Η Κβαντομηχανική Ως Μέσο Υπολογισμού

1. Η Κβαντομηχανική Ως Μέσο Υπολογισμού Ομιλητές: Θεοδωρόπουλος Κωνσταντίνος Νταλαπέρας Δημήτριος Πετράς Ιάσονας

2. ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗ... Στατιστικές θεωρίες (κινητική θεωρία των αερίων,κβαντομηχανική) Εισαγωγή του τυχαίου μέσω της έννοιας της πιθανότητας Γιατί τις χρησιμοποιούμε ; Κινητική θεωρία των αερίων  Εισαγωγή του ατομικού μοντέλου Κβαντική μηχανική  υποατομικά φαινόμενα, ακτινοβολία μέλανος σώματος

3. ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗ... Βασικές αρχές θερμοδυναμικής Θερμοκρασία , Θερμότητα Ο Α’ νόμος (αρχή διατήρησης ενέργειας) Ο Β’ νόμος (υποβάθμιση της ενέργειας) Εντροπία ( , ) Η κινητική θεωρία ερμήνευσε τις έννοιες θερμοκρασία και θερμότητα με έναν πολύ απλό τρόπο.Αναπόφευκτο συμπέρασμα : οι νόμοι της φύσης αποκτούν στατιστικό νόημα

4. ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗ... Τα σωματίδια κινούνται τυχαία προς οποιαδήποτε κατεύθυνση : Θεώρημα ισοκατανομής ενέργειας.

5. ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗ Η συνάρτηση Η του Boltzmann Το πρώτο μη αντιστρέψιμο στον χρόνο αποτέλεσμα της φυσικής

6. Η ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Shannon , Weaver 1948-1949

7. Προορισμός Πηγή C D Το επικοινωνιακό σύστημα μήνυμα σήμα μήνυμα θόρυβος

8. Η πηγή Διακριτή στοχαστική διαδικασία που παράγει σύμβολαμε αντίστοιχες πιθανότητες «Πληροφορία» της πηγής Παρατηρήστε την ομοιότητα με το H του Boltzmann. Μονάδα μέτρησης : bit

9. Το αποτέλεσμα των περισσότερο σημαντικών ακολουθιών Για αρκετά μεγάλο μήκος ακολουθιών Ν και για οποιαδήποτε ε>0 και δ >0 μπορούμε να βρούμε ένα σύνολο «λιγότερο πιθανών ακολουθιών» με συνολική πιθανότητα εμφάνισης μικρότερη του ε και ένα σύνολο «περισσότερο πιθανών ακολουθιών» με πιθανότητα εμφάνισης Ο πληθάριθμος των περισσότερο ακολουθιών είναι ίσος με .

10. Το (διακριτό) κανάλι Τα δύο θεωρήματα του Shannon ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (noiseless channel) Αν Η η εντροπία της πηγής και C η χωρητικότητα του καναλιού τότε ισχύει Υπάρχει κωδικοποίηση τέτοια ώστε να μπορούμε να μεταδώσουμε με ρυθμό C/H – ε , ε > 0 Δεν υπάρχει κωδικοποίηση τέτοια ώστε να μπορούμε να μεταδώσουμε με ρυθμό μεγαλύτερο C/H .

11. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 (noisy channel) Αν Η < C τότε μπορούμε να βρούμε κωδικοποίηση τέτοια ώστε η μετάδοση να γίνεται με οσοδήποτε μικρό ρυθμό λαθών . Αν Η > C τότε μπορούμε να βρούμε κωδικοποίηση τέτοια ώστε ο ρυθμός λαθών να είναι ίσος με Η – C + ε , ε > 0. Δεν υπάρχει κωδικοποίηση με ρυθμό λαθών μικρότερο από Η – C

12. H KBANTIKH MHXANIKH

13. 1900 Max Planck 1905 Albert Einstein (φωτοηλεκτρικό φαινόμενο) 1908 Albert Einstein (κίνηση Brown) 1911 Ernest Rutherford 1915 Niels Bohr 1923 Louis de Broglie 1927 Werner Heisenberg 1928 Erwin Schrodinger 1928 Max Born 1930 P.A.M. Dirac , J. von Neumann 1935 EPR 1962 J. Bell

14. ΦΥΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ • Η αρχή της υπέρθεσης Η κατάσταση του υπό εξέταση συστήματος ΠΕΡΙΕΧΕΙ τις «βασικές» καταστάσεις. • «Βασικές» καταστάσεις : Οι καταστάσεις που προκύπτουν από την μέτρηση μιας ποσότητας (ενέργειας,ορμής,θέσης,χρόνου κτλ) Dirac notation : C1 και C2 μιγαδικοί λ1 και λ2 οι τιμές της μέτρησης , |λ1> και |λ2> οι καταστάσεις που δίνουν αυτές τις τιμές

15. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ • Η κατάσταση |φ> δίνει με πιθανότητατο αποτέλεσμα λ1 (και μεταπίπτει στην κατάσταση |λ1> ) και με πιθανότητα το αποτέλεσμα λ2 (και μεταπίπτει στην κατάσταση |λ2>). • Οποιαδήποτε άλλη μέτρηση της ίδιας ποσότητας στο σύστημα θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με την πρώτη μέτρηση.

16. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ • Χώρος Χίλμπερτ (διανυσματικός χώρος με πεπερασμένο εσωτερικό γινόμενο) • Θεωρία τελεστών • Κάθε μετρήσιμη ποσότητα περιγράφεται από τον τελεστή της . Οι βασικές καταστάσεις είναι οι ιδιοοκαταστάσεις του τελεστή ενώ οι μετρούμενες τιμές οι αντίστοιχες ιδιοτιμές. Οι τελεστές που έχουν ένα ΠΛΗΡΕΣ και ΔΙΑΚΡΙΤΟ φάσμα αντιπροσωπεύουν ποσότητες που μπορούν να μετρηθούν (observables) R φ = λ φ • Unitary τελεστές : R* R = R R* = I • Θεωρία προβολών Κάθε υπόχωρος του χώρου Χίλμπερτ περιφράφεται μοναδικά από τον τελεστή προβολής σε αυτόν τον υπόχωρο

17. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑΣ • Είδαμε την περίπτωση μιας μετρούμενης ποσότητας.Τί γίνεται όμως όταν θέλουμε να μετρήσουμε δύο ποσότητες την ίδια χρονική στιγμή; • Ο Χάιζενμπεργκ έδειξε ότι στην γενική περίπτωση αυτό δεν είναι δυνατό.Γίνεται μόνο όταν οι τελεστές αντιμετατίθενται.

18. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ • Αναμενόμενη τιμή μιας μετρούμενης ποσότητας Exp (R,φ) = (Rφ , φ) • «Μικτές» καταστάσεις (στατιστική συλλογή) • Καταστάσεις με αντίστοιχες πιθανότητες • Στατιστικός τελεστής • Αναμενόμενη τιμή Exp (R , U) = Tr ( UR )

19. ΕΞΕΛΙΞΗ-ΕΝΤΡΟΠΙΑ • Εντροπία μιας στατιστικής συλλλογής • Εξέλιξη ενός κβαντικού συστήματος • Μέσω μετρήσεων • Μέσω της εξίσωσης Schrodinger • Το πρώτο είδος εξέλιξης είναι μη αντιστρέψιμο στον χρόνο ενώ το δεύτερο είναι (unitary evolution).

20. KBANTIKH ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ • S ≤ Η • Kholevo Bound (1973) • No cloning theorem • Μία κβαντική κατάσταση δεν είναι δυνατόν να ανιτγραφεί

21. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ • Το κβαντικό κανάλι Χ Μ  Χ  Μ’ U U* Για αξιόπιστη μεταφορά πρέπει dim(X) > dim(M) U : coding transformation U* : decoding transformation

22. KBANTIKH ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ • Μπορούμε να χαλαρώσουμε τον παραπάνω περιορισμό Μ  C + E  C  C + E’  M’ Μπορούμε τότε να αποδείξουμε κάτι ανάλογο με το αποτέλεσμα των πιο πιθανών ακολουθιών , μόνο που τώρα θα μιλάμε για πιο πιθανούς υπόχωρους. • Ερμηνεία της εντροπίας S σαν το πλήθος των qubits που αντιστοιχούν στην εντροπία της πηγής. • 1 qubit = Ο στοιχειώδης υποχώρος Hilbert που συνθέτει ανεξάρτητα όλους τους υπόχωρους μεγαλύτερης διάστασης

23. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ • Quantum Noiseless Theorem Έστω μία κβαντική πηγή Μ που περιγράφεται από τον στατιστικό τελεστή U και έστω ε >0, δ >0 . Τότε αν διαθέτουμε S(U)+δ qubits γιατην κωδικοποίηση τότε μπορούμε να μεταφέρουμε το κβαντικό σήμα με αξιοπιστία μεγαλύτερη από 1 – ε . Αλλιώς αν διαθέτουμε λιγότερα από S(U) –δ qubits τότε η αξιοπιστία θα είναι μικρότερη από ε.

