一、无穷小量

设f在某U°(x0)内有定义,若 则称f为当x→x0时的无穷小量。 §5 无穷小量与无穷大量一、无穷小量 1、定义: 极限为零的变量称为无穷小量. 若函数g在某U゜(x0)内有界，则称g为x→x0时的有界量。

任何无穷小量都是有界量。 类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。

问：无穷小是否为很小的数？ 很小的数是否为无穷小？注意（1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.

二、无穷小量与极限的关系 定理1 意义：（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量);

三、无穷小量的性质 性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是无穷小量. 性质2 （同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是无穷小，即 O(1)·o(1)=o(1). 证法1：用迫敛性可以证明。

$ > d > < - < d £ M 0 , 0 , 0 x x u ( x ) M 即使得当时，恒有。 1 0 1 性质2 （同一过程中的） O(1)·o(1)=o(1). 证法2 即 O(1)·o(1)=o(1).

注意无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小；注意无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小；无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小.

四、无穷小量阶的比较 无穷小量之比的极限（0/0）可以出现各种情况：例如, 观察各极限不可比. 出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.

1．若则称当x→x0时 , f为g的高阶无穷小量,或称g为f的低阶无穷小量，记作设当x→x0时，f与g均为无穷小量，例如，当x→0时，x, x2, …, xn (n为正整数)等都是无穷小量，有

若存在正数K和L，使得在某U°(x0)上有 2. 则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量。 f与g必为同阶无穷小量。

注若f(x),g(x)是同阶无穷小量，则可记作f(x)=O(g(x)), 但若 f(x)=O(g(x)),则f(x)与g(x)不一定是同阶无穷小量。

属于函数类

3．若则称当x→x0时 , f与g是等价无穷小量，记作 f(x)~g(x) (x→x0). 注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。例如，当x→0时，x sin 1/x和x2都是无穷小量，当x→0时不是有界量，当x→0时不是有界量，故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。

例1 例２解

常用等价无穷小:

五、等价无穷小量在求极限问题中的作用 定理 3设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0). 证（2）

推论证证毕

例5 解

例6 错解解注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能随意作等价无穷小量代换。

作业 P66. 1 (4) 2 (2)

六、无穷大量 定义2设函数f在某U°(x0)内有定义，若则称函数f当x→x0时有非正常极限∞，记作若将“|f(x)|>G”换成“f(x)>G”或“f(x)<－G”,则分别称f当x→x0时有非正常极限＋∞或－∞，分别记作类似可定义其他极限过程的非正常极限。

定义 3对于自变量x的某种趋向（或n→∞时），所有以∞，＋∞或－∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。

至此，我们定义了极限的全部24种情形。 ——刻画函数极限值情况。 ——刻画自变量变化情况。

注意（1）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大量是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大量.

七、无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量. 证

意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.

注对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大量替换。注对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大量替换。

例3 分析

证明

八、曲线的渐近线 定义: 1.垂直渐近线即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点到直线x=x0距离趋于0。

例如有垂直渐近线两条: 求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。

2.水平渐近线 即动点沿着左右方向无限远离原点时，动点到直线y=b距离趋于0。例如有水平渐近线两条:

3.斜渐近线 即动点沿着直线y=kx方向无限远离原点时，动点到直线y=kx+b距离趋于0。

由此得到斜渐近线的求法:

注意:

例4 解

作业 P66. 4（3）