MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 12 28.05.2008 r

1. MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 12 28.05.2008 r

2. Formalizm Lagrange’a Równania Lagrange’a • Formalizm Lagrange’a polega na opisywaniu układów dynamicznych za pomocą: • współrzędnych i prędkości uogólnionych • funkcji Lagrange’a • równań ruchu Lagrange’a drugiego rodzaju • Układ n punktów materialnych jest opisany, w dowolnym momencie czasu, • 3n współrzędnymi: • W miejsce tych współrzędnych wprowadzamy współrzędne uogólnione q, które • mogą być dowolnymi funkcjami r i mogą zależeć jawnie od czasu.

3. Formalizm Lagrange’a Równania Lagrange’a Prędkości uogólnione uzyskujemy różniczkując po czasie współrzędne uogólnione, w efekcie mamy: gdzie i=1,2,…,N (N jest liczbą stopni swobody) Funkcja Lagrange’a (lagranżjan, potencjał kinetyczny) jest definiowana następująco: Znając potencjał kinetyczny układu o N stopniach swobody możemy otrzymać równania Lagrange’a drugiego rodzaju.

4. Formalizm Lagrange’a Równania Lagrange’a Równania Lagrange’a drugiego rodzaju: tworzą układ równań rzędu 2N. Równania Lagrange’a nie ulegają zmianie podczas transformacji zmiennych uogólnionych (czyli zmianie układu odniesienia). Zdefiniujmy transformację do N nowych zmiennych y1,y2,…,yN: wtedy potencjał kinetyczny:

5. Formalizm Lagrange’a Równania Lagrange’a Poza tym: co można przepisać w postaci: Ponieważ qi nie zależą od pochodnych yk, więc mamy: Oprócz tego należy pamiętać, że:

6. Formalizm Lagrange’a Równania Lagrange’a Uwzględniając te zależności w równaniu Lagrange’a drugiego rodzaju dostajemy: ponieważ: więc mamy również: Co oznacza, że równania Lagrange’a nie ulegają zmianie przy zmianie układu współrzędnych

7. Formalizm Lagrange’a Cząstka w potencjale radialnym Potencjał posiadający symetrię sferyczną ma ogólną postać V=V(r). Wprowadźmy współrzędne biegunowe: Transformacji między układami dokonujemy poprzez: różniczkując po czasie

8. Formalizm Lagrange’a Cząstka w potencjale radialnym Funkcja Lagrange’a na jednostkę masy (dla dowolnego potencjału) Korzystając z niej możemy napisać równania ruchu cząstki:

9. Formalizm Lagrange’a Cząstka w potencjale radialnym W przypadku potencjału radialnego mamy: Wtedy dwa ostatnie równania ruchu przyjmują postać: Oznacza to, że dla potencjału o symetrii sferycznej: 1. Wszystkie orbity są krzywymi płaskimi – zawsze istnieje rozwiązanie trywialne φ=0,dφ/dt=0, które otrzymamy przez odpowiedni wybór płaszczyzny odniesienia 2. Każde zagadnienie posiada całkę pól:

10. Formalizm kanoniczny Równania Hamiltona Mamy układ o M stopniach swobody , który jest opisany przez M współrzędnych uogólnionych qi. Układ posiada funkcję Lagrange’a. Transformacja Legendre’a współrzędnym i prędkościom uogólnionym przypisuje położenia i pędy uogólnione, natomiast funkcji Lagrange’a przypisuje nową funkcję – funkcję Hamiltona (hamiltonian) Możemy przekształcić układ N równań drugiego rzędu (równania Lagrange) w 2N równań pierwszego rzędu (równania kanoniczne Hamiltona):

11. Formalizm kanoniczny Równania Hamiltona Pędy uogólnione: • Hamiltonian: • jeżeli nie zależy jawnie od czasu to jest całką ruchu: • Poza tym hamiltonian określa całkowitą energię układu jeżeli: • transformacja z wektorów r do współrzędnych uogólnionych nie zależy jawnie od czasu • potencjał V(r) nie zależy jawnie od czasu

12. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania ruchu W polu grawitacyjnym dwóch mas porusza się cząstka o zaniedbywalnie małej masie Zakładamy, że obie masy poruszają się po orbitach kołowych wokół barycentrum Masa cząstki jest tak mała, że nie wywiera żadnej siły na obie masy

13. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania ruchu Nieruchomy układ współrzędnych (ξ,η,ζ) jest zaczepiony w barycentrum układu Oś ξ pokrywa się z kierunkiem m1m2 w chwili t0 Ruch obu mas odbywa się w płaszczyźnie ξ-η. Oś ζ jest prostopadła do niej i zgodna ze zwrotem wektora momentu pędu Obie masy są stale w tej samej odległości od siebie i poruszają się ze stałą prędkością wokół siebie i środka masy. r2 μ2 η r1 r (ξ2,η2,ζ2) nt ξ O μ1 (ξ1,η1,ζ1)

14. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania ruchu Jednostki dobieramy tak aby μ=G(m1+m2)=1. Jeśli dodatkowo założymy, że m1>m2 to: wtedy w obranym układzie jednostek masy ciał są równe: Jednostkę odległości dobieramy tak aby odległość miedzy masami była równa 1 Wtedy wspólny ruch średni, n, obu mas jest również równy 1 r2 μ2 η r1 r (ξ2,η2,ζ2) nt ξ O μ1 (ξ1,η1,ζ1)

15. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania ruchu Równania ruchu cząstki: gdzie: r2 μ2 η r1 r (ξ2,η2,ζ2) (12.1) nt ξ O μ1 (ξ1,η1,ζ1)

16. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania ruchu Obie masy poruszają się po kołowych orbitach z jednakowym ruchem średnim Z tego powodu ruch cząstki jest wygodnie opisywać w układzie (x,y,z) rotującym ze stałą prędkością Kierunek osi x jest dobrany tak, aby obie masy leżały zawsze na niej, tzn.: wtedy: gdzie (x,y,z) są współrzędnymi cząstki w układzie rotującym r2 μ2 η r1 y r (ξ2,η2,ζ2) x nt ξ O μ1 (ξ1,η1,ζ1)

17. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania ruchu Współrzędne (x,y,z) można wyrazić w układzie nieruchomym poprzez zwykły obrót: w tym i następnych równaniach n będzie obecne (pomimo tego, że wybraliśmy n=1) dla podkreślenia tego, że wszystkie czynniki w równaniach ruchu są przyspieszeniami Różniczkujemy powyższą równość: (12.2) (12.3)

18. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania ruchu Różniczkujemy ponownie: Przejście do rotującego układu odniesienia powoduje pojawienie się czynników związanych z przyspieszeniem Coriolisa oraz przyspieszeniem odśrodkowym (n2x,n2y). Otrzymane wyrażenia na współrzędne ξ, η, ζ oraz ich drugie pochodne można użyć do wyrażenia równań ruchu za pomocą współrzędnych x,y,z związanych z rotującym układem współrzędnych

19. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania ruchu Otrzymujemy: Pomnożymy pierwsze z równań przez cos nt, a drugie przez sin nt i dodamy do siebie, a następnie pierwsze przez –sin nt i drugie przez cos nt i dodamy do siebie. W efekcie dostajemy:

20. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania ruchu Powyższe przyspieszenia można wyrazić jako gradient skalarnej funkcji U=U(x,y,z) (12.4)

21. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania ruchu gdzie: w powyższym równaniu x2+y2 jest potencjałem odśrodkowym a czynniki 1/r1 i 1/r2 odpowiadają potencjałowi grawitacyjnemu. Pochodne cząstkowe tych czynników dają wkład do siły odśrodkowej i grawitacyjnej. Funkcja U nie jest prawdziwym potencjałem, ale funkcją skalarną, z której można wyznaczyć niektóre (nie wszystkie) przyspieszenia jakich doznaje cząstka w układzie rotującym. Taka funkcja U jest „pseudo potencjałem”.

22. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Całka Jacobiego Mnożąc równania 12.4 kolejno przez pierwsze pochodne x,y,z i dodając do siebie dostajemy: Po scałkowaniu: gdzie CJ jest stałą całkowania. Lewa strona jest kwadratem prędkości w układzie rotującym, stąd: wykorzystując otrzymane wcześniej wyrażenie na potencjał: CJ jest tzw. całką Jacobiego. Jest to jedyna znana całka ruchu w ograniczonym zagadnieniu 3 ciał. To nie jest całka energii! – w ograniczonym zagadnieniu trzech ciał energia i całkowity moment pędu nie są zachowane

23. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Całka Jacobiego CJ można wyrazić również we współrzędnych układu nieruchomego. W tym celu możemy wykorzystać uzyskane wcześniej wyrażenia (12.2, 12.3) na przejście między układem nieruchomym i obracającym się: Drugie z wyrażeń można zapisać nieco inaczej:

24. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Całka Jacobiego Porównując oba wyrażenia: Wprowadzamy oznaczenia: Możemy z 12.5 otrzymać: (12.5)

25. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Całka Jacobiego Macierze A i B są ortogonalne więc macierze odwrotne są po prostu macierzami transponowanymi. Ponieważ obrót nie zmienia odległości więc:

26. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Całka Jacobiego W takim razie całka Jacobiego wyrażona we współrzędnych układu nieruchomego: co można przepisać w postaci: Lewa strona tego równania jest całkowitą energią na jednostkę masy cząstki. Ponieważ iloczyn momentu pędu i ruchu średniego nie jest stały, więc jasnym jest dlaczego całkowita energia nie jest zachowana w ograniczonym zagadnieniu trzech ciał. Całka Jacobiego nie przydaje się do uzyskania dokładnego rozwiązania ograniczonego zagadnienia trzech ciał, ale może być użyta do wyznaczenia obszarów wzbronionych dla ruchu cząstki.

27. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Całka Jacobiego Użyteczność całki Jacobiego jest dobrze widoczna przy analizie miejsc, w których prędkość cząstki jest równa 0. Mamy wtedy: Powyższe równanie definiuje powierzchnie dla danej wartości CJ – powierzchnie zerowej prędkości. Są one przydatne przy określaniu warunków brzegowych dla ruchu cząstki CJ=3.9 CJ=3.7

28. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Całka Jacobiego Dla ułatwienia ograniczymy się do płaszczyzny x-y. W takim wypadku przecięcia powierzchni zerowej prędkości z płaszczyzną x-y dają krzywe zerowej prędkości (rysunek). Z równania: widać, że zawsze musi być 2U>=CJ, bo w przeciwnym razie prędkość ma wartość zespoloną. Stąd równanie 12.7 definiuje obszary, w których ruch jest dozwolony. CJ=3.9 (12.7) CJ=3.7

29. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Całka Jacobiego Obszary szare są zakazane dla ruchu cząstki Weźmy przypadek CJ=3.9. Wynika stąd, że jeżeli cząstka znajduje się w dozwolonym obszarze wokół μ1 to nie może nigdy krążyć wokół μ2, a także nie może uciec z układu ponieważ nie może poruszać się przez obszar wzbroniony. To jest podstawa teorii stabilnych orbit Hilla Należy jednak pamiętać, że powyższe wnioski dotyczą przypadku gdy dwie masy poruszają po kołowych orbitach wokół barycentrum, a trzecia masa nie działa na nie siłą grawitacyjną CJ=3.9 CJ=3.7

30. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Kryterium Tisseranda Kometa porusza się początkowo po orbicie o elementach a, e, I Po bliskim przejściu w pobliżu Jowisza orbita ulega zmianie, a nowe parametry to: a’, e’, I’ Całka Jacobiego (która pozostaje stała podczas zbliżenia) może być wykorzystana do uzyskania związku między tymi elementami Położenie i prędkość komety w układzie nieruchomym: Całka Jacobiego w tym układzie: gdzie r1 i r2 są odpowiednio odległością komety od Słońca i Jowisza orbita komety orbita Jowisza Słońce bliskie przejście

31. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Kryterium Tisseranda Wybieramy układ jednostek, w którym wielka półoś i ruch średni Jowisza są jednostkowe Ponieważ masy Jowisza i komety są dużo mniejsze od masy Słońca: Całka energii dla układu dwóch ciał kometa-Słońce: całkowity moment pędu (kometa-Słońce) na jednostkę masy: orbita komety orbita Jowisza Słońce bliskie przejście

32. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Kryterium Tisseranda Jeśli I jest nachyleniem orbity komety względem płaszczyzny orbity Jowisza, to składowa ξ-owa wektora momentu pędu: gdzie w naszym układzie jednostek mamy: Ostatecznie całka Jacobiego przyjmuje postać: orbita komety orbita Jowisza Słońce bliskie przejście

33. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Kryterium Tisseranda Jeśli założymy, że kometa znajduje się stosunkowo daleko od Jowisza (1/r2 jest zawsze małe) i pominiemy wyrażenia z μ2, to kryterium: W takim razie zależność między elementami orbitalnymi komety przed i po „spotkaniu” z Jowiszem: Ta zależność jest zwana kryterium Tisseranda. Może być użyte do określenia, czy odkryta kometa jest obiektem znanym wcześniej, którego elementy orbitalne uległy zmianie po przejściu w pobliżu planety orbita komety orbita Jowisza Słońce bliskie przejście

34. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Kryterium Tisseranda Przykład. Początkowe parametry orbity komety: a=4.81 AU e=0.763 I=7.47o Po przejściu w pobliżu Jowisza: a’=10.8 AU e’=0.731 I’=21.4o Murray,Dermott 1999 czas (lata) Zmiana stałej Tisseranda dla dwóch wyznaczeń orbity komety przy założeniu kołowej i eliptycznej orbity Jowisza. Można zauważyć, że stała zmienia się bardzo niewiele w obu przypadkach, a więc może być traktowana jako stała nawet w przypadku bardziej rzeczywistego przybliżenia orbity Jowisza

35. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrange’a Pozycje dwóch mas m1 i m2 poruszających po kołowych orbitach wokół wspólnego środka masy pozostają niezmienne w układzie rotującym wokół barycentrum ze stałą prędkością. Punkty równowagi – miejsca, w których cząstka p poruszająca się z pewną prędkością w układzie nieruchomym będzie stacjonarna w układzie rotującym Należy pamiętać, że w takim punkcie cząstka nadal podlega działaniu kilku sił i w układzie nieruchomym porusza się po orbicie keplerowskiej P F2 F1 F a c b O m1 m2

36. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrange’a Niech wektory a,b,c oznaczają odpowiednio położenia masy m1, barycentrum i m2 względem punktu P F1 i F2 – siły (na jednostkę masy) działające na cząstkę P skierowane do mas m1 i m2 Jeśli P znajduje się w stałym położeniu w układzie rotującym to znajduje się w stałej odległości b od barycentrum, które jest jedynym punktem stałym w układzie nieruchomym. P podlega działaniu siły odśrodkowej, która jest równoważona przez: P F2 F1 F a c b O m1 m2

37. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrange’a Położenie barycentrum: Po pomnożeniu wektorowo przez F1+F2: Ponieważ kąt między F1 i c jest równy minus kąt między F2 i a, więc możemy napisać powyższe równanie w postaci skalarnej: P F2 F1 F a c b O m1 m2

38. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrange’a W przypadku sił grawitacyjnych: co w połączeniu z równaniem: daje: a=c – trójkąt utworzony przez cząstkę i obie masy jest równoramienny W takim razie wszystkie punkty P, dla których F przechodzi przez barycentrum są położone na linii prostopadłej do linii łączącej masy m1 i m2. P γ β a a b α α g O m1 m2 d

39. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrange’a Siła odśrodkowa równoważy siłę skierowaną do barycentrum, stąd: co dla sił grawitacyjnych daje: z trójkątów utworzonych przez punkty O, P i obie masy mamy: a z definicji środka masy: P γ β a a b α α g O m1 m2 d

40. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrange’a Wykorzystując te zależności możemy równanie: zapisać w postaci: (12.6) z tw. cosinusów: Podstawiając w powyższym wyrażenia na g wynikające z definicji środka masy dostajemy: co w połączeniu z 12.6 daje: P γ β a a b α α g O m2 m1 d

41. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrange’a Oprócz tego układ odniesienia rotuje w układzie nieruchomym z prędkością kątową n więc: czyli a=d P γ β a a b α α g O m2 m1 d