24. ENTAGLEMENT • Το πιο εξωτικό φαινόμενο της κβαντικής μηχανικής • Το spin • Παράδοξο EPR (1935) • Entagled state (EPR singlet, EPR pair)

25. TELEPORTATION • Δύο μέρη , ο Α και ο Β , θέλουν να επικοινωνήσουν . • Δημιουργούν ένα EPR pair.Ο Α παίρνει το ένα σωματίδιο του ζεύγους ενώ ο Β το άλλο. • Ο Α μετράει το σωματίδιο φ και το ένα μέλος του ζεύγους ως προς την βάση Bell. • Στέλνει το αποτέλεσμα στον Β (ποια βάση από τις 4 βάσεις βγήκε) • Ο Β ανακατασκευάζει το σωματίδιο φ εκτελώντας τους κατάλληλους μετασχηματισμούς στο δικό του σωματίδιο.

26. ΤΟ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ • Η πηγή (μία στατιστική συλλογή U) • Το κανάλι • Το καθαρά κβαντικό κανάλι Q • Το κανάλι για κλασσική επικοινωνία C • Το κανάλι Q’ για κβαντική επικοινωνία υποβοηθούμενη από κλασσική. (teleportation) • Q ≤ C , Q ≤ Q’ ( Q’ ??? C ) • Σημαντικό συμπέρασμα : Ακόμα και αν το κβαντικό κανάλι Q έχει χωρητικότητα 0 μπορούμε μέσω του Q’ να στείλουμε κβαντική πληροφορία μέσω εξόρυξης EPR ζευγών.

27. QUANTUM ERROR CORRECTION • Κβαντικός θόρυβος Οποιοσδήποτε unitary μετασχηματισμός. • Pauli matrices • Decoherence. Έστω ότι έχουμε stored μία κατάσταση |φ> = α |0> + β |1> .Τότε • Υπάρχει λύση : ο 9-qubit κώδικας του Peter Shor (βασισμένος στο majority-voting) διορθώνει ένα λάθος στην μνήμη

28. KBANTIKA ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ • RSA , DES : κρυφή και κοινά διαμοιραζόμενη πληροφορία μεταξύ δύο χρηστών .Απαιτούν ένα public directory. • Κβαντικά πρωτόκολλα (ΒΒ84) • Ο Α δημιουργεί ένα δυαδικό string • Ερμηνεύει το 1 σαν διαγώνια πόλωση και το 0 σαν κάθετη (π.χ.) • Ο Β τυχαία αποφασίζει τυχαία σε τι βάση θα μετρήσει κάθε φωτόνιο • Για να μάθει τα σωστά φωτόνια στέλνει κλασσικά μηνύματα στον Α. • Υπό συνθήκες παρακολούθησης μόνο το ¼ των φωτονίων έχει πιθανότητα να ληφθεί λάθος. • Ο Β αποκαλύπτει το 1/3 από τα φωτόνιά του.Αν όλα ΟΚ τότε αποδέχεται τα υπόλοιπα σαν το κρυφό κλειδί

29. Μοντέλα Κβαντικού Υπολογισμού • Κβαντική Μηχανή Turing (Quantum Turing Machine) • Κβαντικά Κυκλώματα (Quantum Gate Arrays)

30. Κβαντική Turing Μηχανή Είναι μία τριάδα • πεπερασμένο αλφάβητο, με διακεκριμένο κενό σύμβολο # • σύνολο καταστάσεων • η συνάρτηση μετάβασης

