικά των χρονολογικών σειρών του STATA διαφέρουν μεταξύ STATAv. 7 και STATAv. 8…

35. Παρέκκλιση: γιατί χρησιμοποιούμε το Inf, και όχι το Inf στα αυτοπαλίνδρομα σχήματα; Το υπόδειγμα AR(1) για το ΔInft–1 είναι το ίδιο με το υπόδειγμα AR(2) για το Inft–1: ή ή οπότε Γιατί, λοιπόν, χρησιμοποιούμε το Inft και όχι το Inft;

36. Το AR(1) για το Inf: Inft = 0 + 1Inft–1 + ut Το AR(2) για τοInf:Inft = 0 + 1Inft + 2Inft–1 + vt • Όταν τοYt εμφανίζει υψηλή σειριακή συσχέτιση, ο εκτιμητής OLS του AR συντελεστή είναι μεροληπτικός γύρω από το μηδέν. • Στην ακραία περίπτωση που ο AR συντελεστής ισούται με τη μονάδα , το Yt δεν είναι στάσιμο: τα ut συσσωρεύονται και τότε τοYt εκρήγνυται. • Αν το Yt δεν είναι στάσιμο, η θεωρία της παλινδρόμησης με την οποία δουλεύουμε εδώ καταρρέει. • Εδώ, το Inft εμφανίζει υψηλή σειριακή συσχέτιση – οπότε για να παραμείνουμε εντός ενός θεωρητικού πλαισίου κατανοητού σε εμάς, οι παλινδρομήσεις προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας το Inf.

37. Παλινδρόμηση Χρονολογικών Σειρών με Πρόσθετες Ερμηνευτικές Μεταβλητές και Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα Κατανεμόμενων Χρονικών Υστερήσεων(ADLModel) • Έως τώρα έχουμε εξετάσει υποδείγματα πρόβλεψης που χρησιμοποιούν μόνο παρελθούσες τιμές του Υ. • Μπορούμε να προσθέσουμε στο υπόδειγμα και άλλες μεταβλητές (Χ) που ενδέχεται να φανούν χρήσιμες για την πρόβλεψη της τιμής του Y: • Αυτό είναι ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα κατανεμόμενων χρονικών υστερήσεων - autoregressivedistributedlag(ADL) model.

38. Παράδειγμα: χρονικές υστερήσεις της ανεργίας και του πληθωρισμού • Σύμφωνα με την «καμπύλη Phillips», αν η ανεργία υπερβεί το επίπεδο ισορροπίας (ή «φυσικό» ποσοστό ανεργίας, όπως, συνήθως ονομάζεται), ο ρυθμός πληθωρισμού αυξάνεται. • Θα πρέπει, δηλαδή, η σχέση που συνδέει το Inft με τις τιμές υστέρησης του ποσοστού ανεργίας να είναι αρνητική. • Εκείνο το ποσοστό ανεργίας στο οποίο ο πληθωρισμός παραμένει αμετάβλητος, καλείται, συνήθως, “non-acceleratingrateofinflation” ή κατόπιν συντμήσεως NAIRU. • Εμφανίζεται η σχέση μεταξύ πληθωρισμού και ανεργίας που περιγράψαμε πιο πάνω στα οικονομικά στοιχεία των ΗΠΑ; • Μπορούμε να «εκμεταλλευτούμε» τη σχέση αυτή προκειμένου να προβλέψουμε τον πληθωρισμό;

39. Η εμπειρική «καμπύλη Phillips»

40. Το NAIRU είναι η τιμή του u για την οποία παίρνουμε Inf = 0 Παράδειγμα: το υπόδειγμα ADL(4,4) για τον πληθωρισμό • = 0.35 – τιμή που είναι βελτιωμένη σημαντικά σε σύγκριση με την αντίστοιχη τιμή του διορθωμένου συντελεστή προσδιορισμού του υποδείγματος AR(4) για τον πληθωρισμό που ήταν ίση με .21

41. Παράδειγμα: dinfκαι unem – STATA

42. Παράδειγμα: το υπόδειγμα ADL(4,4) για τον πληθωρισμό – STATA (συνέχεια).

43. Ο έλεγχος της από κοινού υπόθεσης ότι κανένα από τα Χ δεν είναι χρήσιμο στην πρόβλεψη της τιμής του Υ, εκτός από τις τιμές υστέρησης του ίδιου του Υ, ονομάζεται έλεγχος αιτιότητας κατά Granger. Ο όρος «αιτιότητα» δεν είναι ιδιαίτερα εύστοχος στην παρούσα ανάλυση: ο έλεγχος της αιτιότητας κατά Grangerαναφέρεται απλώς στην (οριακή) προβλεπτική ικανότητα μιας ερμηνευτικής μεταβλητής του υποδείγματος.

44. Σύνοψη: Προβλεπτικά Υποδείγματα Χρονολογικών Σειρών • Οι ανάγκες μιας πρόβλεψης δεν απαιτούν συντελεστές που να έχουν αιτιώδη ερμηνεία! • Απλές και αξιόπιστες προβλέψεις μπορούν να παραχθούν χρησιμοποιώντας αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα τάξεως p, AR(p). Αυτά αποτελούν κοινά προβλεπτικά υποδείγματα αναφοράς, βάσει των οποίων πιο περίπλοκα υποδείγματα πρόβλεψης δύνανται να αξιολογηθούν. • Είναι δυνατό να προστεθούν επιπλέον ερμηνευτικές μεταβλητές (Χ) στο υπόδειγμα. Από την πρόσθεση αυτή προκύπτει ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα κατανεμόμενων χρονικών υστερήσεων (ADL). • Στάσιμα καλούνται τα υποδείγματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν εκτός του πεδίου των δεδομένων για τα οποία εκτιμήθηκαν. • Τώρα, λοιπόν, διαθέτουμε τα εργαλεία που απαιτούνται ώστε να εκτιμήσουμε δυναμικά αιτιώδη αποτελέσματα…