Download
1 / 29
290 likes | 526 Views
Partiell derivasjon. Partiell derivasjon Innledning. Ordinær derivasjon. Partiell derivasjon. z. y. y. x. u. x. x+ x. x. Derivasjon mht en enkelt variabel (x). Derivasjon mht flere variabler (x,y,z,…) Derivasjon i en vilkårlig retning.
E N D
Partiell derivasjonInnledning Ordinær derivasjon Partiell derivasjon z y y x u x x+x x Derivasjon mht en enkelt variabel (x) Derivasjon mht flere variabler (x,y,z,…) Derivasjon i en vilkårlig retning
Partiell derivasjonAnv - Høydekurver / Gradientvektor / Tangent / Tangentplan Gradientvektor står normalt på nivåkurver (n=2) og nivåflater (n=3) og kan benyttes til bestemmelse av tangenter og tangentplan, f
Partiell derivasjonAnv - Flystøy / Sjokkbølge Direkte sjokkbølge-område fra Concorde T = Luft-temperatur ved bakkevivå (Kelvin) h = Flyets høyde (kilometer) a = Vertikal temperatur drop (Kelvin pr km) Thomas Calculus
Partiell derivasjonAnv - Temperaturvariasjonerunder jordoverflaten Temperaturvariasjoner under jordoverflaten w = Temperatur (modellert til [-1,1] ved jordoverflaten) x = Dybde (fot) t = Tiden fra den høyeste årlige temperatur (dager) Art Norton Starr Ved 30 fot er det mindre enn 0.25% årlig temperaturvariasjon. Ved 15 fot er det ca 5% årlig temperaturvariasjon. Ved 15 fot er temperaturvariasjonene ca et halvt år ute av fase i forhold til overflaten.
Partiell derivasjonAnv - Variasjon i elektrisk resistans Variasjoner i elektrisk resistans
Ordinær derivasjonDef y = f(x) y x x+x x
Partiell derivasjonDef z = f(x,y) z y
Partiell derivasjonEks 1 Gitt funksjonen f(x,y) = x2 + 3xy – 1. Bestem de partiell-deriverte i punktet (x,y) = (4,-5).
Partiell derivasjonEks 2 Gitt funksjonen f(x,y) = ysin(xy). Bestem de partiell-deriverte.
Partiell derivasjonEks 3 - Implisitt derivasjon Gitt implisitt funksjonen z(x,y) ved yz – lnz = x + y. Bestem den partiell-deriverte av z mht x.
Partiell derivasjonEks 4 - Paraboloide Planet x = 1 skjærer paraboloiden z = x2 + y2 i en parabel. Finn stigningstallet til parabelen i punktet (1,2,5). Løsning 1: Løsning 2:
Partiell derivasjonEks 5 - Elektrisk krets Tre motstander med resistans R1, R2 og R3 er koblet i parallell. Bestem hvordan kretsen (resultantresistansen) endres ved små endringer i R2 for R1 = 30, R2 = 45, R3 = 90. R1 R2 R3
Differential - KjerneregelDef y = f(x) y df dx x x Differential Kjerneregel
KjerneregelEks y y x x t t y(x) = f(x) = x2 x(t)= g(t) = sin(t) y(t) = f(g(t)) = f(x(t)) = sin2(t)
Totalt differentialInnledning z2 z z y y z1 x x
Totalt differentialDef y = f(x) y df dx x Totalt differential x Kjerneregel Differential Kjerneregel
KjerneregelEks 1 Finn den deriverte av z = xy langs veien x = cost y = sin t
KjerneregelEks 2 [1/2] Finn dy / dx for y2 = x2 + sin(xy)
KjerneregelEks 2 [2/2] Finn dy / dx for y2 = x2 + sin(xy) Vi setter F(x,y) = y2 – x2 – sin(x,y) Da har vi F(x,y) = 0. Vi tar totalt fifferential på begge sider.
Gradientvektor - RetningsderivertDef y u x Den deriverte av f i P0(x0,y0) i retning av enhetsvektoren u = [u1,u2] x = x0 + su1 y = y0 + su2 Retningsderivert Del-operator Gradientvektor
Gradientvektor - RetningsderivertEgenskaper Gradientvektor Retningsderivert y f u f øker mest i retning av f og den deriverte er |f | f avtar mest i motsatt retning av f f endres ikke i retning normalt på f x Regler for gradientvektorer Nivåkurver f Gradientvektorene står normalt på nivåkurvene
Gradientvektor - RetningsderivertEks 1 Gitt planet x + y + z = 5. Bestem i hvilken retning det er brattest å bevege seg i dette planet. f Nivå-kurver y f Det er brattest å bevege seg i retning [-1,-1]. Stigningen er 2. x
Gradientvektor - RetningsderivertEks 2 Finn den deriverte av f(x,y) = x2 + xy i punktet P0(1,2) i retning v = [1,1].
Gradientvektor og tangent til nivå-kurverDef Nivåkurve z f r(t) y x
Gradientvektor og tangent til nivå-kurverEks 3 Finn ligningen for tangenten til ellipsen ¼ x2 + y2 = 2 i punktet (-2,1). f
Tangentplan - NivåflateDef Nivåflate f(x,y,z) = c f z r(t) y x
Tangentplan - NivåflateEks 4 Finn tangentplan til flaten z = xcosy - yex i punktet (0,0,0).