31. Κβαντική Turing Μηχανή • Configuration μίας QTM Έστω S ο χώρος που ορίζεται από τους γραμμικούς συνδυασμούς όλων των configurations της μηχανής M. Καλούμε κάθε στοιχείο configuration της Μ. • Εξέλιξη μίας QTM Ορίζεται ο τελεστής Ο από την αρχικό configuration c δημιουργεί την υπέρθεση

32. Σχηματική Αναπαράσταση της Κβαντικής Turing Μηχανής c d d c0.5 0.5 0.5 -0.5

33. Κβαντική Θεωρία Πολυπλοκότητας • EQP Ορίζεται το σύνολο των γλωσσών που αποφασίζονται ακριβώς από μία QTM σε χρόνο πολυωνυμικό ως προς την είσοδο. • BQP Ορίζεται το σύνολο των γλωσσών που αποφασίζονται με πιθανότητα 2/3 από μία QTM σε χρόνο πολυωνυμικό ως προς την είσοδο

34. Κβαντική Θεωρία Πολυπλοκότητας Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις

35. Κβαντική Θεωρία Πολυπλοκότητας Ισχύει: Αν αποδείξουμε ότι οι Κβαντικοί Υπολογιστές είναι πιο δυνατοί από τους Κλασσικούς τότε: που είναι ένα από τα άλυτα προβλήματα της Θεωρίας Πολυπλοκότητας

36. Κβαντικά Κυκλώματα • Μία κλασσική Πύλη καθορίζεται πλήρως από τη δράση της σε μία οποίαδήποτε είσοδο αποτελούμενη από 0 και 1 • Μία κβαντική Πύλη για να καθοριστεί πλήρως, πρέπει να περιγράφεται από τη δράση της σε οποιαδήποτε γραμμική υπέρθεση από 0 και 1

37. Κβαντικά Κυκλώματα • Η πύλη NOT Σε αναπαράσταση πίνακα

38. Κβαντικά Κυκλώματα Η πύλη Hadamard Η πύλη Hadamard χρησιμοποιείται για να φτιάξουμε μια «ισοζυγισμένη» υπέρθεση όλων των δυνατών τιμών

39. Controlled Πύλες • Στις ελεγχόμενες πύλες (controlled gates)η έξοδος του target qubit εξαρτάται από την τιμή του control qubit

40. Αλγόριθμος του Grover Ψάξιμο σε unstructured database σε χρόνο

41. Η ιδέα του αλγορίθμου • Πρώτα δημιουργούμε μία υπέρθεση όλων των δυνατών τιμών • Εφαρμόζουμε τον τελεστή

42. Αλγόριθμος Grover Συνέχεια Κατόπιν εκτελούμε περιστροφή περί το μέσο (inversion around average)

43. Αλγόριθμος Grover Συνέχεια • Αποδυκνείεται ότι μετά από βήματα βρίσκεται η ζητούμενη λύση

44. Quantum Computation Η Ισχύς Του Κβαντικού Υπολογισμού

45. Κβαντικός μετασχηματισμός Fourier Μορφή: 1) Σε ορθοκανονική βάση. 2)Σε τυχαία κατάσταση ενός qubit. Όπου.

46. Κβαντικός μετασχηματισμός Fourier Μορφή γινομένου της ορθοκανονικής βάσης: Με σε κβαντικό υπολογιστή n qubits. H μορφή αυτή οδηγεί σε κύκλωμα υλοποίησης κβαντικού μετασχηματισμού Fourier.

47. Κύκλωμα υλοποίησης QFT H R2 Rn-1 Rn H Rn-2 Rn-1 H R2 H

48. Όπου H η Hadamard gate αλλιώς γνωστή και ως square - root Αντιπροσωπεύει περιστροφή του διανύσματος Bloch κατά 90ο στον άξονα y καικατά 180ο στον άξονα x Και

49. Πολυπλοκότητα QFT Συνολικός αριθμός πυλών: • πύλες Hadamard και • Το πολύ n/2 swaps με 3 C-NOT το καθένα Πολυπλοκότητα λειτουργίες Κλασσικός FFT Πολυπλοκότητα: λειτουργίες

50. Είναι ο QFT εφαρμόσιμος στην πράξη; Όχι, για δύο λόγους: • Αδυναμία εξαγωγής αποτελεσμάτων για τα amplitudes • Αδυναμία προετοιμασίας της αρχικής κατάστασης του QFT H λύση είναι η μέθοδος της εκτίμησης φάσης